數(shù)學學習重在理解

徐鳳

摘 要： 數(shù)學學習需要理解。數(shù)學知識具有高度的抽象性，學生對它的認識、理解和內(nèi)化是一個漸進的感悟過程，需要讀、說、反復、反思。

關鍵詞： 數(shù)學學習 理解 感受 反思

數(shù)學一直是大部分學生公認的最難學的學科之一。在數(shù)學學習過程中，很多學生都面臨相同的困惑：他們認識數(shù)學材料中的每一個字、字母與數(shù)字，可當這些字、字母與數(shù)字連在一起以后，他們卻不能理解其中含義了，更不用說體會其中的數(shù)學思想方法了；上課時感覺都聽懂了，到了解題時卻不會了。這樣的問題，我認為是學生沒能獲得真正的數(shù)學理解，他們并不理解自以為知道的東西，或許他們根本不理解自己正在學習的東西。

國內(nèi)外許多專家學者從不同角度對理解問題做了積極的探索與研究，不同學派的研究結果體現(xiàn)出一個共同的觀點：數(shù)學學習需要理解？沒有理解就不可能有真正的數(shù)學學習。

什么是數(shù)學理解？對于中職數(shù)學的教與學，我認為首先是學生要清楚所學的數(shù)學內(nèi)容是什么并能清楚表達；其次是學生能將所學的內(nèi)容跟其已有的知識建立聯(lián)系，并將新知納入已有的認知結構中；最后是能在問題情境中運用知識。

一、落實有效的課堂理解教學

1.讓學生感受知識產(chǎn)生的背景，理解學習數(shù)學內(nèi)容的必要性。

在日常的教學過程中，學生總是會問：學了這些數(shù)學知識這有什么用？因為他們在實踐中或自然界中找不到它們，他們不能理解如此這般的數(shù)學學習的正當理由。

任何學習都是一個認知過程，教科書并不能讓學生了解知識發(fā)展的所有過程，對于學習數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題的過程，思考問題的方法，解決問題的途徑不可能全部展示。讓學生理解學習知識的背景及其必要性，明白知識的產(chǎn)生也有過程，是人類生活和進步的需要，是極其有價值的。例如在推廣角的概念時，向學生提出如下問題：假如你的手表快了5分鐘或慢了1.5小時，你是怎樣將它校準的？校準后分針各轉了多少度？學生用手表進行實際操作，實驗中學生發(fā)現(xiàn)兩個問題：一是分針可以順時針或逆時針旋轉，二是分針有時候旋轉不到一周，有時候要轉一周以上才能校準。這樣的發(fā)現(xiàn)與學生知識結構中已有的內(nèi)容不再一致，導致學生的認知發(fā)生沖突，使學生明確角必須重新定義，理解學習任意角這一內(nèi)容的必要性，既明確了要研究的問題，又調(diào)動了學生解決問題的主動性和積極性，是學生理解和掌握知識的開始。

2.讓學生體驗知識的形成過程，在自主學習活動中感悟。

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”數(shù)學不是純粹的解題教學，學生獲取數(shù)學結果遠比不上他獲取這個結果的過程重要，知識的理解必須讓學生經(jīng)過親身經(jīng)歷它的產(chǎn)生。

在教學函數(shù)的奇偶性定義時，設計以下步驟，讓學生親歷知識形成的過程。

（2）判斷各函數(shù)圖像的對稱性；

（3）根據(jù)所列表格尋找各函數(shù)圖像上點的橫縱坐標之間的關系，學生會得到結論：橫坐標互為相反數(shù)時，縱坐標相等或互為相反數(shù)；

（4）引導學生將語言形式表述的概念轉化為數(shù)學的表述形式，結合函數(shù)圖像，得到在定義域內(nèi)有x必定有-x，其對應的函數(shù)值f（x）和f（-x）相等時圖像關于y軸對稱，互為相反數(shù)時圖像關于原點對稱，既揭示了奇偶函數(shù)的定義，又明確了定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

（5）啟發(fā)學生思考定義域不關于原點對稱，以及f（x）和f（-x）既不相等又不互為相反數(shù)等情況將知識補充完整。

通過以上步驟，引導學生經(jīng)過積極思考，發(fā)現(xiàn)知識的產(chǎn)生，體驗思維過程，探索數(shù)學結論，感悟其中的思想方法和內(nèi)在聯(lián)系，真正地理解知識的本質(zhì)。

3.讓學生在運用中升華數(shù)學理解。

學習知識的最終目的是運用知識解決問題。知識形成后，直接的例題講解是教師帶領學生加深感性認識，感悟知識的內(nèi)在，及時而有針對性的練習讓學生自己深化理解。知識只有被深刻地理解了才具有遷移與應用的活性，讓學生在運用中深化理解，在理解中提升運用，構建知識結構，完成數(shù)學知識的積累與內(nèi)化。

