利用圖式優化數學思想方法的研究

諸錦娟

《數學課程標準》（2011年版）在總目標中指出：“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。”數學思想對學生認識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學生如何用數學的眼光、數學的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應該說，數學思想方法是數學的靈魂。那么，如何有意識地優化學生的數學思想方法呢？筆者認為，在課堂中可以利用圖式引導學生學習，激活學生思維，優化數學思想。

現以蘇教版數學六年級上冊“解決問題的策略”的教學為例，加以闡述。

一、借助“優學方法導圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設10只全是大船。

生2：可以假設10只全是小船。

生3：可以假設一半是大船，一半是小船。

師：同學們提出了三種不同的假設情況，讓我們來試試看！

出示優學方法導圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數量關系] [選擇一種假設情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學習] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據優學圖的指引，完成學習單，然后小組交流。

在學習例題前，學生還處于一種“似有所悟”的狀態，他們的思考呈現出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優學方法導圖”，幫助學生把這些碎片進行整理，并對學習方法進行優化，讓此段的學習進入一個“呈現—納入—碎片—整理—優化”的過程。這里的“優學方法導圖”是一幅學習的流程圖，是對學生學習方法的指導。圖中用兩種顏色進行了區分，綠色方框表示學生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學習內容。學生有了“優學方法導圖”的指引，不僅學習步驟清晰了，學習目標也更明確了。

二、利用“優學思維導圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數多了8人。因為一條小船被當作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設與實際總人數相差多少，調整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學生發言非常踴躍，呈現出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學生都只抽取了與數學有關的“大船”與“小船”的數量特征，而船的具體形態不見了。如果說抽象思維的細胞是概念，形象思維的細胞是表象，那么學生課堂中產生的這些“學習圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現。在利用圖式導學的過程中，數學思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調整 驗證][假設一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數一數腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優學思維導圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數；8-3=5（只），求出雞的只數。我想8只假設都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優學思維導圖一”：

[假設都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生2：我把8只假設都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數；8-5=3（只），求出雞的只數。

師相機出示“優學思維導圖二”：

[假設都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學完例題后，教師根據學生歸納的思路，完成了板書的“優學思維導圖”，這是對學生解題思路的梳理。這幅“優學思維導圖”既是學生解題思路的總結圖，也是學生練習時思考問題的引導圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學會了畫應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題?！弊鳛槔蠋?，我們時常發現學生沒有理清數量關系，可這是為什么呢？根源在于學生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優學思維導圖”幫助學生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學生學習數學有很大的幫助。

三、構建“隱性思路導圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學生制作了176件蝴蝶標本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設13塊全是大展板，就比176多多少件標本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設13塊全是小展板，就比176少多少件標本呢？再想……

從學生的回答可以發現，學生已經把板書呈現的“優學思維導圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學生的解法時，發現班級中絕大多數學生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學生對策略的理解和運用已經越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經留在他的心底?！庇纱思氨?，數學課堂應該最終留給孩子什么呢？我想應該是數學思想方法。一旦學業結束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數學思想方法已經積淀在他們心底，照亮他們前進的道路。縱觀整節課，數學思想方法蘊含在知識的構建、發展和運用中。先通過“優學方法導圖”的指引自主學習；再通過小組探究概括出“優學思維導圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導圖”。整個學習過程，既優化了認知結構，又體現了數學思想方法。我想：這就是數學課的魅力所在，也是我們永遠追尋的優質課堂的“根”。?endprint

《數學課程標準》（2011年版）在總目標中指出：“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。”數學思想對學生認識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學生如何用數學的眼光、數學的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應該說，數學思想方法是數學的靈魂。那么，如何有意識地優化學生的數學思想方法呢？筆者認為，在課堂中可以利用圖式引導學生學習，激活學生思維，優化數學思想。

現以蘇教版數學六年級上冊“解決問題的策略”的教學為例，加以闡述。

一、借助“優學方法導圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設10只全是大船。

生2：可以假設10只全是小船。

生3：可以假設一半是大船，一半是小船。

師：同學們提出了三種不同的假設情況，讓我們來試試看！

出示優學方法導圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數量關系] [選擇一種假設情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學習] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據優學圖的指引，完成學習單，然后小組交流。

在學習例題前，學生還處于一種“似有所悟”的狀態，他們的思考呈現出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優學方法導圖”，幫助學生把這些碎片進行整理，并對學習方法進行優化，讓此段的學習進入一個“呈現—納入—碎片—整理—優化”的過程。這里的“優學方法導圖”是一幅學習的流程圖，是對學生學習方法的指導。圖中用兩種顏色進行了區分，綠色方框表示學生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學習內容。學生有了“優學方法導圖”的指引，不僅學習步驟清晰了，學習目標也更明確了。

二、利用“優學思維導圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數多了8人。因為一條小船被當作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設與實際總人數相差多少，調整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學生發言非常踴躍，呈現出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學生都只抽取了與數學有關的“大船”與“小船”的數量特征，而船的具體形態不見了。如果說抽象思維的細胞是概念，形象思維的細胞是表象，那么學生課堂中產生的這些“學習圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現。在利用圖式導學的過程中，數學思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調整 驗證][假設一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數一數腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優學思維導圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數；8-3=5（只），求出雞的只數。我想8只假設都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優學思維導圖一”：

