火災下混凝土板溫度場的幾種計算方法

邱俊男 袁 勇 崔彥軒

1 引 言

發生火災的建筑不僅災后要評估建筑結構的性能，還應分析火災過程結構的性能變化，這意味著高溫不僅導致結構性能退化，還會引起結構內力響應變化。因此，確定構件內溫度場分布是進行構件乃至整體結構分析的前提。

針對混凝土溫度場的計算，歐洲規范[1]給出了試驗法、實用圖表法以及數值分析三種方法；一些學者[2,3]提出了簡化計算的方法；我國目前尚沒有統一的混凝土結構抗火計算規范，只在廣東省編寫了一本地方性抗火規范[4](其后簡稱廣東規范)，在該規范中規定使用實用圖表法與數值分析計算構件溫度場。困擾結構工程師的問題是，這些溫度場分析方法繁簡不一，工程應用中不同方法的計算參數選取以及各方法的普適性和解答的一致性。

混凝土板作為混凝土結構中最基本的構件，在火災下，部分板(如中隔板)需要具有隔火功能，另一部分板(如樓板)不僅要具有隔火功能還要有承載功能，因此，選取分析混凝土板的溫度場具有一定的代表性。本文擬通過混凝土板的溫度場分析比較常用方法的一致性。此外，有研究表明，鋼筋混凝土結構的內力和變形狀態對結構的熱傳導和溫度場變化的影響很小[5]，本文的分析不考慮混凝土結構內力與溫度場的耦合作用。

2 混凝土溫度場的基本原理

2.1 混凝土溫度場控制方程與邊界條件

就混凝土結構而言，當火災發生后，周圍空氣溫度隨時間上升，混凝土構件通過與熱空氣之間的傳熱及構件內部的導熱實現熱的傳遞。其傳熱過程分為兩個階段三種方式，第一階段熱由室內(或室外)以對流換熱和物體間的輻射換熱方式傳給混凝土構件外表面；第二階段構件內部熱以固體導熱的方式傳遞到內部各點。

鋼筋混凝土在火災下，屬于非穩態導熱，構件內溫度場為不穩定溫度場，其控制方程為非線性的拋物線形偏微分方程。

混凝土內部的導熱微分方程為[6]

(1)

方程定解的邊界條件共有三種[6]：

第一類邊界條件，已知s1邊界上各瞬時的溫度分布，即

Ts=Tb(P,t) (P∈s1,t>t0)

(2)

式中，T為溫度;P為空間點或空間坐標變量;t為時間。

第二類邊界條件，已知s2邊界上各瞬時的熱流密度，即

(3)

式中，n表示外法線方向；λ為混凝土的導熱系數。

第三類邊界條件，已知s3邊界上熱交換情況。

(4)

式中，qc為對流交換的熱量；qr熱輻射交換的熱量：

qc=β(Tg-T)

(5)

式中，β為對流換熱系數，W/(m2·K)；Tg為空氣溫度；T為構件表面溫度。

qr=Φ·σ·ε[(Tr+273)4-(Tm+273)4]

(6)

式中，Φ為外形系數;σ為Stephan Boltzmann常數，值為5.67×10-8W/(m2·K4);ε為表面輻射系數;Tr為有效的火災環境輻射溫度;Tm為構件的表面溫度。

2.2 混凝土溫度場的熱工參數

由式(1)不難發現，影響混凝土溫度場的熱工參數主要是混凝土的導熱系數λc、比熱容cp以及密度ρ。混凝土的組成材料的成分復雜且離散性大，熱工系數很難準確地給定。目前，歐洲規范[1]中的參數取值得到較普遍接受。

1) 導熱系數

混凝土的導熱系數由于骨料、含水量等的不同而存在較大差異。

歐洲規范[1]給出了常規混凝土導熱系數λc的范圍：

上限：

λc=2-0.245 1(T/100)+0.010 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(7)

下限：

λc=1.36-0.136(T/100)+0.005 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(8)