二、促進學生數(shù)學理解教學的若干策略

1.閱讀。

談起閱讀，一般都會聯(lián)想到語文和英語學科，數(shù)學知識的理解離不開閱讀。數(shù)學學科與其他學科的一個顯著區(qū)別在于數(shù)學中充滿著符號、圖形和圖像，它們按照一定規(guī)則表達數(shù)學意義交流數(shù)學思想。數(shù)學閱讀的過程是一個積極的思考過程，當一個學生閱讀一段數(shù)學材料時，他眼看、口讀、耳聽、心想，多種感官并用，在讀中消化、感悟所學的數(shù)學知識，并在大腦中形成系統(tǒng)性的知識體系。

數(shù)學語言的精練和嚴密常讓學生覺得數(shù)學內(nèi)容非常抽象，尤其是在概念、定義、定理的學習中，如果僅靠老師的講述，學生通常是在一知半解的基礎上死記硬背，即使當時背得滾瓜爛熟，很快就會忘得一干二凈。引導學生閱讀，逐字、逐詞、逐句地咬文嚼字，體會其中出現(xiàn)的數(shù)學術語和每個數(shù)學符號的含義，形成實質(zhì)性的理解。

例如要求學生讀函數(shù)單調(diào)性的定義，逐字感受“某個區(qū)間”、“任意”等關鍵詞，強調(diào)學生對的理解，認識單調(diào)區(qū)間的元素。又如在引入對數(shù)，復數(shù)等內(nèi)容時，閱讀相關的數(shù)學史可以讓學生了解更多知識的背景和發(fā)展過程，完善對知識的理解。

2.說。

學生理解知識的表現(xiàn)形式之一是能用自己的語言表達，在課堂上引導學生對概念或定理進行描述和分析，啟發(fā)學生講解解題思路和思考過程，把數(shù)學知識轉化為內(nèi)部的思維活動。說的過程，會讓學生更主動地思考和傾聽，通過說，學生在嘗試概括出數(shù)學對象，以自己的經(jīng)驗和已有知識對數(shù)學對象進行解釋的同時也能接受他人的思想。有條理地說能幫助加深理解，理解了才能有效地講解和交流，更好地表達。

3.反復。

學習是一個經(jīng)驗積累的過程，數(shù)學理解也必定是一個逐步深入的過程，學生不可能一次性地把握數(shù)學知識全部的本質(zhì)，初步的經(jīng)驗不是沒有意義，只是通常比較膚淺和片面，理解的過程有發(fā)生也有發(fā)展，需要在解題、復習、測驗等情境中，靈活反復地再現(xiàn)同一知識，才能做到“聽懂、想通、應用和鞏固”，使思維對對象的把握達到理性認識的階段，進展到一個更深入、更全面、更廣闊的程度，才可能洞察數(shù)學對象的本質(zhì)特征，實現(xiàn)對此知識逐步深化、精確化的理解。endprint

4.反思。

數(shù)學教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力。”數(shù)學理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認知結構的再組織。要形成真正的理解，需要學習者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡，在認識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結構把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學習到一定的階段時，我們不僅要對所學內(nèi)容進行回顧，而且要對學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡。又如學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學公式的理解。

三、教師幫助學生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學習環(huán)節(jié)都要依賴之前學習過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學知識，學生常常在我們稱為“教學難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學內(nèi)容的跳躍處，學生學習所需要的準備知識。在學習一個新概念以前，學生必須具備與之有關的準備知識，如果學生已有數(shù)學認知結構中缺乏與新知識相關的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學生原有的認知結構，采取適當?shù)氖侄螏椭麄兘嬆切┤鄙俚挠^念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學新知識奠定堅實的基礎。

例如在學習求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關知識是支撐新概念形成的依托；復數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準備。

2.注重給予學生自主活動和學習體驗的機會。

數(shù)學理解教學是過程性教學，教師要給學生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學生在獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學知識的把握直接影響到學生的理解結果。

只有教師理解了數(shù)學知識生成的過程，準確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡中的位置，才能為學生提供信息，創(chuàng)設情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學知識的實質(zhì)。

數(shù)學需要被理解地學習，理解是數(shù)學學習的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學知識的關鍵，是數(shù)學能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學學習，教師應該讓每一個學生都成為數(shù)學理解學習的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

參考文獻：

[1]高洪武.關注概念教學加強數(shù)學理解.現(xiàn)代中小學教育，2010（9）.

[2]徐志蓮.論高中數(shù)學概念課教學模式.麗水學院學報，2005-10.

[3]王愛珍.新課程下數(shù)學理解與促進學生數(shù)學理解.中學數(shù)學教學參考，2008-5.

