經驗，數學教學的應有視角

魏芳

蘇聯教育家贊可夫說過：“教會學生學會思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢。”會思考的學生是最具發展潛質的，富有思考氣息的課堂是靈動飛揚的。思維飛揚的課堂，是一種活性的課堂，躍動著智慧與生機；也是一種挑戰的課堂，充滿著碰撞與交鋒；還是一種層級的課堂，流淌著思維發展的軌跡。在這樣的課堂中，學生不僅能夠自主建構起脈絡清晰的知識體系，獲得解決問題的策略，更重要的是能夠感悟到數學知識的本源價值，積累豐富的數學活動經驗。學生已有的操作、探究、思考、綜合等數學活動經驗，能激起學生思維的靈動與飛揚。同時，智慧寬廣的思維又有助于學生建構系統完整的知識體系，積累更豐富的活動經驗，促進學生數學思維水平和數學素養的提升。

一、相似的經驗——提領結構，凸顯思想

1.縱向求同，把準顯性結構

數學學習的內容因其邏輯結構而有序深化，學生的學習也因其結構性引導而有序生長。縱向梳理教材中相關內容的發展順序，以串聯的方式呈現內容的顯性結構，能使學生清晰地把握知識發展的脈絡，找準新知的生長點。新知的出現充分激活了學生原有相似的經驗理解，運用探究和發現的方法，讓學生用自己的頭腦獲得知識。正如布魯納所說：“學生掌握了結構，就獲得了一個學科的基本概念的能力；然后，學生就可以利用這些基本概念把它們當作認識和攻克其他問題的基礎。”

2.縱橫交錯，凸顯隱性思想

相鄰的概念具有“隱約的相似性”因素，從而使它們之間存在“隱約性”聯系。這些隱性的相似點包括知識結構、思考方法、操作方式等。在探究新知時，可以通過對話、討論、演示和練習等多種渠道，創造恰當的學習情景，啟發學生找到新識與舊知之間的聯系，挖掘隱藏在知識背后的數學思想方法，從而將新知納入已有的認知結構中，以不斷完善自己的認知結構。正如施瓦布主張的：“探究教學中，要讓兒童親自體驗到學科知識和方法的結構特點和差異，親自體驗到學科實質結構的可修正性和多樣性。在學生體驗學科結構、科學知識的靈活性的同時，形成探究的靈活性。”

案例1：五年級下冊“異分母分數加減法”

（1）喚醒：用豎式計算。

[2 3 5

+ 8 9] [3. 6

- 1. 9]

（2）說一說：豎式計算時要注意什么？（相同數位對齊，從低位算起。）

（3）小結：整數、小數的計算，首先要相同數位對齊，也就是相同的計數單位相加減。

（4）出示例題：明橋小學有一塊長方形試驗田，其中種黃瓜，種番茄。種黃瓜和番茄的一共占這塊地的幾分之幾？

讓學生獨立思考，可以借助折一折、畫一畫、算一算等方法。

生1：化成小數。+=0.5+0.25=0.75=。

生2：通分相加。+=+ =。

師：同學們用不同的方法探索出了+的算理，這些方法有什么共同之處呢？

生：把不能直接相加的分數，想辦法轉化成小數或同分母分數，再相加。

師：用你最喜歡的方法來試一試：+=？（學生研究的時間稍長）

生：先通分再相加：+=+=。（絕大多數的學生選用了這種方法）

師：為什么你們都選用通分的方法？

生：我覺得還是通分的方法比較通用，無論怎樣的兩個分數都可以轉化成同分母分數。

師：那讓我們一起再來重點研究這種“先通用，再計算”的方法。

學生在學習“異分母分數加減法”時，“分數單位不同，不能直接相加減”的矛盾引發了學生思維的不平衡。教師先引導學生復習“整數與小數”的豎式計算方法，并追問計算時的注意點，喚醒了學生對算理的回憶，及時提煉算法。這些已有的相似經驗的激活與溝通，為學生主動探索新知提供了基礎。學生借助算法的相似經驗，主動將新內容納入已有的認知結構，對其進行分解、轉化。“畫圖表示”喚起學生頭腦里的圖示經驗，借助直觀形象的長方形理解算理；“化成小數”喚起學生頭腦里的小數加法經驗，運用轉化的策略與思想來探究結果；“通分相加”則喚起學生“統一分數單位”的經驗，對異分母分數進行加工轉化。學生思維的角度不同，也帶來了學生運用經驗解決問題時的差異。接著，教師組織學生探究更復雜的異分母分數加法計算，學生在研究中自主自覺地將方法聚焦于通分，實現了自主優化的目的，也體現出“先通分再計算”的普遍適用性。