[假設都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生2：我把8只假設都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數；8-5=3（只），求出雞的只數。

師相機出示“優學思維導圖二”：

[假設都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學完例題后，教師根據學生歸納的思路，完成了板書的“優學思維導圖”，這是對學生解題思路的梳理。這幅“優學思維導圖”既是學生解題思路的總結圖，也是學生練習時思考問題的引導圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學會了畫應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題?！弊鳛槔蠋煟覀儠r常發現學生沒有理清數量關系，可這是為什么呢？根源在于學生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優學思維導圖”幫助學生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學生學習數學有很大的幫助。

三、構建“隱性思路導圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學生制作了176件蝴蝶標本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設13塊全是大展板，就比176多多少件標本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設13塊全是小展板，就比176少多少件標本呢？再想……

從學生的回答可以發現，學生已經把板書呈現的“優學思維導圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學生的解法時，發現班級中絕大多數學生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學生對策略的理解和運用已經越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經留在他的心底?！庇纱思氨耍瑪祵W課堂應該最終留給孩子什么呢？我想應該是數學思想方法。一旦學業結束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數學思想方法已經積淀在他們心底，照亮他們前進的道路?？v觀整節課，數學思想方法蘊含在知識的構建、發展和運用中。先通過“優學方法導圖”的指引自主學習；再通過小組探究概括出“優學思維導圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導圖”。整個學習過程，既優化了認知結構，又體現了數學思想方法。我想：這就是數學課的魅力所在，也是我們永遠追尋的優質課堂的“根”。?endprint

《數學課程標準》（2011年版）在總目標中指出：“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式?！睌祵W思想對學生認識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學生如何用數學的眼光、數學的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應該說，數學思想方法是數學的靈魂。那么，如何有意識地優化學生的數學思想方法呢？筆者認為，在課堂中可以利用圖式引導學生學習，激活學生思維，優化數學思想。

現以蘇教版數學六年級上冊“解決問題的策略”的教學為例，加以闡述。

一、借助“優學方法導圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設10只全是大船。

生2：可以假設10只全是小船。

生3：可以假設一半是大船，一半是小船。

師：同學們提出了三種不同的假設情況，讓我們來試試看！

出示優學方法導圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數量關系] [選擇一種假設情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學習] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據優學圖的指引，完成學習單，然后小組交流。

在學習例題前，學生還處于一種“似有所悟”的狀態，他們的思考呈現出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優學方法導圖”，幫助學生把這些碎片進行整理，并對學習方法進行優化，讓此段的學習進入一個“呈現—納入—碎片—整理—優化”的過程。這里的“優學方法導圖”是一幅學習的流程圖，是對學生學習方法的指導。圖中用兩種顏色進行了區分，綠色方框表示學生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學習內容。學生有了“優學方法導圖”的指引，不僅學習步驟清晰了，學習目標也更明確了。

二、利用“優學思維導圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數多了8人。因為一條小船被當作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設與實際總人數相差多少，調整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學生發言非常踴躍，呈現出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學生都只抽取了與數學有關的“大船”與“小船”的數量特征，而船的具體形態不見了。如果說抽象思維的細胞是概念，形象思維的細胞是表象，那么學生課堂中產生的這些“學習圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現。在利用圖式導學的過程中，數學思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調整 驗證][假設一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數一數腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優學思維導圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數；8-3=5（只），求出雞的只數。我想8只假設都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優學思維導圖一”：

[假設都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生2：我把8只假設都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數；8-5=3（只），求出雞的只數。

師相機出示“優學思維導圖二”：

[假設都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學完例題后，教師根據學生歸納的思路，完成了板書的“優學思維導圖”，這是對學生解題思路的梳理。這幅“優學思維導圖”既是學生解題思路的總結圖，也是學生練習時思考問題的引導圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學會了畫應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題?！弊鳛槔蠋?，我們時常發現學生沒有理清數量關系，可這是為什么呢？根源在于學生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優學思維導圖”幫助學生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學生學習數學有很大的幫助。

三、構建“隱性思路導圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學生制作了176件蝴蝶標本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設13塊全是大展板，就比176多多少件標本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設13塊全是小展板，就比176少多少件標本呢？再想……

從學生的回答可以發現，學生已經把板書呈現的“優學思維導圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學生的解法時，發現班級中絕大多數學生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學生對策略的理解和運用已經越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經留在他的心底?！庇纱思氨?，數學課堂應該最終留給孩子什么呢？我想應該是數學思想方法。一旦學業結束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數學思想方法已經積淀在他們心底，照亮他們前進的道路?？v觀整節課，數學思想方法蘊含在知識的構建、發展和運用中。先通過“優學方法導圖”的指引自主學習；再通過小組探究概括出“優學思維導圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導圖”。整個學習過程，既優化了認知結構，又體現了數學思想方法。我想：這就是數學課的魅力所在，也是我們永遠追尋的優質課堂的“根”。?endprint