高考中的實際應用問題

向清耀

高考題是風向標，是導航儀！近兩年數學高考題在應用能力命題方面是如何考查的？考查哪些知識？有哪些創新？對考生有哪些能力要求？筆者就近兩年高考中主要的幾類應用問題進行分析.

一、古典版“新問題·新思考”

例1 （2014年高考湖北卷—19）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量[X] （年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量[X]限制，并有如下關系；

[ 年入流量[X]＼& [40120]＼&發電機最多運行臺數＼& 1＼& 2＼&3＼&]

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

分析 此題屬于概率傳統題型，考查期望方差，第一問較簡單，考查概率統計的[N]次獨立重復試驗恰好發生[K]次的概率，但第二問中，要求考生能夠根據題意，分1，2，3臺發電機三種情形進行討論，分別求出期望值，再比較最值得出結論.

解 （1）依題意得，[p1=p（40

[p2=p（80≤x≤120）=3550=0.7]，

[p3=p（x>120）=550=0.1].

由二項分布知，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3=（910）4+4×（910）3×（110）=0.9477.]

（2）記水電站年總利潤為[Y]（單位：萬元）.

①安裝1臺發電機的情形……