牛頓第二定律的應用——整體法

婁宇來

摘 要 在中學物理學習中，學生對牛頓第二定律的應用，特別是整體法的應用，掌握不夠，通過該文章希望學生們能掌握。

關鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個以上的物體組成的系統力學問題時，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學生接受，平時訓練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統中各物體具有相同加速度的情況，認為幾個物體只有在加速度相同時才能作為一個整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復雜問題面前便顯得束手無策。事實上，大多數系統中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進行證明。

設有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統。先以m1作為研究對象，設m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個物體組成的系統，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當系統中各個物體具有不同的加速度時，系統所受的合外力等于各個ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯系中揭示了整個系統的運動規律，把物理規律直接用于系統整體。下面通過例題來說明如何應用整體法牛頓第二定律解決系統力學問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質量M=0.2千克，桿上套有質量為m=0.05千克的小環B，它與桿有摩擦。當環從底座以4米/秒的速度飛起時，剛好能到達桿頂，求環上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環B上升過程作勻減速運動，設加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規定向下方向為正方向，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質量相等，繩子的質量和繩與滑輪間的摩擦不計，開始人和物體在同一水平線上，當人從靜止開始向上勻加速爬繩時，人與物體的運動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時加速上升，同時到頂

D.人和物體同時加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統整體所受合外力為0，設人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時到頂，應為選項C.

例3：如圖3甲所示，質量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標如圖3乙，又根據題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個例題解題過程我們得到，應用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統整體作為研究對象，對整體進行受力分析；（2）分析系統內各物體的運動狀態，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標，規定正方向；（4）根據整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統整體分析時，不用考慮系統內各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復。所以，在不要求解出系統內部作用量時，應用整體分析法就顯示出很大的優越性。

整體法和隔離法都是解決動力學問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時，要根據具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發展思維能力。

（責任編輯 全 玲）endprint

摘 要 在中學物理學習中，學生對牛頓第二定律的應用，特別是整體法的應用，掌握不夠，通過該文章希望學生們能掌握。

關鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個以上的物體組成的系統力學問題時，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學生接受，平時訓練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統中各物體具有相同加速度的情況，認為幾個物體只有在加速度相同時才能作為一個整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復雜問題面前便顯得束手無策。事實上，大多數系統中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進行證明。

設有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統。先以m1作為研究對象，設m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個物體組成的系統，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當系統中各個物體具有不同的加速度時，系統所受的合外力等于各個ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯系中揭示了整個系統的運動規律，把物理規律直接用于系統整體。下面通過例題來說明如何應用整體法牛頓第二定律解決系統力學問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質量M=0.2千克，桿上套有質量為m=0.05千克的小環B，它與桿有摩擦。當環從底座以4米/秒的速度飛起時，剛好能到達桿頂，求環上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環B上升過程作勻減速運動，設加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規定向下方向為正方向，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質量相等，繩子的質量和繩與滑輪間的摩擦不計，開始人和物體在同一水平線上，當人從靜止開始向上勻加速爬繩時，人與物體的運動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時加速上升，同時到頂

D.人和物體同時加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統整體所受合外力為0，設人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時到頂，應為選項C.

例3：如圖3甲所示，質量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標如圖3乙，又根據題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個例題解題過程我們得到，應用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統整體作為研究對象，對整體進行受力分析；（2）分析系統內各物體的運動狀態，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標，規定正方向；（4）根據整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統整體分析時，不用考慮系統內各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復。所以，在不要求解出系統內部作用量時，應用整體分析法就顯示出很大的優越性。

整體法和隔離法都是解決動力學問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時，要根據具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發展思維能力。

（責任編輯 全 玲）endprint

摘 要 在中學物理學習中，學生對牛頓第二定律的應用，特別是整體法的應用，掌握不夠，通過該文章希望學生們能掌握。

關鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個以上的物體組成的系統力學問題時，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學生接受，平時訓練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統中各物體具有相同加速度的情況，認為幾個物體只有在加速度相同時才能作為一個整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復雜問題面前便顯得束手無策。事實上，大多數系統中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進行證明。

設有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統。先以m1作為研究對象，設m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個物體組成的系統，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當系統中各個物體具有不同的加速度時，系統所受的合外力等于各個ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯系中揭示了整個系統的運動規律，把物理規律直接用于系統整體。下面通過例題來說明如何應用整體法牛頓第二定律解決系統力學問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質量M=0.2千克，桿上套有質量為m=0.05千克的小環B，它與桿有摩擦。當環從底座以4米/秒的速度飛起時，剛好能到達桿頂，求環上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環B上升過程作勻減速運動，設加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規定向下方向為正方向，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質量相等，繩子的質量和繩與滑輪間的摩擦不計，開始人和物體在同一水平線上，當人從靜止開始向上勻加速爬繩時，人與物體的運動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時加速上升，同時到頂

D.人和物體同時加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統整體所受合外力為0，設人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時到頂，應為選項C.

例3：如圖3甲所示，質量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標如圖3乙，又根據題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個例題解題過程我們得到，應用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統整體作為研究對象，對整體進行受力分析；（2）分析系統內各物體的運動狀態，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標，規定正方向；（4）根據整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統整體分析時，不用考慮系統內各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復。所以，在不要求解出系統內部作用量時，應用整體分析法就顯示出很大的優越性。

整體法和隔離法都是解決動力學問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時，要根據具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發展思維能力。

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