式中，λc為混凝土導熱系數；T為混凝土溫度。

Lie[7]忽略了各種因素的影響，給出的建議導熱系數：

λc=1.9-0.000 85T0 ℃≤T≤800 ℃

(9)

λc=1.22T>800 ℃

(10)

式中，λc為混凝土導熱系數;T為混凝土溫度。

2) 比熱容[1,4]

混凝土的比熱容隨溫度變化而變化，廣東規范對歐洲規范的計算式進行了簡化，給出如下計算式。

cp(T)=900 J/(kg·K)

20 ℃≤T≤100 ℃

(11)

cp(T)=900+(T-100) J/(kg·K)

100 ℃

(12)

cp(T)=1 000+(T-200)/2 J/(kg·K)

200 ℃

(13)

cp(T)=1 100 J/(kg·K)

400 ℃

(14)

式中，cp為混凝土比熱容。

3) 密度[1]

一般認為，混凝土常溫密度可以取為ρ(20 ℃)=2 300 kg/m3，由于失水的影響，密度隨溫度的變化，可以定義如下：

ρ(T)=ρ(20 ℃)

20 ℃≤T≤115 ℃

(15)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[1-0.02(T-115)/85]

115 ℃

(16)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.98-0.03(T-200)/200]

200 ℃

(17)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.95-0.07(T-400)/800]

400 ℃

(18)

式中,ρ為混凝土的密度。

3 混凝土溫度場計算方法

3.1 試驗法

試驗法指通過足尺火災試驗得到的測試數據的方法。它可為其他方法提供驗證和基本數據，應用新材料或構建新型建筑的火災場景應進行溫度場的試驗研究。但試驗法相對于其他設計方法花費大，一些大型試驗費用高昂，有時也難以全面模擬邊界的物理和力學條件。

陳禮剛[8]按照ISO834標準火災升溫曲線進行的厚度120 mm普通混凝土板的試驗中，測定了板特定部位的溫度發展過程?；炷涟彘L、寬、厚分別為4 300 mm、1 500 mm、120 mm?？諝鉁囟?5 ℃,板的下表面暴露在燃燒爐中，升溫曲線為圖1中的虛線曲線，為第三類邊界條件；上表面暴露在空氣中，同樣是第三類邊界條件；側邊用耐火保溫材料石棉蓋住，可簡化認為其為絕熱面，第二類邊界條件。本文采用其試驗數據作為試驗法的代表值，為了方便比較，后面幾種方法的溫度場計算，均采用這一試驗的尺寸。需要指出的是，試驗中實測的升溫曲線較ISO834曲線略低，見圖1，這在后面的數值模擬計算中將予以考慮。

圖1 空氣升溫曲線[8]Fig.1 Temperature increase curve

3.2 實用圖表法

若規范以圖表方式給出了特定升溫曲線下混凝土構件截面的溫度場，可方便地進行結構抗火計算。但在使用圖表法時，應注意建立圖表的具體條件，據此加以使用，否則易產生錯誤。

歐洲規范中結構抗火部分[1]與廣東的地方規范[4]均在附錄中給出了ISO834升溫曲線下的混凝土溫度場，所選取的室溫為20 ℃，兩本規范中熱工參數的選取只有少許差別，廣東規范給出更多情形的溫度場分布。圖2為取自廣東規范中板厚度為120 mm的溫度分布。

圖2 廣東規范120 mm板的溫度場[4]Fig.2 Temperature distribution of an 120 mm RC slab in Guangdong Standard

3.3 簡化計算法

對于簡單形狀的混凝土構件高溫下溫度場，如果能建立簡化的計算式則比其他方式簡潔方便。在各種簡化計算方法中，Hertz[3]與Wickstr?m[2]提出的方法得到了普遍接受。本文使用Wickstr?m的方法來計算在ISO834火災升溫條件下普通混凝土板的溫度場。

