從二次函數(shù)談初中數(shù)學典型題

金羽，卜繁強，陶元紅

摘要：鑒于初中數(shù)學習題的多樣性，本文從初中數(shù)學典型題的研究出發(fā)，對初中數(shù)學習題進行了研究。本文主要以二次函數(shù)為研究中心，采用文獻分析等研究方法，對典型例題進行剖析，從而歸類梳理并總結方法。

關鍵詞：初中數(shù)學；典型題；思想方法；二次函數(shù)

中圖分類號：O177.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）16-0101-02

實踐表明，學生通過理解數(shù)學問題之后，首先要判別問題的所屬類型，確定該問題所涉及的認知經(jīng)驗結構系統(tǒng)，以便與現(xiàn)有的知識經(jīng)驗發(fā)生聯(lián)系，人的思維依賴于必要的知識和經(jīng)驗，數(shù)學知識正是數(shù)學解題思維活動的出發(fā)點與憑借。解題研究的一代宗師波利亞[1]說過：充足組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。由于初中數(shù)學習題是多樣的。因此從某種意義上來說，對初中數(shù)學的研究，可以從對初中數(shù)學典型題的研究出發(fā)，例如：研究典型題的問題結構、數(shù)學思想方法、解題思路、應用到的知識點、知識與知識之間的聯(lián)系等。這樣可以有助于我們深入理解學生在解題過程中的心理活動[2，3]，從而為學生高效解題提供基本依據(jù)和保障。二次函數(shù)問題在中學數(shù)學中占有重要地位[4]，對其進行總結梳理、系統(tǒng)研究，最大的受益者莫過于考生，這樣的分析可以讓考生們更全面地了解二次函數(shù)的性質和特點，同時更清晰地掌握各類問題的解題方法，對考生們數(shù)學思維的培養(yǎng)也會有一定的幫助，能夠較大程度地提高他們的解題能力與學習效率；對于教師來說，可以將研究成果用來指導學生參加中考，甚至對于命題者來說，這些成果可以為他們的命題工作給以幫助。中考是被人們廣泛關注的，也是考生們足夠重視的。而二次函數(shù)在中考中有著重要的地位，現(xiàn)有的研究資料雖多卻散。本文在前人研究的基礎上，結合自身的學習與實踐，對歷年各地以及各屆中考數(shù)學題中的二次函數(shù)問題進行分析歸類；并針對典型題進行解法的總結，從而使學生解題能夠高效。

一、主要研究結果與分析

本文主要以分析法為主，歸類整理，分析比較，通過典型例題總結解題方法并拓展啟發(fā)思維。通過研究，筆者認為對于初中數(shù)學題的解題思路分析，主要應該采取如下五個步驟。

1.審題。無論遇到什么類型的問題，審題是最關鍵的一步。審題就是要準確地認清題目的條件，目標及其狀態(tài)，全面識別信息，并把握目標方向和具備的狀態(tài)，為解題方案的探索與確定提供必要的信息和靈感。

2.創(chuàng)設情境，調動思維的積極性。在認真審題之后，還需要創(chuàng)設問題情境，用以啟發(fā)我們的靈感，調動我們思維的積極性，從而為解題的進一步深化和目標實現(xiàn)準備良好的心理條件。在百思不得其解的時候，不妨經(jīng)常提醒自己，是否已將題目認真讀過多遍？條件是什么？結論是什么？已知量是什么？未知量是什么？可以聯(lián)想到什么或者還能推導出什么結果來？隱含條件挖掘完了嗎？等等。通過這樣不斷設問，再根據(jù)設問去思考，也許有一問會觸動我們的神經(jīng)，誘發(fā)出靈感。

3.設計解題方案。一個正確的解題途徑，一條清晰的解題思路的形成過程是比較復雜的，它需要具有較強的基礎知識，豐富的解題經(jīng)驗和解題能力。分析解題思路，尋求解題途徑，把所面臨的問題逐步靠攏和轉化為熟悉的問題，然后利用已知的理論、方法和技巧，實現(xiàn)問題的解決。

4.解題。在解題過程中，經(jīng)過認真審題、探明解題途徑、確定解題方法、明確解題思路后，還要進一步達到正確、合理、簡捷、清楚，完美地表達出問題的解決過程，這就要求理順思路，有理有據(jù)地按照邏輯規(guī)律由已知條件出發(fā)，逐步推演，轉化，進行有序、正確的推理，建立起已知到結果的清楚、簡明、完善的通路，實現(xiàn)問題解決。

