變量代換在中學(xué)數(shù)學(xué)解方程的應(yīng)用

劉亦俊

運(yùn)用變換思想解題方法一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)考試對數(shù)學(xué)解題思想方法考查的一個(gè)重要考點(diǎn)和中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題手段，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將重點(diǎn)歸納總結(jié)變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的具體方面的應(yīng)用，并運(yùn)用實(shí)例展示變換法的靈活使用.

變量代換又稱換元法、輔助元素法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化.

1.局部換元

又稱整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母代替它從而簡化問題，有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

小結(jié)：觀察題目結(jié)構(gòu)，找出可換元的對象是局部換元法的關(guān)鍵，以下題型常常用到局部換元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中達(dá)到換元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）為根式函數(shù).若f（x）和g（x）之間存在某種聯(lián)系，則令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根號(hào)，則將t=f（x）（或t=g（x））兩邊平方，化為關(guān)于t的兩次函數(shù).

2.三角換元

應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元.

分析：所給的方程為圓方程，x，y互相影響，為兩個(gè)變量.本題看似很難下手，但因?yàn)閳A方程有三角函數(shù)表示形式，利用三角變換x-1=cosθy-1=sinθ，則x+y-k≥0就變?yōu)閏osθ+sinθ+2-k≥0，只有θ為一個(gè)自變量，θ∈[0，2π]，則易求k的最大值.

需根據(jù)題目注意以上變換θ的取值范圍.

3.均值換元

當(dāng)題目中的題設(shè)條件出現(xiàn)類似于x+y=2k的條件時(shí)，我們就可以把x，y分別設(shè)為x=k+t，y=k-t（k，t均為實(shí)數(shù)）解題，這種換元法就叫做均值換元法.

無論在中學(xué)數(shù)學(xué)教材、訓(xùn)練復(fù)習(xí)題還是在中、高考真題中，我們都能看到變換法的廣泛應(yīng)用.熟悉掌握各種變換方法有利于學(xué)生快速、便捷地解答題目.數(shù)學(xué)家說“數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是把一個(gè)未解決的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決的問題”，把未知問題和已知問題聯(lián)系起來是數(shù)學(xué)家波利亞在著作《怎樣解題》中所強(qiáng)調(diào)的.我們只有有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，才能具有數(shù)學(xué)的頭腦和眼光.

參考文獻(xiàn)：

[1]湯永東.變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].浙江省象山縣高塘學(xué)習(xí).

[2]劉清吾.巧用三角換元法解代數(shù)問題[J].湖南省湘鄉(xiāng)市第二中學(xué).endprint

運(yùn)用變換思想解題方法一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)考試對數(shù)學(xué)解題思想方法考查的一個(gè)重要考點(diǎn)和中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題手段，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將重點(diǎn)歸納總結(jié)變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的具體方面的應(yīng)用，并運(yùn)用實(shí)例展示變換法的靈活使用.

變量代換又稱換元法、輔助元素法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化.

1.局部換元

又稱整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母代替它從而簡化問題，有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

小結(jié)：觀察題目結(jié)構(gòu)，找出可換元的對象是局部換元法的關(guān)鍵，以下題型常常用到局部換元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中達(dá)到換元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）為根式函數(shù).若f（x）和g（x）之間存在某種聯(lián)系，則令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根號(hào)，則將t=f（x）（或t=g（x））兩邊平方，化為關(guān)于t的兩次函數(shù).

2.三角換元

應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元.

分析：所給的方程為圓方程，x，y互相影響，為兩個(gè)變量.本題看似很難下手，但因?yàn)閳A方程有三角函數(shù)表示形式，利用三角變換x-1=cosθy-1=sinθ，則x+y-k≥0就變?yōu)閏osθ+sinθ+2-k≥0，只有θ為一個(gè)自變量，θ∈[0，2π]，則易求k的最大值.

需根據(jù)題目注意以上變換θ的取值范圍.

3.均值換元

當(dāng)題目中的題設(shè)條件出現(xiàn)類似于x+y=2k的條件時(shí)，我們就可以把x，y分別設(shè)為x=k+t，y=k-t（k，t均為實(shí)數(shù)）解題，這種換元法就叫做均值換元法.

無論在中學(xué)數(shù)學(xué)教材、訓(xùn)練復(fù)習(xí)題還是在中、高考真題中，我們都能看到變換法的廣泛應(yīng)用.熟悉掌握各種變換方法有利于學(xué)生快速、便捷地解答題目.數(shù)學(xué)家說“數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是把一個(gè)未解決的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決的問題”，把未知問題和已知問題聯(lián)系起來是數(shù)學(xué)家波利亞在著作《怎樣解題》中所強(qiáng)調(diào)的.我們只有有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，才能具有數(shù)學(xué)的頭腦和眼光.

參考文獻(xiàn)：

[1]湯永東.變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].浙江省象山縣高塘學(xué)習(xí).

[2]劉清吾.巧用三角換元法解代數(shù)問題[J].湖南省湘鄉(xiāng)市第二中學(xué).endprint

運(yùn)用變換思想解題方法一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)考試對數(shù)學(xué)解題思想方法考查的一個(gè)重要考點(diǎn)和中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題手段，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將重點(diǎn)歸納總結(jié)變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的具體方面的應(yīng)用，并運(yùn)用實(shí)例展示變換法的靈活使用.

變量代換又稱換元法、輔助元素法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化.

1.局部換元

又稱整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母代替它從而簡化問題，有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

小結(jié)：觀察題目結(jié)構(gòu)，找出可換元的對象是局部換元法的關(guān)鍵，以下題型常常用到局部換元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中達(dá)到換元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）為根式函數(shù).若f（x）和g（x）之間存在某種聯(lián)系，則令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根號(hào)，則將t=f（x）（或t=g（x））兩邊平方，化為關(guān)于t的兩次函數(shù).

2.三角換元

應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元.

分析：所給的方程為圓方程，x，y互相影響，為兩個(gè)變量.本題看似很難下手，但因?yàn)閳A方程有三角函數(shù)表示形式，利用三角變換x-1=cosθy-1=sinθ，則x+y-k≥0就變?yōu)閏osθ+sinθ+2-k≥0，只有θ為一個(gè)自變量，θ∈[0，2π]，則易求k的最大值.

需根據(jù)題目注意以上變換θ的取值范圍.

3.均值換元

當(dāng)題目中的題設(shè)條件出現(xiàn)類似于x+y=2k的條件時(shí)，我們就可以把x，y分別設(shè)為x=k+t，y=k-t（k，t均為實(shí)數(shù)）解題，這種換元法就叫做均值換元法.

無論在中學(xué)數(shù)學(xué)教材、訓(xùn)練復(fù)習(xí)題還是在中、高考真題中，我們都能看到變換法的廣泛應(yīng)用.熟悉掌握各種變換方法有利于學(xué)生快速、便捷地解答題目.數(shù)學(xué)家說“數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是把一個(gè)未解決的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決的問題”，把未知問題和已知問題聯(lián)系起來是數(shù)學(xué)家波利亞在著作《怎樣解題》中所強(qiáng)調(diào)的.我們只有有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，才能具有數(shù)學(xué)的頭腦和眼光.

參考文獻(xiàn)：

[1]湯永東.變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].浙江省象山縣高塘學(xué)習(xí).

[2]劉清吾.巧用三角換元法解代數(shù)問題[J].湖南省湘鄉(xiāng)市第二中學(xué).endprint