二、干擾的經驗——本質辨析，修正偏頗

1.突出主干，建構認知網絡

學生的學習過程是運用經驗，主動建構認知網絡的過程。在學習過程中，已有的認知經驗會對學生的學習產生一定影響，這就是遷移的作用。正遷移的積極作用會推動學生建構，而負遷移的消極作用則會阻礙學生對新知的建構。突出概念的主干，能把新問題與過去所熟悉的知識進行分析、類比、聯想，有機地聯系起來，找出它們之間的內在聯系，運用遷移的積極作用幫助學生理解概念的本質內涵，以點帶面地建構起知識結構。只有以數學的基本概念、基本原理及其規律和聯系為要素，把知識的基本結構教給學生，才能使學生達到知識、能力、態度的遷移，從而提高學習效率。

2.比較辨析，修正錯誤偏差

比較常能使模糊變清晰，錯誤變正確。新知學習的過程既是對已有經驗的擴充完善，更是運用經驗解決新問題的探索再造。錯誤是有意義的學習所必需的。讓學生在學習中犯些錯誤不僅是應該的，而且是有益的，可以使學生通過自我調節而達到認知平衡。錯誤也會引導學生順應自己的知識結構，并把觀察到的結果同化到修正過了的知識結構中去。當學生的思維受阻或發生偏差時，給予學生時間和機會，在比較辨析中不斷修正錯誤或偏頗的認識，形成科學正確的數學概念與理解，經歷多次循環往復的錘煉，學生的思維會更科學、簡潔，積累的活動經驗才會具有數學味，具有無窮的張力。

案例2：三年級下冊“認識幾分之一”endprint

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應該用表示。

師：現在出現了兩種不同的結論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學爭論的焦點在于“看個數”，還是“看平均分的份數”。其他同學呢？

生：我認為分數的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發現看圖寫分數，要看平均分的份數。

師：是的，我們在研究分數的時候，關鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個桃看成一個整體，但平均分的份數不同，那么其中的一份所表示的分數就不同。當然，我們到五年級還會學習，其實和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學生已經認識了“把一個物體平均分成幾份，每份是這個物體的幾分之一”，本課是在此基礎上學習“把一些物體看成一個整體，平均分成幾份，每份是這個整體的幾分之一”。“整體的幾分之一”是認知的難點，需要打破學生原有認知結構中的“一個物體的幾分之一”對學生建構新知造成的干擾。學生往往停留在“幾個物體就是幾份”的原始認知上，不能用原有的認知圖式同化新知，需要對原有圖式進行修改或重建，以適應新知的變化，不斷達到認知平衡。

三、斷裂的經驗——果敢介入，設置階梯

1.提供腳手架，找準最近發展區

當學生應用原有的知識經驗不能解決新問題時，除了給予學生充分的時間討論與思考外，教師要及時干預指導，為學生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時適度的幫助使學生的思維跳出了原有的定勢，走出了暫時的困境，實現了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級

學生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學習過程中學生不時會遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發展路途中的引路人，為他們創設更多具有挑戰性的內容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區間里點撥、解惑，觸發學生的思維向更深更寬處延伸，經歷豁然開朗的頓悟過程，為解決復雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級下冊“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個圓的面積，根據圓的面積計算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學生的困惑所在，這正是解決問題的關鍵。于是，我順勢一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學生拿起筆算了起來。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時追問：你們有什么發現嗎？）

生5：我發現了！其實，這個“半徑的平方”可以直接應用，而不必去算出半徑是多少。原來那個問題可以解決了。

經他這么一說，其他同學慢慢地明白過來。再組織學生辨析、計算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學生解決了問題后，組織學生回顧解決問題的過程：開始你為什么覺得難，甚至無從下手？后來得到了哪些幫助？有什么啟示？

當學生面對稍復雜且高于原有認知水平的問題時，往往會出現畏難情緒，思路受阻，暫時找不到解決問題的方案。上例中，學生的思維受困于圓的面積計算公式，受困于半徑的長度。面對學生的困惑與無奈，教師給予學生充分的思考時間，讓他們說說自己的想法和困難之處，學生在討論中得到啟發，思路慢慢暢通。正如一位學生所說“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順水推舟地“改題”，實則是借助對比指引學生發現解決問題的“突破口”。最后，教師及時組織學生回顧解決問題的過程，引領學生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學生積累解決這類非常規問題的經驗。?