1) 混凝土板受火面表面溫度

Tw=ηwTf

(19)

(2) 混凝土板內溫度

Tc=ηxηwTf

(20)

式中，ηx=0.18ln(th/x2)-0.81(無量綱)；Tc為混凝土板深度x處的溫度(℃)；x為距受火面深度(m)。

這個方法也可以使用在二維情況，例如計算梁上的溫度場。此時，需要引入y方向的系數ηy，具體形式如下：

Tc=[ηw(ηx+ηy-2ηxηy)+ηxηy]Tf

(21)

式中，參數意義與式(19)、式(20)相同。

該公式通過修正等效爆火時間等參數，可以適用于其他類型混凝土和火災升溫條件。

不難發現，計算系數ηw，ηx需要保持正值，公式才有意義。ηw為正值的條件是時間t>2.53 min,見圖3；而ηx為正值的條件與距受火面深度x有關，圖4為ηx=0時，時間t與距受火面深度x的對應關系。為了保證ηx值為正，點(x,t)需要在直線上側。不難發現隨著深度x的增加，需要更長的時間t來保證ηx的值為正。

圖3 系數ηw與時間th的關系Fig.3 The relation between ηw and time th

在這種計算法的公式中，沒有考慮構件的厚度問題。具體來說，對于不同厚度的板，計算公式都是相同的，同一受火深度的溫度值的計算結果都是相同的，這會在計算中帶來誤差，特別是深度x積累到一定量或構件背火面溫度計算的時候。

圖4 ηx=0時，時間th與深度x的關系Fig.4 The relation between time th and depth x when ηx=0

3.4 數值模擬

火災下混凝土的溫度場是瞬態的拋物線形偏微分方程，復雜初邊值條件時難以獲得解析解，如果考慮混凝土熱工參數隨溫度變化時，解析解基本無法求出。對于高溫混凝土溫度場的計算，數值模擬一般通過時間變量差分法和空間域的有限元單元相結合的方法，可用來計算任何材料組合、形狀、火災場景等的混凝土溫度場。數值模擬沒有試驗法的危險性與高昂花費，又較簡化設計法更能適應初邊界、材料條件。本文采用大型通用軟件Abaqus來計算混凝土的溫度場。模型的邊界與尺寸同陳禮剛[8]的試驗條件。具體情況如下。

建立了長、寬、厚分別為4 300 mm、1 500 mm、120 mm的混凝土板，計算模型如圖5所示。相關研究表明，鋼筋對混凝土溫度場計算的影響不大[9]，本模型中忽略鋼筋?；炷翜囟葓鏊婕暗膮?，混凝土材料的密度、比熱，選取第2.2節中的相應數值；導熱系數由于材料和含水量的原因差異較大，同時它對溫度場的分布也有較大影響，在4.1節根據陳禮剛[8]的建議，計算中取式(9)、式(10)，在4.2節的計算中取式(8)。

圖5 Abaqus中板模型圖Fig.5 Abaqus model

計算模型為單面受火形式：板的下表面為受火面，下表面通過對流和輻射兩種方式傳熱，依據式(4)—式(6)進行計算，其中對流換熱系數為25 W/(m2·K)[10]，輻射的形狀系數取1，表面輻射系數取0.8[10]；上表面為背火面，暴露于室溫的空氣中，歐洲規范規定此時可把與空氣的輻射和對流簡化看成對流換熱系數為9 W/(m2·K)的對流邊界[10]；由于板長度和寬度較厚度大很多，且經過隔熱處理，可簡化認為四個側面為絕熱面，按式(3)計算。

4 結果的比較與分析

4.1 試驗數據與數值模擬的比較

數值模擬按照試驗條件設定，其中，燃燒爐的升溫曲線取圖1中虛線曲線，室溫設定為25 ℃，計算時間取120 min。

混凝土板的溫度場選取距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm、80 mm、120 mm五處為代表截面，所得數據繪于圖6中。

