小學數學教學中滲透“變與不變”思想方法的點滴思考

張朝明

《義務教育數學課程標準（2011版）》關于課程的總目標中指出，要讓學生“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”。數學思想是對數學知識、方法、規律的一種本質認識；數學方法是解決數學問題的策略和程序，是數學思想的具體反映。人們通常將數學思想與方法看成一個整體概念——數學思想方法。在變化中尋找不變的量是數學的一個重要思想方法 ，它廣泛存在于小學數學之中。下面具體談談我在小學數學教學中是怎樣滲透“變與不變”這一思想方法的。

一、在“變與不變”中揭示概念、尋找規律、歸納性質

在小學數學教學中，簡單枚舉推理（也叫做不完全歸納推理）是運用得較多的一種推理方法。即從一些個別或者特殊事物出發，概括出一般性概念、規律或性質。很多數學結論，都是先通過歸納推理得到結果，再輔以演繹推理加以證明。比如，費馬達定理、龐加萊猜想等，幾百年前就發現了“結論”，直到20世紀末21世紀初才被數學界證明。所以很多數學家都認為，數學結論是看出來的，而不是證出來的，看出來的數學結果不一定是正確的，但指引了數學研究的方向；而且看的過程表現出很大的創造性，這正是數學不斷創造新成果的一種重要方式。但問題是，到底該怎么去“看”呢？是否能更快更容易地“看出數學結論”呢？

在教學中，我將“變與不變”這一隱含的思想外顯，讓學生在“看”這一活動中變得有的放矢。

在變與不變中揭示概念，可以讓學生更好地抓住概念的本質特征。例如： “梯形的認識”這一內容，不管四條邊的長度怎么變化，四個角的大小怎么變化，只要抓住“只有一組對邊平行的四邊形”這個不變的本質，就能正確地認識“梯形”了。

至于小學數學教學中的一些規律或性質，幾乎都可以讓“變與不變”來指導我們進行歸納概括。例如：在四年級“商不變的性質”這一節課中，學生在觀察完一系列的算式后發現：被除數和除數變化了，但商不變，那么這里面隱藏了什么性質呢？學生在發現規律，歸納出性質以后，教師可以適當將這種隱性的方法凸顯出來，明確指出以后可以用“什么變了，什么不變，變化的量是按照怎樣的規律進行變化的”模式來進行歸納總結。那么在以后的學習中，學生就會有意識地按照“變與不變”的方法來觀察和總結，做到不再盲目，有章可循，使數學中隱含的規律、性質更加容易被發現和應用。

二、在“變與不變”中探討各種公式的由來

平面圖形是小學數學“空間與圖形”這一領域的主要內容，在這一內容的教學過程中，我們較多地提到了“轉化”這一數學思想方法，但很少有老師提出：將圖形轉化以后，學生怎么去“發現”計算方法呢？例如：平行四邊形的面積計算的教學，學生將平行四邊形轉化成長方形以后，怎樣去觀察發現呢？我認為，抓住“什么變了” 和“什么不變”來探究，就很容易“發現”平行四邊形的面積計算公式了。如上所述，如果我們在教學中有意識地將這種內隱的思想方法顯現出來，學生在推導三角形、梯形、圓的面積計算公式以及圓柱的體積計算方法時，就會自覺地運用這一方法去發現，去探究。

即便是圓的周長的探討，我認為也可以如此。在學生提出圓的周長與其直徑的長短相關以后，學生就會通過研究幾個大小不同的圓的周長與直徑來探索圓周率。為了找到其中不變的或者規律性的東西，學生會用這兩組數據中相對應的兩個數去相加、相減或相乘、相除，通過這一系列的計算后才會發現，只有周長和直徑相除才可以得到一個相對不變的商（考慮測量誤差），才能發現隱藏的規律。

三、在“變與不變”中解決較復雜問題

世界上的事物總是在變化著的，而“變化”中又總蘊含著“聯系”和“不變”的因素，從錯綜復雜的“變化”中發現這種“聯系”和“不變”，往往是我們解決問題的突破口。

如：盈虧問題、立體圖形中等積變化問題、牛吃草問題以及其他較復雜的計算問題等，都是學生感覺比較困難的問題，但是如果學生學會了在變化中尋找不變量，在變化中尋找不變的規律，就可能會將問題變得相對簡單。

在高等數學中，這樣的例子更多。如拓撲學（以七橋問題為例）正是研究拓撲不變量的學科。小學數學教學中注意滲透“什么是變的，什么是不變的”這一思想方法，是非常重要的。而且，不僅在數學教學中蘊藏著“變與不變”的思想， 這種變化中的不變問題也普遍存在于生活之中：比如物理學中的能量守恒定律；比如人臉隨年齡變化，但其基本特征不變的規律。可以說，“變與不變” 思想不僅僅是一種數學思想方法，也是我們在日常生活中分析問題、解決問題的一種常用的思想方法。

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