基于傅里葉幅值檢驗擴展法的軌道車輛垂向模型全局靈敏度分析

余衍然， 李 成， 姚林泉， 朱忠奎

(蘇州大學 城市軌道交通學院，江蘇 蘇州 215006)

隨我國列車運行速度的不斷提高，輪軌間相互作用愈加顯著、劇烈，軌道列車的動力學性能問題，如在高速運行下列車的穩定性、乘坐舒適性及運行安全性等越來越受到重視。提升列車的動力學性能，須對車輛系統模型參數進行優化設計。考慮軌道車輛涉及的建模工作愈加復雜，如“車輛-軌道-橋梁”耦合系統中，模型系統設計參數數目較龐大。因此，需對車輛模型系統進行參數靈敏度分析，以便確定調整設計參數對改變模型結構特性效果影響，去除對車輛動力學性能影響不大參數，為模型參數優化過程提供可靠的理論依據與工程參考。

參數靈敏度分析為評價因模型參數的不確定性引起模型結構特性變化程度方法。影響程度即靈敏度。按模型分析不同思路，靈敏度分析法可分為局部靈敏度分析法[1]與全局靈敏度分析法。前者為每次只改變某單一參數取值，對其余參數取其各自中心值，以此獲得模型響應輸出，評價考察單一參數發生變化時模型結果的變化量。該方法包括解析法(即直接求導法)、有限差分法及格林函數法等[2]，適用于目標函數表達式簡單、靈敏度微分方程較易推出、不確定性因素較少的系統模型。而全局靈敏度分析[3]考慮參數選取的實際概率分布，所有因素允許同時變化，變動范圍可擴展到因素的整個定義域，故該方法不僅能反映局部情況，且可反映整個參數空間的變化對目標函數影響。全局靈敏度分析允許各參數在不同數量級取值變化，而局部靈敏度分析則不能保證在此情況下的有效性[4]。局部靈敏度分析要求目標函數有明確易推導的解析表達式；全局靈敏度分析目標函數只需有確定的輸入、輸出關系即可。此外，全局靈敏度分析亦考慮各輸入參數間交互作用對目標函數影響；局部靈敏度分析則假定輸入參數間相互獨立且互不影響。因此，全局靈敏度分析較局部靈敏度分析更具優越性，且可分為定性、定量分析兩類。定性全局靈敏度分析可以較小的計算量定性按靈敏度大小對各輸入參數排序，包括多元回歸法、Morris法、傅里葉幅度靈敏度檢驗法(Fourier Amplitude Sensitivity Test，FAST)等。定量全局靈敏度分析可定量確定各模型參數對模型結果誤差的貢獻率，目前有Sobol’與傅里葉幅值靈敏度檢驗擴展法(Extend Fourier Amplitude Sensitivity Test，EFAST)兩種[3]，且均基于方差方法，認為結果方差可完全反映模型結果的不確定性。鑒于此，全局靈敏度分析法在艦艇設備、生態模型、可靠性等多領域參數靈敏度分析中獲得應用[3-5]。但軌道車輛模型參數的全局靈敏度分析研究目前尚未見報道。已有研究中，多利用局部靈敏度分析方法研究軌道車輛模型系統的振動特性，如張立民等[6]利用局部靈敏度分析法中直接求導法對車輛垂向懸掛參數進行靈敏度分析。結果表明，增加二系懸掛剛度可同時提高車體沉浮、點頭及構架沉浮振動頻率。吳會超等[7]建立高速車輛三維剛柔耦合動力學模型，分析車下設備質量偏心及彈性懸掛參數小范圍變化對車體振動響應影響程度。

本文引入全局靈敏度分析法，將EFAST分析法直接應用于軌道車輛垂向模型中，以垂向模型系統絕對傳遞率為目標函數，計算模型相關參數靈敏度，討論分析算例結果，為車輛系統模型參數靈敏度分析及優化設計提供更全面的參考依據。

1 傅里葉幅值靈敏度檢驗擴展法

EFAST法基本原理為選取合適的搜索曲線在由各參數組成的多維空間內搜索，將一組非線性相關整數頻率分配給每個輸入參數，并對模型系統每個輸入參數搜索函數引入共同的獨立變量，使模型成為獨立變量的周期函數，從而使多維積分轉化為一維積分。然后將目標函數展開為傅里葉級數，分別獲得各頻率的傅里葉頻譜曲線，獲得每個參數及參數間相互作用引起的模型結果方差在總模型結果方差中所占比例，此即為該參數靈敏度。因此，在分析過程中首先為每個需分析參數設定一搜索函數[1]：

xn=Gn[sin(ωns)]

(1)

式中：n為參數數目。序列{ωn}的選取需滿足非線性相關，即：

(2)

