數學教學中學生創造性思維的培養

張志旺

數學教育的根本目的是培養學生的各種數學能力，包括數學思維能力、數學計算能力、數學創造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養.數學教學中所研究的創新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發現新事物，提示新規律，創造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數學教學中應如何培養學生的創造性思維能力呢？

一、注重學生逆向思維的培養

逆向思維是數學的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習慣性的思維方向完全相反的探索，當反復思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數學上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設結論不成立，然后經過一系列正確、嚴密的推理，導出自相矛盾的結論，這就證明了與結論相反的假設不成立，從而肯定了原來結論是正確的.

【例1】 證明：素數有無限個.

證明：假設素數只有有限個，設為p1、p2、…、pn.考查數p1p2…pn+1，它或者是一個素數，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數存在，這與假設相矛盾，從而素數有無限個.

用逆向思維來考慮數學問題，不但可使我們對問題認識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發學生的創造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進行“聯想——轉化”，將未知問題轉化為易于解決或已經解決的問題的思維活動.化歸意識的培養，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養成自覺地聯想、自覺地調整思維方向的鉆研精神和思考習慣，有助于創造能力的培養.

【例2】 一個農民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現在雞的頭的數目與腳的數目是相等的，如果有一只兔子，腳的數目就要比頭的數目大1，所以腳的數目（70）與頭的數目（50）的差（20）就等于兔子的數目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進行變形，以達到化歸的目的，進而創造性地解決問題.

三、廣開思路，培養學生的發散思維

發散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數學上的新思維、新理論和新方法往往來源于發散思維.有人用“創造能力=知識量×發散思維”這個公式來估計一個人的創造能力.可見，加強發散思維的訓練是培養學生創造能力的重要方法.

在教學中，培養學生的發散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓練學生對同一條件，聯想多種結論；改變思維角度，進行變式訓練；培養學生個性，鼓勵創優創新；加強一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴展到空間.

四、注重培養學生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發現，更不能有創造.觀察能力是在學習過程中培養的.那么，在課堂中，怎樣培養學生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求.其次，要在觀察中及時指導.比如要指導學生根據觀察的對象有順序地進行觀察，要指導學生選擇適當的觀察方法，要指導學生及時地對觀察的結果進行分析總結等.第三，要科學地運用直觀教具及現代教學技術，以支持學生對研究的問題做仔細、深入的觀察.第四，要努力培養學生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學生想象力的培養

數學中的猜想能力，是一種高級的創造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數學想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎知識和豐富的經驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執著追求的情感.因此，培養學生的想象力，首先要使學生學好有關的基礎知識.其次，新知識的產生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學中應根據教材潛在的因素，創設想象情境，提供想象材料，誘發學生的創造性想象.另外，還應指導學生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”

數學上的許多創造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數都可以表示成兩個素數之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數，然而其和“12，30，136…”都是偶數，是否有一規律：任何兩個奇素數之和都是偶數？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數，是否都能分解為兩個奇素數之和？對“即使很大”的偶數是可以實際驗證一下，然而能嚴格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發學生的數學靈感

科學家把導致發明創造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數學學習中賴以發現、解決數學問題的那種突然發生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經驗和知識而突然產生的富有創造性的思路.它是認識上質的飛躍.靈感的發生往往伴隨著突破和創新.

在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定.同時，還應誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學所抄寫的，他看到的是倒字，這一現象使他靈機一動：化為同分子分數，再比較大小.這個觸景生情的“靈機一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學中教師應對學生長期進行敢于想象、敢于創新、敢于打破常規的訓練，促使學生想象能力的不斷提高.

在數學教學過程中，要強調學生學會多方面觀察事物，學會數學知識和方法，學會思考和探索，學會猜想，發現問題、解決問題，以此培養學生的數學能力和創造性思維.

參考文獻

[1]張奠宙.數學教育中的“創新”工程大綱[J].數學教學，1999（4）.

[2]任勇.數學學習指導與教學藝術[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中學數學解題論導引[M].合肥：合肥工業大學出版社，2006.

