高中數學中的恒成立問題

費良瓊

摘 要 恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數定義域不等式立體幾何數列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數學問題解決數學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數圖象經過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數圖象開口向下時，則函數值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數函數的值恒為正；周期函數從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數列相鄰相同項數的和與積都成等比數列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經常以不等式的形式出現。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數列中的恒成立

等差數列和等比數列中的規律不少，其中等比數列的規律更現奇妙。

案例5 等比數列{an}中，判定{an}中相鄰的連續k項之和所構成的新數列是什么數列？那么相鄰的連續k項之積所構成的新數列是什么數列呢？

解：取等比數列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續k項之和所構成的新數列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數列公比q≠€？時，新數列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數，即新數列{Tn}為等比數列；

（2）若q=1時，則連續的k項之和都是相等的且不為零，此時新數列為等比數列；

（3）若q=-1，且k為偶數時，有：=0

∴ 新數列各項為零，此時為等差數列，而不是等比數列。

2.相鄰的連續k項之積所構成的新數列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數列{Tn}有：=qk 為常數

即新數列{Tn}為等比數列。

說明：數列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數列進行推導，會發現很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

（責任編輯 易 凡）endprint

摘 要 恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數定義域不等式立體幾何數列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數學問題解決數學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數圖象經過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數圖象開口向下時，則函數值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數函數的值恒為正；周期函數從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數列相鄰相同項數的和與積都成等比數列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經常以不等式的形式出現。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數列中的恒成立

等差數列和等比數列中的規律不少，其中等比數列的規律更現奇妙。

案例5 等比數列{an}中，判定{an}中相鄰的連續k項之和所構成的新數列是什么數列？那么相鄰的連續k項之積所構成的新數列是什么數列呢？

解：取等比數列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續k項之和所構成的新數列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數列公比q≠€？時，新數列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數，即新數列{Tn}為等比數列；

（2）若q=1時，則連續的k項之和都是相等的且不為零，此時新數列為等比數列；

（3）若q=-1，且k為偶數時，有：=0

∴ 新數列各項為零，此時為等差數列，而不是等比數列。

2.相鄰的連續k項之積所構成的新數列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數列{Tn}有：=qk 為常數

即新數列{Tn}為等比數列。

說明：數列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數列進行推導，會發現很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

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摘 要 恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數定義域不等式立體幾何數列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數學問題解決數學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數圖象經過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數圖象開口向下時，則函數值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數函數的值恒為正；周期函數從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數列相鄰相同項數的和與積都成等比數列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經常以不等式的形式出現。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數列中的恒成立

等差數列和等比數列中的規律不少，其中等比數列的規律更現奇妙。

案例5 等比數列{an}中，判定{an}中相鄰的連續k項之和所構成的新數列是什么數列？那么相鄰的連續k項之積所構成的新數列是什么數列呢？

解：取等比數列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續k項之和所構成的新數列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數列公比q≠€？時，新數列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數，即新數列{Tn}為等比數列；

（2）若q=1時，則連續的k項之和都是相等的且不為零，此時新數列為等比數列；

（3）若q=-1，且k為偶數時，有：=0

∴ 新數列各項為零，此時為等差數列，而不是等比數列。

2.相鄰的連續k項之積所構成的新數列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數列{Tn}有：=qk 為常數

即新數列{Tn}為等比數列。

說明：數列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數列進行推導，會發現很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

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