教給學(xué)習(xí)方法 學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

邱廷建 福建省上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校小學(xué)教研室副主任，中學(xué)高級教師，福建省特級教師，福建省優(yōu)秀教研員，福建省中小學(xué)百名名師培養(yǎng)對象，龍巖市小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室領(lǐng)銜人，龍巖市小學(xué)數(shù)學(xué)名師。

潛心教研，善于思考，勤于筆耕。在30多種教育教學(xué)類刊物上發(fā)表教學(xué)文章340多篇。主編或參與編寫了《新課程小學(xué)數(shù)學(xué)名師同步教學(xué)設(shè)計叢書》《名師名課》《小學(xué)數(shù)學(xué)課課通》等師生用書29部，曾應(yīng)邀到福州、廈門、龍巖、杭州等地作專題講座或評課20多場次，主持或參與指導(dǎo)國家、省、市級課題研究20多個，指導(dǎo)50多位教師參加市、省、全國教學(xué)比賽獲獎。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。”古人云：“授人以魚，只供一餐之需；授人以漁，則終身受用無窮?！苯探o學(xué)生學(xué)習(xí)方法猶如交給學(xué)生打開知識大門的鑰匙，讓學(xué)生真正掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)，靈活地、智慧地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷增長聰明才智、提高學(xué)習(xí)能力。因此，教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法、讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

一、引導(dǎo)類比推理，學(xué)會遷移知識和方法

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果?！鳖惐韧评硎菑奶厥獾教厥獾耐评恚歉鶕?jù)兩個對象有一部分屬性相類似，推出這兩個對象的其他屬性也相類似的一種推理。數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性較強，后繼學(xué)習(xí)的知識有不少是先前學(xué)習(xí)知識的變形、概括、發(fā)展和加深。因此，類比推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，教師要重視教給學(xué)生類比推理的方法，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，運用知識的遷移規(guī)律，由舊知到新知，促進(jìn)知識、技能和方法的遷移，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

例如，教學(xué)“推導(dǎo)三角形的面積計算公式”時，由于學(xué)生有了“推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式”的知識和經(jīng)驗，推導(dǎo)過程具有相似性，因此可以利用類比推理的方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角形的面積計算公式。先啟發(fā)學(xué)生想一想：怎樣把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來計算它的面積？思考轉(zhuǎn)化過程要注意的問題，如：怎樣剪？怎樣通過平移和旋轉(zhuǎn)得到？然后放手讓學(xué)生用“割補法”把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的長方形或平行四邊形，并想一想：什么變了？什么沒有變？最后引導(dǎo)學(xué)生歸納、推導(dǎo)出三角形的面積計算公式。同樣，在教學(xué)“推導(dǎo)梯形的面積計算公式”時，也可以利用類比推理的方法，先啟發(fā)學(xué)生想一想：怎樣用“割補法”把梯形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形？然后放手讓學(xué)生動手操作和自主探索，歸納、推導(dǎo)出梯形的面積計算公式。再如，“除法、分?jǐn)?shù)和比”都具有相除的意思，根據(jù)這種相似性，教師在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，可以根據(jù)商不變性質(zhì)：“在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。”放手讓學(xué)生自主探索，利用類比推理得出：“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，叫作分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。”同樣，在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時，也可以讓學(xué)生利用類比推理得出：“比的前項和后項同時乘和除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。”這樣的教學(xué)過程，運用遷移規(guī)律，將新知納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，引導(dǎo)學(xué)生遷移、類推，實現(xiàn)新知同化，是一種高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

需要注意的是，類比推理不是論證，用類比推理得出的結(jié)論不一定正確，但它在科學(xué)假設(shè)、猜想中有著重要的作用。

二、引導(dǎo)求異創(chuàng)新，學(xué)會轉(zhuǎn)換角度思考

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用?！眲?chuàng)新離不開思維，沒有思維就不可能有創(chuàng)新。創(chuàng)新思維具有的發(fā)散性、廣闊性、靈活性和敏捷性等特點，是提高創(chuàng)新能力的核心能量。求異不應(yīng)滿足于已有的思維成果，而應(yīng)向新的角度思考和探索。求異創(chuàng)新就是要沿著不同的方向、不同的途徑，去探索、思考和分析，創(chuàng)造性地解決問題。因此在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不拘泥于狹隘的解題思路，突破單一的思維模式，鼓勵學(xué)生敢于打破常規(guī)，不斷地調(diào)整思維方式，轉(zhuǎn)換角度思考，沿著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多層次、多側(cè)面加以解決。