（責任編輯 黃春香）

數學教育的根本目的是培養學生的各種數學能力，包括數學思維能力、數學計算能力、數學創造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養.數學教學中所研究的創新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發現新事物，提示新規律，創造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數學教學中應如何培養學生的創造性思維能力呢？

一、注重學生逆向思維的培養

逆向思維是數學的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習慣性的思維方向完全相反的探索，當反復思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數學上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設結論不成立，然后經過一系列正確、嚴密的推理，導出自相矛盾的結論，這就證明了與結論相反的假設不成立，從而肯定了原來結論是正確的.

【例1】 證明：素數有無限個.

證明：假設素數只有有限個，設為p1、p2、…、pn.考查數p1p2…pn+1，它或者是一個素數，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數存在，這與假設相矛盾，從而素數有無限個.

用逆向思維來考慮數學問題，不但可使我們對問題認識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發學生的創造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進行“聯想——轉化”，將未知問題轉化為易于解決或已經解決的問題的思維活動.化歸意識的培養，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養成自覺地聯想、自覺地調整思維方向的鉆研精神和思考習慣，有助于創造能力的培養.

【例2】 一個農民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現在雞的頭的數目與腳的數目是相等的，如果有一只兔子，腳的數目就要比頭的數目大1，所以腳的數目（70）與頭的數目（50）的差（20）就等于兔子的數目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進行變形，以達到化歸的目的，進而創造性地解決問題.

三、廣開思路，培養學生的發散思維

發散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數學上的新思維、新理論和新方法往往來源于發散思維.有人用“創造能力=知識量×發散思維”這個公式來估計一個人的創造能力.可見，加強發散思維的訓練是培養學生創造能力的重要方法.

在教學中，培養學生的發散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓練學生對同一條件，聯想多種結論；改變思維角度，進行變式訓練；培養學生個性，鼓勵創優創新；加強一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴展到空間.

四、注重培養學生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發現，更不能有創造.觀察能力是在學習過程中培養的.那么，在課堂中，怎樣培養學生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求.其次，要在觀察中及時指導.比如要指導學生根據觀察的對象有順序地進行觀察，要指導學生選擇適當的觀察方法，要指導學生及時地對觀察的結果進行分析總結等.第三，要科學地運用直觀教具及現代教學技術，以支持學生對研究的問題做仔細、深入的觀察.第四，要努力培養學生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學生想象力的培養

數學中的猜想能力，是一種高級的創造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數學想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎知識和豐富的經驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執著追求的情感.因此，培養學生的想象力，首先要使學生學好有關的基礎知識.其次，新知識的產生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學中應根據教材潛在的因素，創設想象情境，提供想象材料，誘發學生的創造性想象.另外，還應指導學生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”

數學上的許多創造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數都可以表示成兩個素數之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數，然而其和“12，30，136…”都是偶數，是否有一規律：任何兩個奇素數之和都是偶數？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數，是否都能分解為兩個奇素數之和？對“即使很大”的偶數是可以實際驗證一下，然而能嚴格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發學生的數學靈感

科學家把導致發明創造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數學學習中賴以發現、解決數學問題的那種突然發生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經驗和知識而突然產生的富有創造性的思路.它是認識上質的飛躍.靈感的發生往往伴隨著突破和創新.

在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定.同時，還應誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學所抄寫的，他看到的是倒字，這一現象使他靈機一動：化為同分子分數，再比較大小.這個觸景生情的“靈機一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學中教師應對學生長期進行敢于想象、敢于創新、敢于打破常規的訓練，促使學生想象能力的不斷提高.

在數學教學過程中，要強調學生學會多方面觀察事物，學會數學知識和方法，學會思考和探索，學會猜想，發現問題、解決問題，以此培養學生的數學能力和創造性思維.

參考文獻

[1]張奠宙.數學教育中的“創新”工程大綱[J].數學教學，1999（4）.

[2]任勇.數學學習指導與教學藝術[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中學數學解題論導引[M].合肥：合肥工業大學出版社，2006.