5.回顧與探索，檢驗與深化。解完題后，要重視回顧與探討，分析與研究，要對解題的結果和解題的方法進行反省，對解題中的主要思想觀點，關鍵因素及類同問題的解法進行概括、推廣，從中提煉出數(shù)學的基本思想和基本方法加以總結，成為以后解決問題的工具，還要重視對結果進行檢驗，推理是否有據(jù)、解答是否詳盡無漏等。

二、二次函數(shù)的典型題分析

二次函數(shù)是初中階段所學的有關函數(shù)知識的重點內(nèi)容之一，這部分內(nèi)容是繼八年級下期所學的函數(shù)部分內(nèi)容的深入與延伸；是今后后續(xù)學習其他初等函數(shù)的基礎，因此，這部分對學生學習函數(shù)內(nèi)容有著承上啟下的作用，對培養(yǎng)和提高學生用函數(shù)模型（函數(shù)思想）來解決實際問題，逐步提高分析問題，解決問題的能力有著一定的作用。下面通過一道中考典型題的解題分析，來說明如何從典型題提煉解題技巧，從而培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

例題（2010年甘肅省9市聯(lián)考中考數(shù)學試卷第26題）：如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D。（1）求該拋物線的解析式與頂點的坐標；（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

解題分析：本題以拋物線為中心，結合坐標軸，并給出A、B、C三點的坐標。

（1）求的是拋物線的解析式和頂點坐標，由此我們便很快聯(lián)想到待定系數(shù)法設y=ax2+bx+c（a≠0）求其方程，再根據(jù)頂點坐標公式-■，■求點D坐標。這個非常簡單。當然點D的坐標，我們也可以用數(shù)形結合的方法求對稱軸x=■=1，再將x=1代入拋物線中，得出y=-4。頂點D的坐標為（1，-4）。

（2）是幾何問題，判斷以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？此題給的是點的坐標，沒有給出具體的角度，因此我們可以考慮線段長度之間的關系，這里需要我們進行轉化，將幾何問題轉化為代數(shù)問題，所以聯(lián)想到了勾股定理。判斷結果：以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形。具體做法：過點D分別做x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，經(jīng)過計算得到BC2+CD2=BD2，所以△BCD為直角三角形。endprint

（3）屬于存在性問題，坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？這就需要我們從腦海中提取出基礎知識，三角形相似應該滿足什么條件，接著再去研究看看滿足條件的點是否唯一。研究看似不算太難，但是在解決這類問題時，容易漏解，所以我們應該學會分類討論，按照P點的不同位置進行分類，進而去解決問題。連接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合條件的點O（0，0）。過A作AP1⊥AC交y軸正半軸與P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P1（0，■）；再過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P2（9，0）；所以符合條件的點有3個：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

總結：此題為二次函數(shù)與相似的運動綜合題，運動問題既考查運算能力又考查推理能力，因其靈活多變性廣受歡迎，幾乎所有的中考中都涉及，此類題可以考查等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、相似三角形、圓以及二次函數(shù)最值等幾乎所有知識，解決的策略是“動中取靜”，找出運動中不變的元素，建立等量關系等。本題體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想、轉化的思想（幾何問題轉化為代數(shù)問題）、分類討論的思想（按照位置的不同分類），靈活運用這些數(shù)學思想是解決本題的關鍵。

本文通過實例闡明了求二次函數(shù)解析式的一般方法，并且舉出了二次函數(shù)綜合題的典型例題，并且舉一反三，同時對各題進行解析與分析、思路講解、總結解題方法。典型題中蘊含著許多的知識點，通過對典型題的研究可以讓同學們更深層次的理解和消化知識，并達到舉一反三、觸類旁通的效果。對典型題進行研究是學好數(shù)學的重要方法之一，這將有助于同學們思維能力的訓練。所以典型題的研究對中學教學而言是十分必要的。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

[2]張慶林.當代認知心理學在教學中的應用[M].重慶：西南師范大學出版社，1995.

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京師范大學出版社，2006.

[4]梧靜.中學數(shù)學競賽中二次多項式與二次函數(shù)問題的研究[D].廣東：廣州大學，2011.

