融合，讓合和數學課堂向更深處漫

溯楊琴

“合和數學課堂”中的“合” 指融合、合作、結合，“和”指“平和、和順、和諧”，怎樣建立合和數學課堂？筆者以為，“合和數學課堂”首先要體現教師對教材體系的融會貫通和對學生認知能力的了如指掌，只有這樣，課堂才會真正其樂融融，課堂才會向兒童發展的更深處漫溯，下面以課例加以說明。

《奇妙的圖形密鋪》是一節數學實踐活動課，課前筆者在電腦課件上大做文章，學生猜想驗證并欣賞電腦刷屏帶來的視覺沖擊，課堂氣氛看似熱烈，但問題出現：1.始終有孩子認為正五邊形能密鋪。2.為了追求圖形奇妙，孩子們設計的不是密鋪的圖案。學生出現的問題折射出教者對實踐活動課的片面理解，其次，也顯示出教者對教材理解的膚淺。于是筆者重新研究學生，走進教材，自問并思考了以下幾個問題：

一、是“奇妙的圖形”密鋪還是“圖形密鋪”是奇妙的？

課題理解，是教者定位教學目標，設計教學預案，開展教學過程的關鍵。第一次教學中教者極力展示生活中的密鋪現象，利用多媒體讓學生欣賞著名設計家埃舍爾用“奇妙的圖形”密鋪的圖案，學生驚嘆的是風景，卻沒有領悟“圖形密鋪”的實質。教者重新定位課題，制定教學目標，讓學生在猜想、驗證的基礎上先了解能密鋪的平面圖形的特點，以此設計簡單圖形的密鋪圖案，在此基礎上通過欣賞神奇的密鋪世界，激發學生去追求設計更奇妙的密鋪圖案。

二、密鋪概念的內涵是什么？

第一次教學，有學生提出“一塊玻璃打碎后粘合起來就是密鋪”，“密鋪就是密密麻麻地鋪著”，還有學生認為正五邊形也能密鋪，因為鋪成一排時沒有空隙，也不重疊。由于教師對密鋪的理解僅僅停留于“無空隙，不重疊”，所以對學生的疑問僅通過“將五邊形鋪了之后發現有空隙”這一現象進行了反駁，學生并沒有看到概念的本質，甚至以為一種圖形這樣鋪不是密鋪，換成那樣鋪就可能是密鋪。到底什么是密鋪？百度上說：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做鑲嵌。原來“鋪成一片”意味著一種或幾種平面圖形進行拼接，可以繼續無空隙不重疊地向四面八方鋪下去。

三、學生認知提升障礙的突破點在哪里？

當學生對能不能密鋪只能用直覺判斷時，教者必須幫助學生突破認知上的障礙，“鋪成一片”可以通過電腦動畫的設計，向左向右向四面八方鋪下去，學生通過觀察、思考、想像出密鋪現象的可延展性。第一次教學后，教者翻閱各個教材版本，融會貫通之后，終于找到了學生研究的瓶頸，為什么有人認為正五邊形能密鋪，是因為第一次教學時教者呈現的是長方形和正方形地磚實物圖，學生缺乏由實物抽象到圖形這樣一個重要的思維過程。只有將正方形和長方形密鋪后的圖形動態呈現給學生看，他們才能領悟到能密鋪的這些常見的平面圖形它們鋪成后能形成一個周角。

