多排任意排列的彈性樁屏障對平面P波或SV波多重散射

孫苗苗， 夏唐代

(1.浙江省水利河口研究院,杭州 310020； 2. 浙江省水利防災(zāi)減災(zāi)重點實驗室， 杭州 310020;3.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境巖土工程教育部重點實驗室,杭州 310058；4.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310058)

人工振動對人體、環(huán)境均有不同程度污染。為隔離或減少人工振動，使損害降至最低，在被保護建(構(gòu))筑物與環(huán)境振源之間設(shè)置屏障成為治理環(huán)境振動所致污染主要手段之一。目前有兩種隔振屏障形式：①連續(xù)屏障形式，如空溝、填充溝、混凝土墻等，但在地下水位較高、人工波較長的軟土地區(qū)，連續(xù)屏障的施工或隔振效果均不理想；②非連續(xù)隔振屏障，即排樁、排孔等，能克服連續(xù)屏障的不足。

非連續(xù)屏障對彈性波散射研究起步較晚。Woods[1]運用全息照相技術(shù)對瑞利波入射下圓孔屏障隔振進行研究，提出非連續(xù)屏障的設(shè)計依據(jù)。Liao等[2]進行水中樁列、孔列隔振比例模型試驗，認為樁土剛度比對隔振效果影響較大。Massarsch等[3]對水泥石灰排樁進行現(xiàn)場試驗研究。Avilés等[4-5]采用波函數(shù)展開法對P波、S波及R波入射下單排實心樁的散射問題進行理論研究。Kattis等[6]據(jù)纖維增強復(fù)合材料近似均質(zhì)化理論，將非連續(xù)屏障等效為連續(xù)屏障，對非連續(xù)屏障設(shè)計可參照連續(xù)屏障設(shè)計法則。Tsai等[7]采用頻域邊界元方法對三維單排非連續(xù)屏障振動隔離進行分析，認為樁間距對屏蔽效果影響較大。蔡袁強等[8-9]由Boit飽和波動方程出發(fā)，運用波函數(shù)展開法研究飽和土中單排樁對彈性波的隔離問題。

以上研究非連續(xù)屏障對平面波隔離問題的解析解法中均只考慮單重散射。而單重散射假設(shè)的不足在于忽略散射體即樁列作為整體相互間相干相位關(guān)系，僅在樁間距較大時才正確。實際工程中，通常采用的排樁間距較小，排樁體系作為整體屏障起作用，各樁之間相互影響。多個任意半徑、任意排列的彈性樁屏障對平面P、SV波散射問題的精確解尚未見報道。

本文基于全空間各向同性介質(zhì)中任意位置、任意半徑的圓柱形散射體對彈性波多重散射理論[10-12]，對柔性樁屏障設(shè)其樁土邊界滿足彈性位移及應(yīng)力邊界條件，求解平面P、SV波入射下散射及透射波場，獲得總波場解。對單排及多排彈性樁屏障進行數(shù)值計算與參數(shù)分析，并通過將該解退化至剛性樁的解驗證此彈性樁理論體系，對實際工程隔振設(shè)計提出建議。

1 理論模型

1.1 模型

圖1 任意排列、任意半徑圓柱形散射體對平面波散射分析模型

任意排列、任意半徑的圓柱散射體幾何分析模型見圖1。設(shè)散射體外介質(zhì)為無限、各向同性的均質(zhì)彈性體，介質(zhì)Lamé常數(shù)為λ，G；質(zhì)量密度ρ。圖中各散射體均分布于該介質(zhì)中。散射體軸線設(shè)為無限延伸，該問題可簡化為二維平面應(yīng)變問題。

為研究振動隔離問題，選圓柱散射體后一遠場P點作為研究對象。定義圓柱形散射體形心s=0為x-y坐標軸(笛卡爾直角坐標系)原點，或r-θ坐標系(極坐標系)原點，圓柱散射體s半徑為as(s′半徑為as′等)，則遠場P點相對第s個散射體坐標相應(yīng)為rs，θs；對第s′個散射體，P點坐標為rs′，θs′；對第s″個散射體坐標為rs″，θs″；以此類推第s′個散射體相對第s個坐標為rss′，θss′。設(shè)在不同入射波下 (P波或S波，波數(shù)分別為α，β)，入射角為θ0，而平面應(yīng)變與z軸無關(guān)，因此無需考慮剪切波χ。