例如，教學(xué)“一個圓和一個長方形，它們的面積相等，圓的半徑等于長方形的寬。已知圓的周長是31.4厘米，求長方形的長”這道題時，學(xué)生一般會按常規(guī)思路解答，先求出圓的半徑（即長方形的寬），然后求出圓的面積（即長方形的面積），最后求出長方形的長。即：①31.4÷3.14÷2=5（厘米）；②3.14×5×5=78.5（平方厘米），78.5÷5=15.7（厘米）。為了讓學(xué)生跳出常規(guī)思維，教師還可以呈現(xiàn)直觀圖形，給學(xué)生提供臺階，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形聯(lián)想圓面積計算公式的推導(dǎo)過程。由于學(xué)生會再現(xiàn)先前學(xué)習(xí)圓面積計算公式推導(dǎo)過程時的表象，腦中閃現(xiàn)出把圓剪拼成長方形的圖像，明白圓周長的一半就是長方形的長，于是便能巧妙地一步解答出來：31.4÷2=15.7（厘米）。這種解答方法太簡捷了，促使學(xué)生改變已經(jīng)習(xí)慣了的思維定勢，打破常規(guī)思維，充分發(fā)揮想象力，最終使學(xué)生的創(chuàng)新思維火花得到迸發(fā)。

學(xué)會轉(zhuǎn)換角度思考，是培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新思維的重要途徑。由于人的思維過程不是直線上升，而是螺旋式上升，猶如爬樓梯的臺階一樣，所以學(xué)生在某一點上可能會遇到一些困難，僅靠他們自身的力量和現(xiàn)有的水平，往往是無法跨越或上升的。此時，教師就要充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，進(jìn)行啟發(fā)和點撥，為學(xué)生提供進(jìn)一步上升的臺階，或者說腳手架，讓學(xué)生繼續(xù)攀登。只有這樣，才能有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。

三、引導(dǎo)質(zhì)疑問難，學(xué)會提出和解決問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣。”古人云：“學(xué)起于思，思源于疑?！币墒撬贾迹瑢W(xué)之端。問題的發(fā)現(xiàn)是引起思維的第一步，思維是從問題開始的，有問題才有思考，有思考才有發(fā)展。質(zhì)疑是思維的導(dǎo)火線，是學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。在教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供質(zhì)疑的時間和機會，新授后一般應(yīng)安排學(xué)生質(zhì)疑問題。教師應(yīng)抓住質(zhì)疑這個環(huán)節(jié)，倡導(dǎo)教學(xué)民主，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，敢于發(fā)問，提出富有思考性和挑戰(zhàn)性的問難。同時，教師要對學(xué)生提出的問題加以整理、概括和選擇，并把必須在課堂上解決的問題交給學(xué)生思考、討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行析疑、解疑，使問題得到解決。

例如，在教學(xué)完《3的倍數(shù)的特征》后，可設(shè)計下面的判斷題：13、19、26、45、87、89、97、323、867、6825934674，這些數(shù)是不是3的倍數(shù)？對于前面9個較小的數(shù)，學(xué)生一般都能根據(jù)“一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)”這個特征進(jìn)行快速口算并作出判斷，但對于6825934674這個大數(shù)，學(xué)生就可能需要先動筆計算然后進(jìn)行判斷了，這樣判斷速度也就慢多了。此時教師可引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問難，鼓勵學(xué)生提出問題。學(xué)生可能提出：“用一般的方法判斷這個大數(shù)是不是3的倍數(shù)比較麻煩，有沒有比較簡捷的方法呢？”要解決學(xué)生提出的這個問題有一定的難度，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生討論交流，充分發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的作用，盡量讓學(xué)生自己找到比較簡捷的判斷方法。如果學(xué)生無法找到解決這個問題的策略，教師再給予啟發(fā)和點撥，幫助學(xué)生釋疑和解疑。如教師啟發(fā)、指導(dǎo)：先把這個大數(shù)分成幾個“小節(jié)”，把各“小節(jié)”各數(shù)位上的數(shù)字加起來并組成一個新的數(shù)；又把新的數(shù)分成幾個“小節(jié)”， 把各“小節(jié)”各數(shù)位上的數(shù)字加起來并組成一個新的數(shù)，直到能直接判斷為止。教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)：按從左到右的順序，各個數(shù)位上的數(shù)只要碰到是3的倍數(shù)的就不用加，不是3的倍數(shù)的幾個數(shù)字相加得到3的倍數(shù)后又可以不加，再重新加別的數(shù)字，最后加出來的數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。如6825934674這個數(shù)：從高位到低位的順序，6是3的倍數(shù)不用加，8+2+5=15，15是3的倍數(shù)，又可以不用再加了，9、3都是3的倍數(shù)不用加，4（后面的6不用加）+7+4=15，最后結(jié)果是15，而15是3的倍數(shù)，所以6825934674是3的倍數(shù)。這個過程不僅是質(zhì)疑問難的過程，更是解決問題的過程。問題是數(shù)學(xué)的心臟，沒有問題就不會有解決問題的數(shù)學(xué)思想、方法和知識。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面，要把數(shù)學(xué)問題看作學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線；另一方面，要通過學(xué)習(xí)來生成問題，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程看成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。