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應該用表示。

師：現在出現了兩種不同的結論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學爭論的焦點在于“看個數”，還是“看平均分的份數”。其他同學呢？

生：我認為分數的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發現看圖寫分數，要看平均分的份數。

師：是的，我們在研究分數的時候，關鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個桃看成一個整體，但平均分的份數不同，那么其中的一份所表示的分數就不同。當然，我們到五年級還會學習，其實和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學生已經認識了“把一個物體平均分成幾份，每份是這個物體的幾分之一”，本課是在此基礎上學習“把一些物體看成一個整體，平均分成幾份，每份是這個整體的幾分之一”。“整體的幾分之一”是認知的難點，需要打破學生原有認知結構中的“一個物體的幾分之一”對學生建構新知造成的干擾。學生往往停留在“幾個物體就是幾份”的原始認知上，不能用原有的認知圖式同化新知，需要對原有圖式進行修改或重建，以適應新知的變化，不斷達到認知平衡。

三、斷裂的經驗——果敢介入，設置階梯

1.提供腳手架，找準最近發展區

當學生應用原有的知識經驗不能解決新問題時，除了給予學生充分的時間討論與思考外，教師要及時干預指導，為學生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時適度的幫助使學生的思維跳出了原有的定勢，走出了暫時的困境，實現了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級

學生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學習過程中學生不時會遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發展路途中的引路人，為他們創設更多具有挑戰性的內容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區間里點撥、解惑，觸發學生的思維向更深更寬處延伸，經歷豁然開朗的頓悟過程，為解決復雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級下冊“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個圓的面積，根據圓的面積計算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學生的困惑所在，這正是解決問題的關鍵。于是，我順勢一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學生拿起筆算了起來。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時追問：你們有什么發現嗎？）

生5：我發現了！其實，這個“半徑的平方”可以直接應用，而不必去算出半徑是多少。原來那個問題可以解決了。

經他這么一說，其他同學慢慢地明白過來。再組織學生辨析、計算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學生解決了問題后，組織學生回顧解決問題的過程：開始你為什么覺得難，甚至無從下手？后來得到了哪些幫助？有什么啟示？

當學生面對稍復雜且高于原有認知水平的問題時，往往會出現畏難情緒，思路受阻，暫時找不到解決問題的方案。上例中，學生的思維受困于圓的面積計算公式，受困于半徑的長度。面對學生的困惑與無奈，教師給予學生充分的思考時間，讓他們說說自己的想法和困難之處，學生在討論中得到啟發，思路慢慢暢通。正如一位學生所說“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順水推舟地“改題”，實則是借助對比指引學生發現解決問題的“突破口”。最后，教師及時組織學生回顧解決問題的過程，引領學生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學生積累解決這類非常規問題的經驗。?

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應該用表示。

師：現在出現了兩種不同的結論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學爭論的焦點在于“看個數”，還是“看平均分的份數”。其他同學呢？

生：我認為分數的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發現看圖寫分數，要看平均分的份數。

師：是的，我們在研究分數的時候，關鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個桃看成一個整體，但平均分的份數不同，那么其中的一份所表示的分數就不同。當然，我們到五年級還會學習，其實和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學生已經認識了“把一個物體平均分成幾份，每份是這個物體的幾分之一”，本課是在此基礎上學習“把一些物體看成一個整體，平均分成幾份，每份是這個整體的幾分之一”。“整體的幾分之一”是認知的難點，需要打破學生原有認知結構中的“一個物體的幾分之一”對學生建構新知造成的干擾。學生往往停留在“幾個物體就是幾份”的原始認知上，不能用原有的認知圖式同化新知，需要對原有圖式進行修改或重建，以適應新知的變化，不斷達到認知平衡。

三、斷裂的經驗——果敢介入，設置階梯

1.提供腳手架，找準最近發展區

當學生應用原有的知識經驗不能解決新問題時，除了給予學生充分的時間討論與思考外，教師要及時干預指導，為學生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時適度的幫助使學生的思維跳出了原有的定勢，走出了暫時的困境，實現了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級

學生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學習過程中學生不時會遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發展路途中的引路人，為他們創設更多具有挑戰性的內容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區間里點撥、解惑，觸發學生的思維向更深更寬處延伸，經歷豁然開朗的頓悟過程，為解決復雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級下冊“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個圓的面積，根據圓的面積計算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學生的困惑所在，這正是解決問題的關鍵。于是，我順勢一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學生拿起筆算了起來。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時追問：你們有什么發現嗎？）

生5：我發現了！其實，這個“半徑的平方”可以直接應用，而不必去算出半徑是多少。原來那個問題可以解決了。

經他這么一說，其他同學慢慢地明白過來。再組織學生辨析、計算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學生解決了問題后，組織學生回顧解決問題的過程：開始你為什么覺得難，甚至無從下手？后來得到了哪些幫助？有什么啟示？

當學生面對稍復雜且高于原有認知水平的問題時，往往會出現畏難情緒，思路受阻，暫時找不到解決問題的方案。上例中，學生的思維受困于圓的面積計算公式，受困于半徑的長度。面對學生的困惑與無奈，教師給予學生充分的思考時間，讓他們說說自己的想法和困難之處，學生在討論中得到啟發，思路慢慢暢通。正如一位學生所說“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順水推舟地“改題”，實則是借助對比指引學生發現解決問題的“突破口”。最后，教師及時組織學生回顧解決問題的過程，引領學生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學生積累解決這類非常規問題的經驗。?