圓柱體對平面波入射后多重散射的物理過程可表述為：① 任意選擇一散射體s為研究對象，該散射體對入射波響應(yīng)可視為第一重散射；② 第二重散射激發(fā)由各散射體第一重散射產(chǎn)生，即第一重散射波可作為次生波源引起第二重乃至更多重散射。考慮散射體s第二重散射計算，所有介質(zhì)中其它散射體第一重散射可作為第二重散射的次生波源。對所有散射體均遵循此過程，從而獲得前一重與后一重散射波函數(shù)迭代關(guān)系，總散射波場即為所有散射體各重散射的疊加。

1.2 P波或SV波入射

入射P波波場勢函數(shù)展開成圓柱坐標下Fourier-Bessel級數(shù)形式為：

(1)

其中：上標inc表示入射波； Jn(·)為n階Bessel函數(shù)；α，β為P波波數(shù)；下標s表示土體；φs=θs+θ0+π/2；為計算方便已消去exp(-iωt) ，φ0。

對彈性樁而言，P波或SV波入射均產(chǎn)生耦合散射，散射波同時存在P波、SV波部分。散射體s位移勢函數(shù)展開式為：

(2)

透射波勢函數(shù)參考展開式可表示為：

(3)

涉及P或SV波入射邊界條件的應(yīng)力分量為徑向應(yīng)力與切向應(yīng)力[13]：

(4)

其中：各變量下標均表示s樁。

第一重散射應(yīng)滿足樁土邊界位移與應(yīng)力連續(xù)：

其中：

(6)

(7)

式中：剪切模量G的下標意義同波數(shù)。

(8)

其中：上標N’為除樁s外的散射體個數(shù)。

第m重散射徑向、切向應(yīng)力表達式為：

(9)

(m-1)重散射應(yīng)力表達式只需將上式中帶m的上下標替換為 (m-1) 即可。透射波第m重透射的徑向、切向應(yīng)力表達式為：

(10)

式中：各符號意義同前，花體符號見附錄。

為應(yīng)用第m重散射邊界條件，需對m重散射位移應(yīng)力波函數(shù)進行坐標軸轉(zhuǎn)換，用Graf加法定理轉(zhuǎn)換至與研究對象散射體第s根樁的參考坐標系：

(11)

其中：Hn′n=Hn-n′(·)e-i(n-n′)θss′

將式(1)～式(3)、式(9)～式(11)代入式(8)，得m重散射迭代關(guān)系式(見附錄式(B))。用Cramer法則將Q矩陣分別代入P矩陣第1～4列得P1，P2，P3，P4矩陣，則m重散(透)射復(fù)系數(shù)的解為：

(12)

以上迭代關(guān)系仍可用假設(shè)樁身材料相對土體為剛性進行退化，即Gs/Gp→0，無窮線性方程組式(B)(見附錄)可簡化成：

(13)

對入射SV波而言，與剛性邊界條件推導(dǎo)相同，只需將附錄式(A) 等式右邊矩陣中入射波項用SV波替代即可，也可令Gs/Gp→0，退化后即為剛性邊界條件下的解；而第m重散射與透射系數(shù)的求解因其散射波同樣含P波、SV波的耦合散射與透射，系數(shù)與P波入射所得迭代關(guān)系相同，見附錄式(B)。

2 算例與分析

相互平行等間距列于介質(zhì)中截面為圓形樁列見圖2(a)。設(shè)樁身無限長，樁數(shù)N，樁間距sp，屏障總寬度L=(N-1)sp，排間距h。遠場穩(wěn)態(tài)平面波垂直傳播至該樁列，入射角θ0=π/2。為簡化數(shù)值計算結(jié)果以便分析，Bessel函數(shù)展開項截斷至n=8。用本文方法計算多排樁隔離效果，采用梅花型布置(圖2(b))、排間距為h的雙排樁列計算分析。圖2(a) 可視為圖2(b)排間距h=0的特殊情況，用于驗證本文方法的正確性。

數(shù)值計算采用樁土剪切模量之比Gr，土體與樁身材料密度比ρr，樁身材料泊松比νp及土體泊松比νs等參數(shù)表示波由土體至樁的傳播過程一系列特性改變。對所有入射P，S波在土體、樁體頻率無量綱化：

