直線與圓錐曲線位置關系問題的解題策略

許莉

“解方程組”與“點差法”都體現了“設而不求，整體代換”的解題思想與技巧，對解決直線與圓錐曲線位置關系一類題目有著廣泛而重要的應用.現在通過舉例來說明.

一、解方程組

在解題中，將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去一個變量后可得到一個二次方程，控制、討論這個方程的根，并結合韋達定理，可以解決如下問題：

（1）判斷直線與圓錐曲線的位置關系（相交、相切、相離）；

（2）交點問題（公共點的個數，與交點坐標相關的等式或不等式）；

（3）計算弦長（弦長公式為|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k為弦AB所在直線的斜率）.

總結評述：

（1）“解方程組”是處理直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法，它也可用來解決“中點與對稱”問題，但運算較繁，而“點差法”則顯得簡捷、靈活.

（2）在控制直線與圓錐曲線相交時，采用“點差法”的條件是“中點在曲線內部”，采用“解方程組”的條件是“Δ>0”.

總之，利用“解方程組”與“點差法”求解直線與圓錐曲線問題變化多端，學生要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強訓練，多多體會，才能達到舉一反三的目的.

（責任編輯 黃春香）

“解方程組”與“點差法”都體現了“設而不求，整體代換”的解題思想與技巧，對解決直線與圓錐曲線位置關系一類題目有著廣泛而重要的應用.現在通過舉例來說明.

一、解方程組

在解題中，將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去一個變量后可得到一個二次方程，控制、討論這個方程的根，并結合韋達定理，可以解決如下問題：

（1）判斷直線與圓錐曲線的位置關系（相交、相切、相離）；

（2）交點問題（公共點的個數，與交點坐標相關的等式或不等式）；

（3）計算弦長（弦長公式為|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k為弦AB所在直線的斜率）.

總結評述：

（1）“解方程組”是處理直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法，它也可用來解決“中點與對稱”問題，但運算較繁，而“點差法”則顯得簡捷、靈活.

（2）在控制直線與圓錐曲線相交時，采用“點差法”的條件是“中點在曲線內部”，采用“解方程組”的條件是“Δ>0”.

總之，利用“解方程組”與“點差法”求解直線與圓錐曲線問題變化多端，學生要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強訓練，多多體會，才能達到舉一反三的目的.

（責任編輯 黃春香）

“解方程組”與“點差法”都體現了“設而不求，整體代換”的解題思想與技巧，對解決直線與圓錐曲線位置關系一類題目有著廣泛而重要的應用.現在通過舉例來說明.

一、解方程組

在解題中，將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去一個變量后可得到一個二次方程，控制、討論這個方程的根，并結合韋達定理，可以解決如下問題：

（1）判斷直線與圓錐曲線的位置關系（相交、相切、相離）；

（2）交點問題（公共點的個數，與交點坐標相關的等式或不等式）；

（3）計算弦長（弦長公式為|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k為弦AB所在直線的斜率）.

總結評述：

（1）“解方程組”是處理直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法，它也可用來解決“中點與對稱”問題，但運算較繁，而“點差法”則顯得簡捷、靈活.

（2）在控制直線與圓錐曲線相交時，采用“點差法”的條件是“中點在曲線內部”，采用“解方程組”的條件是“Δ>0”.

總之，利用“解方程組”與“點差法”求解直線與圓錐曲線問題變化多端，學生要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強訓練，多多體會，才能達到舉一反三的目的.

（責任編輯 黃春香）