其中：rn為整數；s為共同獨立變量，在(-π,π)區間內等間隔取Ns個值，Ns=2Mωmax+1，其中M取4，ωmax為各參數對應頻率組成的序列中最大值。

式(1)中Gn應滿足[1]：

(3)

其中：Pn為xn的概率密度函數。將式(3)轉化為[8]：

(4)

對式(4)等號兩邊積分，得在xn所屬概率分布下搜索函數表達式。將搜索函數代入模型結果y=f(x1,x2,…,xn)便可轉化為y=f(s)，并由傅里葉展開得[3]：

(5)

其中：

式中：sk=π/Ns(2k-Ns-1)為s在[-π,π]內的等間隔取樣值。

(6)

其中：Z0=Z-{0}。則總方差為[1]：

(7)

將s在區間[-π,π]內等間隔取樣所得每個參數輸入模型，經多次計算，通過上述方程總可獲得每個參數引起的方差Vn及模型結果總方差V。因此xn一階靈敏度為：

(8)

計算xn總靈敏度可先給xn一較大頻率ωn，給剩余參數設定一組較小的各不同頻率{ωn’}，且滿足關系ωn≥2Mmax{ωn’}[9]。便將頻譜分割成兩部分[1,Mmax(ω’n)](含除xn外的其它參數頻率)與[Mmax(ω’n+1),(Ns-1)/2](含xn在高頻范圍內影響)。

計算參數xn總靈敏度公式[9]為：

(9)

由以上分析知，EFAST第一階靈敏度反映參數獨立作用對模型輸出影響，而參數總敏感度則反映參數間作用對模型輸出影響。若所得總靈敏度數值與一階靈敏度非常接近，說明參數間交互作用不明顯。

2 車輛垂向模型參數全局靈敏度計算

2.1 垂向振動模型及目標函數設定

典型軌道車輛垂向模型見圖1，其中Mc，Jc，Mt分別為車體質量、車體點頭轉動慣量、構架質量；Kpz，Cpz及Ksz，Csz分別為一二系懸掛剛度及阻尼；lc，lt分別為車輛定距之半與及轉向架固定軸距之半；Zc，βc為車體垂向位移、點頭角位移；Zt1(t2)，Z01(02，03，04)分別為2個構架垂向位移及4副輪對處所受垂向輸入激勵；v為車輛行駛速度。

圖1 軌道車輛垂向模型

據軌道車輛垂向物理模型，得運動微分方程組[10]：

(10)

由于構架點頭運動與車輛垂向振動系統其它運動不耦合，不影響車體運動，故只考慮4個自由度，Z01(t)，Z02(t)，Z03(t)，Z04(t)間關系為：

(11)

其中：τ1=2lt/v，τ2=2lc/v，τ3=2(lt+lc)/v為輪對時間滯后量，v為車輛行駛速度。

將式(10)用矩陣形式可表示為：

(12)

其中：[M]，[C]，[K]分別為系統質量、阻尼、剛度矩陣；[Dw]，[Ddw]分別為激勵位移、速度輸入矩陣；{ft(t)}為系統位移激勵輸入項；{x(t)}為系統位移響應矢量。

對式(10)進行拉普拉斯變換得：

([M]s2+[C]s+[K]){x(s)}=

([Dw]+[Ddw]s){ft(s)}

(13)

移項并用虛宗量iω代替復宗量s，得系統頻率特性為：

[H(iω)]=(-[M]ω2+i[C]ω+

[K])-1([Dw]+i[Ddw]ω)

(14)

綜合以上各式，計算車體垂向振動絕對傳遞率T(ω)(即頻率特性的模[11])幅頻特性，見圖2。各輸入參數包含在系統質量、阻尼、剛度矩陣中，由式(14)知，參數取值發生變化，會致頻率特性矩陣中對應元素大小變化，從而可建立輸出與輸入參數間聯系。

圖2分別給出車體垂向振動絕對傳遞率在懸掛參數優化區間的上下限值、中間值處曲線。其中圖2(c)中三者幾乎重合，說明一系懸掛剛度取值變化對絕對傳遞率影響甚微，該絕對傳遞率對參數變化不敏感。由圖2看出，在優化區間內，輪對對車體垂向振動絕對傳遞率影響因素中，二系懸掛阻尼最顯著，一系次之，而后為二系懸掛剛度，一系懸掛剛度影響甚微。而絕對傳遞率峰值大小對參數變化最敏感。因此，設定目標函數為絕對傳遞率T(ω)在1～20 Hz范圍內最大值-max[T(ω)]較合理。絕對傳遞率越小，系統響應越小，其動力學性能也越好。

