詮釋均值定理 掌握多變配湊技巧

薛勝菊

摘要：在高考題中，利用均值不等式求函數的最值是最為常見、應用較為廣泛的方法之一。但是應用均值不等式求最值要注意：一要正：各項或各因式必須為正數；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

關鍵詞：數學；求最值；均值定理

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0265-01

最值問題始終是高考數學的命題熱點，而利用均值不等式求函數的最值是最為常見、應用較為廣泛的方法之一，這類問題難度雖不大但技巧性，考生常因方法選擇不當，造成應用定理錯誤而失分。因此，快速找到切入點，靈活運用所學知識，將復雜問題簡單化，從而順利解答高考題，這是高三學生的最大期望。筆者現就此類問題進行歸納總結，對不同類型技巧的解法進行分析。希望本文能對讀者有所啟示和幫助。

一、配湊項湊“積”為定值法

例1 已知x<，求函數y=4x-2+的最大值。

解：因4x-5<0，所以首先要“調整”符號，又

（4x-2）g不是常數，所以對4x-2要進行拆、湊項，Qx<，∴5-4x>0，

∴y=4x-2+=-

5-4x++3≤-2+3=1

當且僅當5-4x=，即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，ymax=1。

點評：本題需要調整項的符號，保證各項正，又要配湊項的系數，使其積為定值。其實湊積為定值無非是湊“倒數”形式，消去未知數，得到定值而已。

二、分離拆項或換元構造“積”為定值

例2 求y=（x>-1）的值域。

解法一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離。

y===（x+1）++5當x>-1，即x+1>0時，y≥2+5=9（當且僅當x=1時取“=”號）。

解法二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x+1，化簡原式在分離求最值。

y===t++5，當x>-1，即t=x+1>0時，y≥2+5=9（當t=2即x=1時取“=”號）。

點評：對于分子分母“一、二次“形式的分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，構造“倒數”，創造均值定理使用環境，再利用不等式求最值，即化為y=mg（x）++B（A>0，B>0），g（x）恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。但仍注意“一正、二定、三相等”的限制。

三、乘“一”不變原理構造“積”為定值

例3 已知正數x、y滿足+=1，求x+2y的最小值 。

解法一：（利用均值不等式）x+2y=（+）（x+2y）=10++≥10+2=18，當且僅當

+

=1

=

即x=2，y=3時“=”號成立，故此函數最小值是18。

解法二：（消元法）由+=1得y=，由y>0?>0?x>8則x+2y=x+=x+=x+2+=（x-8）++10≥2+10=18。

當且僅當x-8=即x=12，此時y=3時“=”號成立，故此函數最小值是18。

點評：利用乘一不變值的道理構造“倒數”構造“積為定值”，從而創造使用均值定理的環境。此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。

四、平方法配湊“和”為定值

例4 已知x，y為正實數，3x+2y=10，求函數W=+的最值。

解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單，

+≤==2。

解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W>0，W2=3x+2y+2x·y=10+2·≤10+（）2+（）2=10+（3x+2y）=20∴W≤=2。

點評：本題利用取平方的方法構造均值定理，運用均值求定值。

總之，應用均值定理求最值掌握配湊技巧，構造其使用的環境，會使問題得到更快捷的解決，但是應用均值不等式求最值要注意：一要正：各項或各因式必須為正數；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

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