例說模型構造

黃俊峰++袁方程

構造法是一種富有創造性的解題方法，它很好地體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數學方法.下面通過幾例探討構造模型在中學數學中的應用.

1. 構造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0，][n4+n2-3=0]且[1m≠n2，]求[mn4+n2m2]的值.

分析 題設條件具備[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的兩根，于是可以構造二次方程解決.

解 [∵1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

[∴1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的兩根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3].

[∴mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 構造函數模型

例2 若[|a|<1，|b|<1，|c|<1，a，b，c]為實數，

求證：[ab+bc+ca>-1.]

證明 構造一次函數[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

則[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函數的線性性質知，對[-10]，即[（b+c）a+bc+1>0].

故[ab+bc+ca>-1].

3. 構造遞推數列模型

例3 設實數[a，b，x，y]滿足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5].

分析 一般項具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，則易得[an+2，an+1，an]之間的關系，從而得到遞推模型.

解 設[an=axn+byn]，則有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan]，

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42].

[∴x+y=-14]，[xy=-38].

[∴ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 構造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）][cos2x+cos2（π3-x）][=34.]

分析 左邊具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以柯西不等式為相似模型.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[≥sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

當且僅當[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]時取等號.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，解得，[x=kπ2+π6][（k∈z）].

5. 構造平面幾何模型

例5 求值：[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°.]

解析 此題的解法很多.這里引導大家觀察其結構，聯想余弦定理的形式似乎相近，將原式表示為[sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，結合正弦定理，在直徑為1的圓內構造一個如圖所示的[△ABC].

其中[A=85°，B=80°，C=15°]，

由正弦定理知，[BC=sin85°]，[AC]=sin80°，[AB]=sin15°，

由余弦定理知，

[sin215°=sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，

即[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 構造復數模型

例6 已知[a，b]為小于1的正數，

求證：[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22.]

證明 設[z1=a+bi，z2=1-a+bi，z3=a+1-bi，z4][=1-a+1-bi，]

則[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2].

[z1+z2+z3+z4≥z1+z2+z3+z4=2+2i=22，]

所以[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22]成立.

7. 構造圓錐曲線模型

例7 求函數[f（x）=x4-3x2-6x+13][-x4-x2+1]的最大值.

解析 函數變形為

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2].

其幾何意義為[P（x，x2）]到[A]（3，2）與[B]（0，1）的距離之差的最大值.

而[P]為拋物線[y=x2]上任意一點，可構造如圖拋物線模型求解.

利用三角形兩邊之差小于第三邊，

即[PA-PB≤AB]（[P，A，B]三點共線時取等號），

即得[fmax（x）=AB=10].

8. 構造子集模型

例8 設集合[S=1，2，…，99]，非空子集[A]滿足條件：對任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，問它們的集合[A]共有多少個？