（責任編輯 黃春香）

數學教育的根本目的是培養學生的各種數學能力，包括數學思維能力、數學計算能力、數學創造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養.數學教學中所研究的創新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發現新事物，提示新規律，創造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數學教學中應如何培養學生的創造性思維能力呢？

一、注重學生逆向思維的培養

逆向思維是數學的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習慣性的思維方向完全相反的探索，當反復思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數學上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設結論不成立，然后經過一系列正確、嚴密的推理，導出自相矛盾的結論，這就證明了與結論相反的假設不成立，從而肯定了原來結論是正確的.

【例1】 證明：素數有無限個.

證明：假設素數只有有限個，設為p1、p2、…、pn.考查數p1p2…pn+1，它或者是一個素數，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數存在，這與假設相矛盾，從而素數有無限個.

用逆向思維來考慮數學問題，不但可使我們對問題認識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發學生的創造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進行“聯想——轉化”，將未知問題轉化為易于解決或已經解決的問題的思維活動.化歸意識的培養，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養成自覺地聯想、自覺地調整思維方向的鉆研精神和思考習慣，有助于創造能力的培養.

【例2】 一個農民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現在雞的頭的數目與腳的數目是相等的，如果有一只兔子，腳的數目就要比頭的數目大1，所以腳的數目（70）與頭的數目（50）的差（20）就等于兔子的數目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進行變形，以達到化歸的目的，進而創造性地解決問題.

三、廣開思路，培養學生的發散思維

發散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數學上的新思維、新理論和新方法往往來源于發散思維.有人用“創造能力=知識量×發散思維”這個公式來估計一個人的創造能力.可見，加強發散思維的訓練是培養學生創造能力的重要方法.

在教學中，培養學生的發散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓練學生對同一條件，聯想多種結論；改變思維角度，進行變式訓練；培養學生個性，鼓勵創優創新；加強一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴展到空間.

四、注重培養學生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發現，更不能有創造.觀察能力是在學習過程中培養的.那么，在課堂中，怎樣培養學生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求.其次，要在觀察中及時指導.比如要指導學生根據觀察的對象有順序地進行觀察，要指導學生選擇適當的觀察方法，要指導學生及時地對觀察的結果進行分析總結等.第三，要科學地運用直觀教具及現代教學技術，以支持學生對研究的問題做仔細、深入的觀察.第四，要努力培養學生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學生想象力的培養

數學中的猜想能力，是一種高級的創造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數學想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎知識和豐富的經驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執著追求的情感.因此，培養學生的想象力，首先要使學生學好有關的基礎知識.其次，新知識的產生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學中應根據教材潛在的因素，創設想象情境，提供想象材料，誘發學生的創造性想象.另外，還應指導學生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”

數學上的許多創造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數都可以表示成兩個素數之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數，然而其和“12，30，136…”都是偶數，是否有一規律：任何兩個奇素數之和都是偶數？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數，是否都能分解為兩個奇素數之和？對“即使很大”的偶數是可以實際驗證一下，然而能嚴格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發學生的數學靈感

科學家把導致發明創造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數學學習中賴以發現、解決數學問題的那種突然發生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經驗和知識而突然產生的富有創造性的思路.它是認識上質的飛躍.靈感的發生往往伴隨著突破和創新.

在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定.同時，還應誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學所抄寫的，他看到的是倒字，這一現象使他靈機一動：化為同分子分數，再比較大小.這個觸景生情的“靈機一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學中教師應對學生長期進行敢于想象、敢于創新、敢于打破常規的訓練，促使學生想象能力的不斷提高.

在數學教學過程中，要強調學生學會多方面觀察事物，學會數學知識和方法，學會思考和探索，學會猜想，發現問題、解決問題，以此培養學生的數學能力和創造性思維.

參考文獻

[1]張奠宙.數學教育中的“創新”工程大綱[J].數學教學，1999（4）.

[2]任勇.數學學習指導與教學藝術[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中學數學解題論導引[M].合肥：合肥工業大學出版社，2006.

（責任編輯 黃春香）