在對話體驗中發展理性思維

李斯林

數學學習的關鍵是學會數學思維，提升理性思維能力.理性思維需要經歷觀察、猜想、推理、運算和歸納，強調邏輯嚴謹、思路清晰、語言準確.現在的課堂教學，數學教師越來越關注教師、學生、文本三者之間的對話.學生積極參與活動，從感知數學到感悟數學，在對話體驗中發展理性思維.

一、教學案例片段

教學案例：“圓錐曲線的統一定義”（蘇教版選修2—1第2.5節）.

1.對話情境，直覺感知

情境：我們已經學習了橢圓、雙曲線、拋物線，這三種曲線統稱為圓錐曲線.圓錐曲線有一些共同特征，比如，方程形式上的統一，都有焦點、對稱性等.圓錐曲線還有一些共同的性質等待我們去探究.

問題：在學完橢圓后，根據雙曲線和橢圓的定義之間的關系，對雙曲線的標準方程、性質等進行類比猜想，然后給予了嚴格的推理論證.在學完拋物線以后，類比拋物線的定義：橢圓和雙曲線可以用這樣的形式定義么？如果可以，這三種曲線都應該滿足怎樣的性質呢？

設計意圖：通過情境描述，讓學生從直覺上感受這三種曲線之間存在著必然的聯系.再通過問題設置，給學生一種具體的數學思維方式.這樣降低了學生學習的難度，有利于展開學習.

2.小組對話，激活思維

要求：同伴交流自己對問題的思考.

下面是一個小組合作時的部分摘錄.

生1：類比拋物線的定義，要保留一些關鍵的信息，比如“在平面內”“到一個定點F的距離”“到一條定直線l的距離”.

生2：“相等”要改為“不相等”.

生3：使用“不相等”，原來的等量關系就變成了不等關系，而橢圓、雙曲線的定義表示的卻是等量關系，如何處理？

生4：課本在第33頁第8題這樣描述：“設點P到點F（1，0）的距離是到直線x=9的距離的13，試判斷點P的軌跡是什么圖像.”我們可以借鑒這道題的描述方式.猜想命題為：“在平面內，到一個定點F的距離是到一條定直線的距離的λ倍的點的軌跡是圓錐曲線.”

生5：F∈/l，λ>0.

生6：考慮到數學的簡潔性，猜想可以修改為：“平面內，到一個定點F的距離和到一條定直線l（F∈/l）的距離之比為λ的點的軌跡是圓錐曲線.”

設計意圖：學生在已有的學習經驗的基礎之上獨立思考，在同伴之間發表見解，相互交流補充，最后在班級集中展示.這能很好地培養學生的獨立思考、觀察分析能力，也有利于學生借鑒他人的優秀做法，取長補短.

3.演繹推理，理性思考

教師用幾何畫板演示了大家的猜想，發現當0<λ<1時，軌跡是橢圓；當λ>1時，軌跡是雙曲線；當λ=1時，軌跡是拋物線.

師：對于猜想的命題是否正確，不能僅僅通過觀察實驗結果判斷，還要給出嚴格的邏輯推理論證.

問題：以橢圓為例，如何判斷猜想的命題是否正確性？如果正確，這里的定直線與a，b，c有什么關聯？常數λ的幾何意義是什么？

師生共同分析探討，得出兩種思路.

思路1：從猜想的命題直接出發求證，仿照建立拋物線的標準方程的方法去建立方程.然后將所得的方程與橢圓的標準方程作比較，從而得到證明.

思路2：從橢圓的標準方程的求解過程中去尋找，看求解過程中是否蘊含有符合猜想的表達式，并給出具體的幾何解釋.

設計意圖：猜想是否正確必須要有嚴格的演繹推理作保證.教師和學生通過共同分析、探討出兩種不同的驗證思路，然后交給不同的學習小組繼續完成探究.這從不同層面上加深了學生對數學本質的認識，有利于學生數學素養的提高.

4.自主反思，優化結構

思考：設計表格，對比圓錐曲線的第一定義和統一定義，找出區別和聯系？并嘗試對研究過程進行反思.

設計意圖：自主反思是對整個課堂學習的全方位思考，有利于學生接受新知識，并將之納入原有的知識結構.而對研究過程的反思則要求學生感悟數學知識的發生發展過程.

二、教學后的思考

1.深入研究教材，理清知識網絡

數學教材是學生學習數學知識的藍本，教師在教學時要強化“用教材教”的理念，切忌拋開書本.教師要弄清知識的來龍去脈，深入研究教材、教學要求，對教材中所蘊含的數學思想與方法進行提煉.

2.注重對話體驗，發展理性思維

教師可以通過觀察、猜想、試驗、類比、歸納、反思等手段不斷讓學生參與數學對話體驗，并從中體會數學的思維方式.在對話體驗時，要注重讓學生從多個角度與文本、同伴、教師進行對話.

（責任編輯 黃桂堅）