[4]于福群.高中數(shù)學新課程教學應注重學生的理解學習.教育實踐與研究，2009-10.endprint

4.反思。

數(shù)學教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力。”數(shù)學理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認知結構的再組織。要形成真正的理解，需要學習者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡，在認識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結構把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學習到一定的階段時，我們不僅要對所學內(nèi)容進行回顧，而且要對學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡。又如學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學公式的理解。

三、教師幫助學生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學習環(huán)節(jié)都要依賴之前學習過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學知識，學生常常在我們稱為“教學難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學內(nèi)容的跳躍處，學生學習所需要的準備知識。在學習一個新概念以前，學生必須具備與之有關的準備知識，如果學生已有數(shù)學認知結構中缺乏與新知識相關的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學生原有的認知結構，采取適當?shù)氖侄螏椭麄兘嬆切┤鄙俚挠^念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學新知識奠定堅實的基礎。

例如在學習求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關知識是支撐新概念形成的依托；復數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準備。

2.注重給予學生自主活動和學習體驗的機會。

數(shù)學理解教學是過程性教學，教師要給學生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學生在獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學知識的把握直接影響到學生的理解結果。

只有教師理解了數(shù)學知識生成的過程，準確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡中的位置，才能為學生提供信息，創(chuàng)設情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學知識的實質(zhì)。

數(shù)學需要被理解地學習，理解是數(shù)學學習的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學知識的關鍵，是數(shù)學能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學學習，教師應該讓每一個學生都成為數(shù)學理解學習的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

參考文獻：

[1]高洪武.關注概念教學加強數(shù)學理解.現(xiàn)代中小學教育，2010（9）.

[2]徐志蓮.論高中數(shù)學概念課教學模式.麗水學院學報，2005-10.

[3]王愛珍.新課程下數(shù)學理解與促進學生數(shù)學理解.中學數(shù)學教學參考，2008-5.

[4]于福群.高中數(shù)學新課程教學應注重學生的理解學習.教育實踐與研究，2009-10.endprint

4.反思。

數(shù)學教育家弗洛登塔爾說：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力。”數(shù)學理解是一個動態(tài)發(fā)展的過程，是一個信息要素組織的過程，需要認知結構的再組織。要形成真正的理解，需要學習者不斷地鞏固和重組知識網(wǎng)絡，在認識向前發(fā)展的過程中返首回顧，重溫已接觸過的東西。

獲得的知識如果沒有完整的結構把它們聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。學習到一定的階段時，我們不僅要對所學內(nèi)容進行回顧，而且要對學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略進行反省，理清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，體會數(shù)學是一個有機整體，建立、完善和豐富新舊知識之間的網(wǎng)絡。

例如將等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，通項公式，求和公式及有關性質(zhì)進行類比，不但強化了知識間的對比，而且鮮明地展示了知識獲取的過程，形成了清晰的知識脈絡。又如學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，兩倍角公式，半角公式，萬能公式后，通過反思公式的內(nèi)在聯(lián)系體會對數(shù)學公式的理解。

三、教師幫助學生克服理解困難的幾點做法

1.深入了解學生已有的知識經(jīng)驗。

每一個學習環(huán)節(jié)都要依賴之前學習過的很多個環(huán)節(jié)的數(shù)學知識，學生常常在我們稱為“教學難點”的地方出錯。這種情況常常發(fā)生在教學過程中知識的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處，教學內(nèi)容的跳躍處，學生學習所需要的準備知識。在學習一個新概念以前，學生必須具備與之有關的準備知識，如果學生已有數(shù)學認知結構中缺乏與新知識相關的舊知識或經(jīng)驗，就無法提取可利用的知識或經(jīng)驗建立新舊知識的聯(lián)系，從而造成理解困難。

教師必須熟悉學生原有的認知結構，采取適當?shù)氖侄螏椭麄兘嬆切┤鄙俚挠^念，明晰那些模糊的觀念并強化其穩(wěn)定性，為理解數(shù)學新知識奠定堅實的基礎。

例如在學習求一元二次不等式的解時，一元二次方程，二次函數(shù)等相關知識是支撐新概念形成的依托；復數(shù)的四則運算需要多項式運算，有理化因式等知識的準備。

2.注重給予學生自主活動和學習體驗的機會。

數(shù)學理解教學是過程性教學，教師要給學生充足的思考和探索的時間，足夠的嘗試和討論的時間，提供他們概括和表達的機會，使學生在獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都得到進步和發(fā)展。

3.教師對數(shù)學知識的把握直接影響到學生的理解結果。

只有教師理解了數(shù)學知識生成的過程，準確地把握知識的本質(zhì)及其在整個知識網(wǎng)絡中的位置，才能為學生提供信息，創(chuàng)設情境，搭建理解的平臺，揭示數(shù)學知識的實質(zhì)。

數(shù)學需要被理解地學習，理解是數(shù)學學習的中心環(huán)節(jié)，是獲得數(shù)學知識的關鍵，是數(shù)學能力發(fā)展的“奠基石”。沒有理解就不可能有真正的數(shù)學學習，教師應該讓每一個學生都成為數(shù)學理解學習的參與者、實踐者、探索者和收獲者。

參考文獻：

[1]高洪武.關注概念教學加強數(shù)學理解.現(xiàn)代中小學教育，2010（9）.

[2]徐志蓮.論高中數(shù)學概念課教學模式.麗水學院學報，2005-10.

[3]王愛珍.新課程下數(shù)學理解與促進學生數(shù)學理解.中學數(shù)學教學參考，2008-5.

[4]于福群.高中數(shù)學新課程教學應注重學生的理解學習.教育實踐與研究，2009-10.endprint