圖6 混凝土板內升溫曲線Fig.6 Temperature increase in the slab

通過圖6不難發現，數值模擬的結果與試驗結果趨勢一致，且吻合很好。

在20 mm、40 mm、60 mm、80 mm開始階段可明顯觀察到試驗的升溫速率比數值模擬快，出現“加速增長”段，同時這種現象隨著深度的增加逐漸減弱，在120 mm處就不存在了。這種情況的出現主要可能是因為試驗在加載情況下進行，混凝土下部產生裂縫，高溫氣體可直接侵襲混凝土內部，所以試驗升溫速率較快；隨著深度的增加，裂縫寬度減小，再加上溫度的絕對數值也減小使得試驗的“加速增長”段逐漸平緩，向靠近數值模擬中的升溫曲線發展；而在位于受壓區的120 mm處，遠離裂縫，且開始階段溫度的絕對數值很小，所以沒有出現 “加速增長”段。

混凝土試驗溫度場在稍高于100 ℃的地方出現明顯的恒溫平臺，這主要是由于水分蒸發吸熱導致的[11]，而在本文的數值模擬中沒有考慮混凝土內部自由水的相變問題，故沒有該平臺。由于恒溫平臺的出現，試驗的升溫曲線在經過恒溫平臺階段后，本該低于數值模擬結果；但由于下部裂縫導致的“加速增長”的影響，在20 mm、40 mm處經過恒溫平臺階段后兩條曲線符合很好，在60 mm、80 mm處甚至稍高于數值模擬結果；但在120 mm處由于沒有裂縫的存在，使得在經過恒溫平臺階段后，大約80 min處，試驗數據低于數值模擬。

4.2 實用圖標法、簡化計算、數值模擬比較

參照規范表格與簡化計算中規定的升溫環境，數值模擬取圖1中的ISO834升溫曲線，室溫設定為20 ℃，計算時間取180 min。

同樣，選取混凝土板距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm(板中)、80 mm、120 mm(背火面)五處為代表截面，所得數據繪于圖8。圖7為板在不同時刻的溫度場云圖。

圖7 混凝土板溫度場云圖Fig.7 Temperature nephogram in the RC slab

由圖8不難發現，三種方法運算結果的趨勢是一致的，特別在20 mm、40 mm處三個結果符合得很好。

數值模擬的結果一直與廣東規范給出的結果吻合很好，相差較小。在距離受火面較近的20 mm處數值模擬的結果比廣東規范稍小，但在120 mm處比規范數值稍大，這主要是數值模擬中導熱系數比廣東規范中稍小引起的。

不計系數ηw，ηx非正的部分，簡化計算方法的結果在20 mm、40 mm處能與其他結果較好符合，當厚度加大到120 mm時其結果會產生較大偏差。總體來說，簡化計算在計算深度較小的時候，結果符合較好；隨著計算厚度的增加，計算結果與其他方法相差逐漸變大。

圖8 混凝土板中升溫曲線Fig.8 Tempreature increase in the middle of the RC slab

5 結 論

通過計算比較，說明了在合理選取參數的前提下，數值模擬與試驗法、數值模擬與實用圖表法計算結果較一致。

簡化計算方便快捷，但只有在ηw，ηx同時為正值時結果才具有意義。由于該方法中沒有考慮構件厚度，即背火面的邊界條件，所以隨著計算深度x的增加誤差會逐漸變大。但是，在靠近受火面的深度，計算結果較精確，例如本文計算案例中的20 mm處。建議使用該方法時，計算深度不要超過30 mm。

實用圖表法計算快速精確，但只能給出特定火災情景、混凝土參數條件下的溫度場，具有很大的局限性。例如本文中的實用圖表法與試驗法結果不具可比性。

本文中針對四種混凝土溫度場計算方法的比較主要是基于ISO834標準升溫曲線下的，若針對不同的火災場景，各種方法的可行性、一致性、繁簡性還有待進一步研究。

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