(14)

其中：頻率η與波長λ右下角標第一個字母代表P或S波入射；第二個字母或波數(shù)α，β下角標s或p分別代表土體或樁。

計算用無量綱化位移振幅|u/u0|，|v/v0|，|w/w0|表示總位移振幅與入射波位移振幅比值，且各幾何參數(shù)均對樁半徑無量綱化。各待定系數(shù)因波函數(shù)展開式級數(shù)收斂，數(shù)值計算截斷至n=8即認為精度滿足計算要求。

圖2 排樁對平面波散射參考系及分析模型(n=8)

2.1 散射重數(shù)影響

圖3為單排隔振屏障后中線無量綱位移振幅隨散射重數(shù)變化曲線，圖中：入射P波，sp=3.0as,h=0, 1≤m≤4,N=8)。由圖3(a)看出，P波入射、樁土剪切模量比Gr= 1000時，屏障后無量綱位移曲線隨散射重數(shù)的增加與剛性樁屏障在相同條件下計算結(jié)果[10]幾乎無異。說明樁土剪切模量比在Gr=1 000左右，屏障可視為剛性，退化結(jié)果進一步驗證了理論推導(dǎo)的正確性。當散射重數(shù)m≥3時，位移振幅增量呈越來越小趨勢；散射重數(shù)取三重及以上時，三重相對二重、或四重相對三重散射增量絕對值已微乎其微，可認為計算結(jié)果收斂，即可將m=4作為散射重數(shù)的截斷項。

圖3 單排隔振屏障后中線無量綱位移振幅隨散射重數(shù)變化曲線

圖4 單排樁后無量綱位移振幅隨樁間距sp變化三維網(wǎng)格圖

2.2 樁間距影響

彈性樁列樁間距為影響屏障隔離效果的重要因素。單排彈性樁(Gr=10)在P波入射下屏障后不同樁間距(sp=3.0as，4.0as)無量綱位移三維網(wǎng)格見圖4，圖中：h=0,Gr=10,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,m=4,N=8。圖4(a)為P波入射時樁間距在3倍樁徑下屏障后無量綱位移振幅的最小值出現(xiàn)在屏障后兩側(cè)區(qū)域，約0.5左右，圖4(b)雖可見靠近屏障處有較小的|u/u0|值，但屏障后其它區(qū)域均處在較大|u/u0|范圍內(nèi)，說明隨樁間距的增大，類似于連續(xù)屏障的排樁體系形成分離個體而不再成為整體對入射波屏蔽。

2.3 排間距影響

多排彈性實心樁排間距亦為影響屏障隔離效果的因素之一。考查P波入射時不同排間距情況屏障后無量綱位移變化見圖5，圖中：sp=3.0as,ηps=0.45,ηss=0.8,νp= 0.20,νs=0.25,Gr=100,m=4,N=8。由圖5(a)、(b)看出，P波入射時排樁后無量綱位移等高線隨排間距的變化較敏感，增加一倍樁徑間距，使排樁后|u/u0|最小值由0.1升至0.65，且亦能發(fā)現(xiàn)屏障后距離較近處振幅放大范圍由整塊區(qū)域逐漸轉(zhuǎn)化為獨立于每根樁前的放大區(qū)域。說明排樁排間距的加大，即隨屏障厚度增加，多排樁逐漸表現(xiàn)出離散、獨立的樁列屏障，而不能作為整隔離體對入射波進行屏蔽，只有在保證一定排間距情況下(通常為h/as=3.0)，才能使多排彈性實心樁屏障發(fā)揮同連續(xù)屏障的隔離效果。