基金項目：國家自然科學基金項目（11361065）；吉林省自然科學基金項目（201215239）。

通訊作者：陶元紅（1973-），女，博士，副教授。endprint

（3）屬于存在性問題，坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？這就需要我們從腦海中提取出基礎知識，三角形相似應該滿足什么條件，接著再去研究看看滿足條件的點是否唯一。研究看似不算太難，但是在解決這類問題時，容易漏解，所以我們應該學會分類討論，按照P點的不同位置進行分類，進而去解決問題。連接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合條件的點O（0，0）。過A作AP1⊥AC交y軸正半軸與P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P1（0，■）；再過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P2（9，0）；所以符合條件的點有3個：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

總結：此題為二次函數(shù)與相似的運動綜合題，運動問題既考查運算能力又考查推理能力，因其靈活多變性廣受歡迎，幾乎所有的中考中都涉及，此類題可以考查等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、相似三角形、圓以及二次函數(shù)最值等幾乎所有知識，解決的策略是“動中取靜”，找出運動中不變的元素，建立等量關系等。本題體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想、轉化的思想（幾何問題轉化為代數(shù)問題）、分類討論的思想（按照位置的不同分類），靈活運用這些數(shù)學思想是解決本題的關鍵。

本文通過實例闡明了求二次函數(shù)解析式的一般方法，并且舉出了二次函數(shù)綜合題的典型例題，并且舉一反三，同時對各題進行解析與分析、思路講解、總結解題方法。典型題中蘊含著許多的知識點，通過對典型題的研究可以讓同學們更深層次的理解和消化知識，并達到舉一反三、觸類旁通的效果。對典型題進行研究是學好數(shù)學的重要方法之一，這將有助于同學們思維能力的訓練。所以典型題的研究對中學教學而言是十分必要的。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

[2]張慶林.當代認知心理學在教學中的應用[M].重慶：西南師范大學出版社，1995.

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京師范大學出版社，2006.

[4]梧靜.中學數(shù)學競賽中二次多項式與二次函數(shù)問題的研究[D].廣東：廣州大學，2011.

基金項目：國家自然科學基金項目（11361065）；吉林省自然科學基金項目（201215239）。

通訊作者：陶元紅（1973-），女，博士，副教授。endprint

（3）屬于存在性問題，坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？這就需要我們從腦海中提取出基礎知識，三角形相似應該滿足什么條件，接著再去研究看看滿足條件的點是否唯一。研究看似不算太難，但是在解決這類問題時，容易漏解，所以我們應該學會分類討論，按照P點的不同位置進行分類，進而去解決問題。連接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合條件的點O（0，0）。過A作AP1⊥AC交y軸正半軸與P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P1（0，■）；再過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合條件的點為P2（9，0）；所以符合條件的點有3個：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

總結：此題為二次函數(shù)與相似的運動綜合題，運動問題既考查運算能力又考查推理能力，因其靈活多變性廣受歡迎，幾乎所有的中考中都涉及，此類題可以考查等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、相似三角形、圓以及二次函數(shù)最值等幾乎所有知識，解決的策略是“動中取靜”，找出運動中不變的元素，建立等量關系等。本題體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想、轉化的思想（幾何問題轉化為代數(shù)問題）、分類討論的思想（按照位置的不同分類），靈活運用這些數(shù)學思想是解決本題的關鍵。

本文通過實例闡明了求二次函數(shù)解析式的一般方法，并且舉出了二次函數(shù)綜合題的典型例題，并且舉一反三，同時對各題進行解析與分析、思路講解、總結解題方法。典型題中蘊含著許多的知識點，通過對典型題的研究可以讓同學們更深層次的理解和消化知識，并達到舉一反三、觸類旁通的效果。對典型題進行研究是學好數(shù)學的重要方法之一，這將有助于同學們思維能力的訓練。所以典型題的研究對中學教學而言是十分必要的。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

[2]張慶林.當代認知心理學在教學中的應用[M].重慶：西南師范大學出版社，1995.

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京師范大學出版社，2006.

[4]梧靜.中學數(shù)學競賽中二次多項式與二次函數(shù)問題的研究[D].廣東：廣州大學，2011.

基金項目：國家自然科學基金項目（11361065）；吉林省自然科學基金項目（201215239）。

通訊作者：陶元紅（1973-），女，博士，副教授。endprint