四、引導(dǎo)比較辨析，學(xué)會溝通聯(lián)系和區(qū)別

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“教師還應(yīng)揭示知識的數(shù)學(xué)實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生理清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。”教育家烏申斯基說過：“比較方法乃是各種認(rèn)識和各種思維的基礎(chǔ)?！薄皼]有比較就沒有鑒別。”幫助學(xué)生掌握比較辨析的思維方法，溝通知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要經(jīng)歷一系列的條件反射過程，在這個條件反射形成的過程中，由于神經(jīng)興奮過程的擴(kuò)散，學(xué)生對一些數(shù)學(xué)概念、解題方法的掌握往往容易引起“泛化”現(xiàn)象。這種“泛化”現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在學(xué)生或者只注意與自己生活比較密切的屬性而忽略其他本質(zhì)屬性，或者誤把非本質(zhì)屬性當(dāng)作本質(zhì)屬性，或者把表面相似而本質(zhì)不同的數(shù)學(xué)問題混為一談。為了使“泛化”變?yōu)椤胺只?，這就需要教師教給學(xué)生比較辨析的方法，學(xué)會溝通聯(lián)系和區(qū)別。

例如，教學(xué)完“工程問題”后，教師可出示“東西兩地相距400千米，甲車自東向西行駛要4小時，乙車自西向東行駛要5小時。甲、乙兩車同時從兩地相向而行，多少小時后相遇？”“一批零件200個，甲單獨做4小時完成，乙單獨做5小時完成。甲、乙合做，幾小時可以完成任務(wù)？”這兩道題，組織學(xué)生比較辨析，讓學(xué)生進(jìn)行聯(lián)系和區(qū)別。首先，引導(dǎo)學(xué)生比較題目的特征。讓學(xué)生理清一道題是相遇問題，另一道題是生產(chǎn)問題，它們的情境不同，問題不同，而數(shù)量既有相同又有不同。其次，引導(dǎo)學(xué)生比較解題思路，讓學(xué)生說一說這兩道題的解題思路，先算什么，再算什么，最后算什么，掌握一般應(yīng)用問題的解答思路，感悟這兩道題的條件和解題思路是相同的。最后，引導(dǎo)學(xué)生將這兩道題與“工程問題”進(jìn)行比較。把兩道題中“全程400千米”和“一批零件200個”的條件去掉，就變成了另外兩道工程問題的題目。這兩道工程問題與前面兩道題相比較，解法迥然不同。這樣，相遇問題、生產(chǎn)問題與工程問題的區(qū)別，就會給學(xué)生留下深刻印象。如果一段路程的全長或一批零件的總數(shù)量不知道，我們可以把它看作單位“1”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來解答。如把“全程400千米” 或“一批零件200個”看作單位“1”，這兩道“工程問題”的解答算式相同：1÷（+）=（小時）。這樣通過比較，不僅溝通了“工程問題”的解題思路與學(xué)過的整數(shù)應(yīng)用問題的解題思路的聯(lián)系與區(qū)別，而且使學(xué)生掌握了“工程問題”的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律，提高了學(xué)生靈活解決問題的能力。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法很多，除了上面類比推理、求異創(chuàng)新、質(zhì)疑問難、比較辨析這些方法應(yīng)讓學(xué)生掌握外，也要注意教給學(xué)生其他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，掌握多樣化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，逐步形成會學(xué)的技能，達(dá)到“教是為了不教”的效果。?