2.4 樁土剪切模量比影響

樁土剪切模量比Gr為彈性樁區(qū)別于剛性樁屏障的主要參數(shù)之一。在不同樁土剪切模量比情況下屏障后位移振幅等高線見圖6，圖中：入射P波，sp=3.0as,h=0,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,m=4,N=8。由圖6看出，P波入射時在雙排樁屏障后中心區(qū)域振幅放大現(xiàn)象明顯，最佳隔離區(qū)域并非緊靠排樁處，為距排樁一定距離對稱分布于樁列兩側(cè)位置，彈性樁屏障兩側(cè)位移振幅減小量約40%～50%，中心處為30%～40%，直至趨于穩(wěn)定，而剛性樁位移振幅減小量在兩側(cè)能達80%以上，中心亦能屏蔽約70%的入射波。由此看出，隨樁土剪切模量比逐漸加大，即樁體逐漸趨于剛性時，排樁屏蔽效果逐漸變好，此與文獻[10]等結(jié)論一致。而等高線圖在Gr=1 000或Gr=+∞時幾乎完全相同，說明該彈性樁散射理論退化至剛性假設(shè)的合理性及Gr= 1 000時，彈性解可作為剛性解計算，此與剛性邊界條件解一致，再次驗證本文理論的正確性。

2.5 樁數(shù)與排數(shù)影響

本文方法與以往計算單排樁屏障區(qū)別在于可對任意排列、任意半徑的多排樁進行分析。SV波入射下8根雙排彈性樁與12根三排彈性樁屏障后無量綱位移振幅等高線對比見圖7，圖中：sp=3.0as,h=2.5as,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,Gr=10,m=4。SV波入射時，8根雙排彈性樁阻隔后入射波位移振幅靠近中心處減小，可見屏障后兩側(cè)存在|v/v0|最小值約為0.2。增加一排樁后，屏障后位移振幅放大現(xiàn)象明顯，等高線趨于平均，原在雙排樁中心50≤y/as≤100才能獲得的|v/v0|=0.4區(qū)域在三排樁后大部分范圍均能降至該值；最多可隔離90%的入射SV波。說明增加排樁排數(shù)可使屏障呈近似連續(xù)屏障效果且能獲得更理想的減振預(yù)期。

圖5 隔振屏障后隨排間距h變化無量綱位移等高線圖

圖7 多排樁后無量綱位移振幅等高線圖

3 結(jié) 論

本文對任意半徑、任意布置的圓柱形彈性實心樁隔振屏障對平面彈性波多重散射進行求解。通過施加樁土界面彈性邊界條件，構(gòu)造透射波場函數(shù)，采用Graf加法定理對各研究對象進行坐標軸轉(zhuǎn)換并求得第一重散射及透射復(fù)系數(shù)，通過前一重散射系數(shù)可迭代求出后一重散射及透射系數(shù)，進而確定最終總散射波場與透射波場。在理論推導(dǎo)基礎(chǔ)上數(shù)值分析計算討論影響單排及多排彈性實心樁對平面波隔離效果參數(shù)，結(jié)論如下：

(1) 平面波入射彈性實心樁屏障后，靠近樁側(cè)會產(chǎn)生位移振幅放大現(xiàn)象，距屏障一定范圍(通常y/as≥ 100)位移振幅迅速減小。基于多重散射的彈性屏障計算因考慮樁間互相干涉現(xiàn)象使散射計算更接近實際，并可令非連續(xù)屏障得以充分利用。隨散射重數(shù)的增加位移逐漸收斂，工程上可取4重散射為實際設(shè)計截斷項。

(2) 彈性實心樁列樁間距及多排樁排間距均對入射平面波散射有較大影響。樁間距與排間距的增加使非連續(xù)屏障成為散體，無法保證理想屏蔽作用。通過對屏障后平均無量綱位移振幅等高線分布研究，樁間距與排間距在3.0倍樁半徑范圍內(nèi)可獲得最優(yōu)減振效果，并可作為隔振屏障的設(shè)計參考指標。

(3) 單排或多排樁身材料與周圍介質(zhì)的剪切模量比為彈性樁區(qū)別于剛性樁的重要參數(shù)。無論何種平面波入射，隨樁土剪切模量比的增加，即樁趨于剛性，屏障后最佳隔離區(qū)域逐漸擴大，排樁隔離效果變好。實際工程中多可采用剛性樁為屏障材料。

(4) 增加彈性屏障樁數(shù)、排數(shù)可明顯增強排樁的隔振效果，振幅放大與衰減效應(yīng)與連續(xù)屏障類似。

附錄

(A)

其中sθα=ein(θ0+π/2)eiαscos(θ0s+θ0)r0s

(B)

令：

其中：

其中:下標α或β可為s或p。

參 考 文 獻

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