學生學習高等數學困難的原因分析

韓彩虹，李 略，龐琳娜

(廣西師范大學數學與統計學院，廣西桂林，541004)

在大學高等數學是一門重要的公共基礎課，但補考率一直居高不下。補考的學生中也包括高考數學成績較好的學生。筆者曾在計算機軟件專業和教育技術專業的學生中做過問卷調查，調查結果顯示，大部分學生認為高等數學太抽象、太難，他們對解答極限的定義法證明、中值定理的證明等需要嚴密的數學邏輯思維和辯證思維的題目感到很困難，而對解答求導數、求極值等有固定步驟的題目感到比較容易。本文將分析造成這種現象的原因。

一、忽視了高等數學與高中數學內容間的關系

進入大學，學生剛初步接觸函數、極限、導數、積分這些內容時往往覺得自己已經學過了，于是課上不認真聽講、課下不復習總結。事實上他們對所學知識一知半解，當進入后面更深層次學習時就出現了“很難、不懂”的現象。高等數學的學習是一個嚴密的體系，章章相關、節節相聯，比如導數學得不好勢必會影響積分的學習，這樣就導致了學習的惡性循環，學生的成績下滑甚至不及格也是很自然的。

之所以出現這種情況是因為學生沒認清高中數學與高等數學內容間的關系。高中數學是高等數學的基礎，涉及函數、極限、導數、積分的概念，在課程內容設置方面，這些都是為高等數學學習做準備的。但高等數學又是高中數學的進一步發展和延伸，為高中數學提供理論支持。比如高中學生會利用求導來判斷函數的單調性，但其中的原理卻是在學習高等數學后理解的。如果大學教師在課前不強調高等數學是高中數學的“發展和延伸”，學生很難在學習高等數學之初就發現這一點。

例如，高中數學中只是提到如何求極限的值，卻沒有具體分析極限的含義，所以當學生在高等數學教材中遇到N－ε定義及運用時感到很陌生，有難度。再如導數的概念，高中數學沒有詳細闡述，只是要求學生會簡單的求導運算，到了大學則要求掌握導數概念及分析運用、用隱函數求導等，如果學生由于“輕敵”沒有認真學習，很難掌握這部分內容。

在高中，學生已經習慣了函數是一元的、圖形是等規則的、問題是直觀形象的;到了大學，出現了多元函數、隱函數，圖形是空間曲面等不規則圖形，要以運動變化的觀點研究問題(如求重積分)，涉及微觀領域而且抽象。若沒有提前提醒學生這些區別，學生突然從一種模式進入到另一中模式，會感到措手不及，需要較長時間適應。

高中數學討論的是個別問題，一般是直接解決問題;大學里討論的問題普遍化，經常要用辯證法等間接方法來解決問題。例如微積分的學習，通過討論曲邊梯形的面積及變速直線運動的路程進而提煉出更普遍的表達式——定積分。高等數學常用以直代曲、以有限代無限、以不變代變等方法先得到近似答案，再通過極限方法實現從近似到精確的過渡。

另外，現在高中數學實行新課標，而目前的大學數學教材是按舊的高中數學課標編訂的，所以教學內容的銜接過程中有脫節現象。例如反三角函數、極坐標方面的知識，積化和差、和差化積的公式是學習高等數學必備的三個重要知識點，但這些知識點在高中數學中只是提到了表示符號或已經全部刪除，這勢必會嚴重影響學生學習高等數學。除此以外，有些數學符號也有所變化，如“B?A”指B是A的真子集，“CAB”指是A中子集B的補集或余集，也可以寫作A/B，而習慣上用表示補集和用“?”表示真子集都是不規范的，是錯誤的。

因此，大學教師在教學過程中針對高等數學與高中數學銜接的深化部分、脫節內容以及變化部分應該提前說明、及時補充，或指導學生自學相關的內容，這樣可以減少學生很多困惑。

二、學生不適應高等數學的教學方法

新課標下，高中數學教學倡導學生自主探究的教育理念，主要體現在新課標中加入了數學探究、數學建模等多種以學生為主的新型教學模式，數學建模的教學及競賽是實施素質教育的有效途徑。對于高等數學的教學主要是提倡學生主動探究，傳授的是用數學解決問題的思想和方法。可見二者在教學方法上是一致的。但是由于高考的壓力所在，實際上高中數學的自主探索教學方法不能極大地發揮作用，跟大學里數學的教學方法相比還是有很大差異。