2.2 實例計算

設目標函數為某確定頻率范圍內車體構架絕對傳遞率峰值。以車輛垂向模型參數為輸入參數，用EFAST法進行車輛垂向模型全局靈敏度分析。參考常用軌道車輛模型參數數據，確定車體質量為Mc=33.6 t，車體點頭慣量Jc=2 040 t·m2，該參數值保持不變，即二者不進行靈敏度分析，其它參數見表1。

圖2 車體垂向振動絕對傳遞率幅頻特性

表1 車輛垂向模型參數概率分布

對均勻分布，文獻[1]未能給出任意取值范圍內的搜索函數，本文采用與文獻[9]類似思路，即由式(1)推導出可在任意范圍內取值的搜索函數，但區別在于本文推導中考慮隨機相位Rn[1]，使搜索函數搜索起點

可在優化區間內任意位置，使參數取值更均勻合理。搜索函數為：

(15)

其中：bn，an分別為參數取值上、下限，即參數優化范圍；Rn為在(0,2π)上服從均勻分布的隨機變量。據上述算法，用MATLAB編程，便可計算EFAST法全局靈敏度值。

2.3 結果分析

計算中，Mt為構架質量，Kpz為一系懸掛剛度，Cpz為一系懸掛阻尼，Ksz為二系懸掛剛度，Csz為二系懸掛阻尼，lc為車輛定距之半，lt為轉向架固定軸距之半。車體垂向振動絕對傳遞率參數靈敏度計算結果見圖3。由圖3看出，一、二系懸掛阻尼、二系懸掛剛度位居前三，其它參數靈敏度值均較小。

圖3 車體垂向振動絕對傳遞率參數靈敏度

靈敏度值代表因參數變化而引起目標函數的變化程度，即其它參數變化對絕對傳遞率峰值影響不大，但并非此參數對絕對傳遞率貢獻不大。二系懸掛對絕對傳遞率影響較一系懸掛大，即二系懸掛剛度較一系懸掛剛度影響大，二系懸掛阻尼較一系懸掛阻尼影響大。分析結果與圖2計算結果及文獻[12]研究結論互相吻合，證明本文所用全局靈敏度分析法為行之有效的研究途徑，EFAST法能正確反映車輛垂向模型參數對隔振效果影響。車體點頭運動絕對傳遞率參數靈敏度計算結果見圖4。對比圖3、圖4，車體點頭運動絕對傳遞率變化程度同樣受一系懸掛阻尼及二系懸掛參數影響較大，但車輛定距之半影響不可忽略。此可通過分析車輛垂向模型運動微分方程式(10)知，雖車輛定距之半對車體垂向位移無影響，但對車體點頭運動則為重要參數。

分析輪對對其所屬構架絕對傳遞率大小變化影響。由圖5看出，最主要參數為一系懸掛阻尼，靈敏度值達0.9，二系懸掛剛度靈敏度值排第二，相對不大，其它參數基本可忽略。因兩轉向架相互獨立，第二構架輪對對第一構架垂向振動作用通過車體浮沉運動及點頭運動傳遞。故圖6中二系懸掛參數與車輛定距之半靈敏度值相比較圖5均明顯提高。此外，圖3～圖6各自顯示的總靈敏度較一階靈敏度總體趨勢相似，總靈敏度值有一定變化，但變化不很大，說明參數間存在彼此相互作用，影響不很大。若對車體及構架的沉浮運動與車體點頭運動絕對傳遞率進行多目標優化，可綜合考慮各部分參數靈敏度分析，篩選出參與優化過程參數。

3 結 論

采用EFAST法，本文首次對典型軌道車輛垂向模型隔振效果進行全局靈敏度分析。結論如下：

(1) 二系、一系懸掛阻尼及二系懸掛剛度取值變化對車體垂向振動絕對傳遞率影響較大；車體點頭運動絕對傳遞率變化程度受一系懸掛阻尼、二系懸掛參數及車輛定距之半影響明顯；輪對對其所屬構架絕對傳遞率影響，主要為一系懸掛阻尼貢獻；由于二者間作用力可通過車體相互傳遞，某轉向架一、二系懸掛參數及車輛定距之半，對另一構架垂向振動亦存在一定影響；對比各參數總靈敏度與一階靈敏度發現，各參數間存在一定相互作用，彼此并非完全獨立，但相互影響較小。

(2) 本文研究能較好體現全局靈敏度分析EFAST法計算量較小、所得結果直觀清晰、便于分析等優點，研究結果與采用其它方法結論一致，證明EFAST法可用于軌道車輛模型系統參數優化設計；其分析思路與研究方法也可適應更復雜的大型系統研究模型，如車輛空間模型、車輛-軌道-橋梁耦合系統等非線性問題。

參 考 文 獻

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