高中數學相對高等數學內容較具體，側重于計算，知識點較少，課時較多。一節課課本內容只講1～2頁，新知識的講授時間大概只有15分鐘，余下的時間是做大量的例題和習題，甚至下節課還是本知識點的練習，這些練習題都是教師查閱很多資料挑選出來供學生練習的，而且教師會對每道題給出詳細的解答并總結解題思路及方法，方便記憶。到了大學，高等數學內容抽象，側重概念與原理的剖析，知識點較多，但課時數相對高中少很多。一節課下來，課本內容講4～8頁，而且授課內容中推理證明很多，課堂上沒有太多時間做練習。作為一線教師，筆者收到的學生評語多數是“講授太快，一節課上了高中時的3節課的內容”，“請像高中老師一樣給我們多做練習題”，“能不能不講證明，好難啊”。其實是學生習慣了高中數學的“例題+練習”的教學方式，喜歡等教師給出結論，不愿意自己探究。在大學，教師只是引導者，更多的是需要學生自主探究，需要學生課后自己查閱相關知識，總結和歸納，這對學生知識遷移的能力提出較高要求。

學生們不適應高等數學的教學方法是造成他們學習高等數學困難、成績下滑的原因之一。此外高中數學和高等數學不同的思維方式也是一個原因。在高中階段，學生習慣了邏輯思維，例如求函數的解析式、最值等許多函數問題，這均屬于對函數的靜態處理。而到了大學要學會運用辯證思維，如連續性、定積分及重積分的定義就要用極限方法對函數作動態分析。學生對這種利用近似認識精確、從有限認識無限的辯證思維認識不足，接受起來感覺困難。

三、學生沒有調整好學習方法

高中數學和高等數學都要把握好預習、聽課、復習、作業這幾個環節，并及時做總結歸納。在高中，學生學數學主要是背公式和定理，通過大量習題來強化解題能力。到了大學，簡單的記憶是遠遠不夠的，所學內容多也使得進行大量的習題訓練不現實。如果學生在學習方法上沒有及時做出調整，勢必會影響高等數學的學習效果，感覺數學難而成績下滑也是必然的。學習高等數學需要注意下面三個方面:

1.相比記憶公式定理來說注重數學思想方法更重要。如歸納法、類比法、映射變換法等，以及一些處理特殊問題的特殊技巧方法。掌握了這些方法以后，學生就可以舉一反三，融會貫通。例如理解了定積分的概念和性質后，用類比的方法不難得出重積分的概念和部分性質。當然，在大學中數學符號很多，要熟練掌握數學符號語言，比如極限的N－ε語言。

3.相比記憶數學本身的知識來說培養數學能力更重要。大學生要通過高等數學的學習來逐漸培養自己的數學能力，包括空間想象能力、數學轉化能力，邏輯思維能力等，比如參加數學建模競賽就是一次很好的綜合運用數學能力和展現數學能力的機會，這種類似的競賽和活動學生應該多參加。

四、結束語

教學內容的變化、教學方法及思維方式的不適應、學習方法沒有及時調整是導致很多學生感覺學習高等數學困難、成績驟跌的原因。教師應該做好下面幾方面的工作，來幫學生順利從高中數學學習過渡到高等數學學習。

幫助學生調整學習方式、端正學習態度。教師指導學生主動學習，提高學生自學能力;指導學生正確處理好抽象內容與直觀模型的關系，注重滲透數學思想方法，加強高等數學與高中數學的有機聯系;適當放慢教學進度，插入部分聯系，引導學生學會歸納總結。

講清楚高等數學與高中數學的異同。第一節課要給學生們簡單講述一下高等數學學習內容的脈絡、章節間的聯系，給他們一個高等數學的結構框架;告訴學生們高等數學是高中數學的延伸和發展，同樣要研究高中數學中的函數的極限、導數，而積分可以簡單地看作求導過程的反向思維，由研究一元函數推廣到研究多元函數。這樣可以減少學生對高等數學學習的恐懼，提高他們的興趣。教師特別要從內容、教學方法和學習方法的不同上指導學生及時做出調整，讓學生及時補充知識，將高等數學與高中數學銜接起來。

加強與學生的溝通和交流。教師通過與學生的溝通和交流了解學生的學習情況，在教學進度和方法上做適當調整。由于大學里學生接觸得最多的是自己的同學，學生與學生之間的溝通和交流就變得很重要，因此要培養學生討論問題的習慣，讓學生在討論中更深刻地理解知識和方法。

總的來說，高等數學教師有必要給學生講清楚高等數學有什么用、與高中數學有什么異同、用什么方法學高等數學，以培養他們學習高等數學的興趣，使學生能盡快適應高等數學的學習，不再出現成績下滑或掛科現象。

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