【再實踐】

帶著這些追問和積淀，筆者重新打磨課堂：

一、理解密鋪概念

師：從字面上你怎樣理解“密鋪”？

師：根據理解判斷，下面這四幅畫面哪些是密鋪？哪些不是？密鋪的這兩幅圖，它們分別是由哪種圖形鋪成的？是怎樣鋪在一起的？

師：向四周鋪下去會有空隙、會重疊嗎？還能這樣向四面八方鋪下去嗎？

……

二、探究平面圖形能不能密鋪

（學生驗證活動過程略）

師：哪些圖形能密鋪？哪些不能？

生1：平行四邊形、等腰梯形和正三角形是可以密鋪的，而圓和正五邊形不能密鋪。

生2：我鋪了一排沒有空隙，所以正五邊形是可以密鋪的。

生3：你鋪一排看不出來，再鋪一排看看，發現這里有空隙了吧，所以正五邊形不能密鋪。

生4：我們組將正五邊形拼成了一個像環形的圖形，我想把中間的空隙鋪滿，但是不行，所以正五邊形不能密鋪。

生5：其實正五邊形不需要鋪那么多，我就用了三個，發現鋪成之后有個缺口，我就知道正五邊形不能密鋪。

生6：其他的圖形也不需要鋪很多，只要鋪好后沒有缺口，這個圖形就能密鋪。

師：通過小組合作驗證我們知道：圓和正五邊形不能單獨密鋪，其他四個圖形不管向哪個方向鋪都能單獨密鋪。對這些研究的圖形你們有問題要問嗎？

生1：為什么有的圖形能密鋪？有的圖形不能密鋪？

生2：可能和圖形的什么有關呢？

生3：和邊有關，也可能和角有關。

師：我們就來觀察角的情況，（電腦動畫）你發現了什么？

師：剛才我們研究的梯形和三角形都比較特殊，那么任意三角形能密鋪嗎？任意梯形呢？

生1：用2個完全一樣的三角形就能拼出平行四邊形，平行四邊形能密鋪，所以任意三角形也能密鋪。生2：任意梯形也可以轉化為平行四邊形，所以也能密鋪。

小結：一種圖形，只要能轉化成已經確認能密鋪的基本圖形（如長方形、正方形、平行四邊形等等），那么，這種圖形就能密鋪。

三、探索兩種平面圖形組合密鋪的環節

（活動過程略）

師：剛才驗證的是七巧板中兩種圖形組合能密鋪，試想一下，如果是3種4種或更多種圖形組合起來能不能密鋪？不能單獨密鋪的正五邊形與哪種圖形組合就能密鋪呢？再來看圓，是與什么圖形組合密鋪的？

師：還能繼續密鋪下去嗎？想象一下，可以鋪多大？

四、走進密鋪世界的環節

師：密鋪圖案美嗎？下面讓我們在優美的音樂聲中走進奇妙的密鋪世界。

……

【再實踐后的思考】

再實踐的過程是教者走進教材后，走向學生的過程。教師、教材、學生的融合促進了學生的發展，為課堂注入生命的活力，具體表現在：

一、學生的簡單操作發展為學生的數學經驗。

在這節課中，教者設計了探索一種平面圖形能否密鋪的活動、兩種平面圖形組合密鋪的活動、自主設計密鋪圖案等活動。在第一次的教學中，學生在教者的指令下操作，沒

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有目的和思考，更談不上生成。再實踐的課堂中，學生先猜想后驗證，經過自主探究后，他們向同伴表達探究的結果，在表達中碰撞思維，又發現新問題，為了解決新問題，又產生新思考。杜威曾說：教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力。”“一盎司經驗勝過一噸理論”。學生的數學經驗是他們一輩子的財富。

二、學生簡單的思考發展為學生的數學思維。

密鋪現象生活中很常見，能單獨密鋪的平面圖形它們有怎樣的共性？這些數學問題在孩子心中很模糊，再實踐的課堂中，當實物密鋪抽象為圖形的密鋪后，學生開始從數學的角度思考問題，回答開始涉及圖形的邊和角，甚至有孩子能說出“邊緊靠著邊”“角緊靠著角”。在觀察任意三角形和任意梯形能否密鋪時，學生想到了用“轉化”的方法來思考。鄭毓信教授說：只有通過深入揭示隱藏在具體數學知識內容背后的思維方法，向學生展示的才是“活生生”的數學研究。對問題進行數學地思考，是學生解決數學問題的先決條件，是學生全面的、終身的、可持續發展的重要技能。通過數學活動，引發數學思考，發展數學思維，“最終幫助孩子學會思維”，這是我們數學教師不可推卸的社會責任。

三、教材簡單的數學知識發展為學生的數學文化。

數學是人類的一種文化，簡單的密鋪知識中蘊含著奇妙的數學文化，著名藝術家埃舍爾從建筑中得到靈感與啟發，創造了各種并不局限于幾何圖形的密鋪圖案，這些藝術作品，結合了數學與藝術，給后世留下深刻印象，欣賞這些圖案不僅能讓學生再次觸摸密鋪內涵，更能打動他們的心靈，激發他們的創造能力。我們在課堂中要有意識地讓學生在學習數學的過程中受到數學文化感染，產生文化共鳴，讓學生發現數學美，欣賞數學美，進而激發學生的學習興趣，提高學生的審美能力，形成一定的數學文化素養。

“合和數學課堂”中，教師深入理解教材，把相應教學內容放到數學知識的結構鏈中，把握這一知識點在知識鏈中所處的位置，對教學內容、教學目標做出準確定位，這才是教師與教材的真正融合；教師走進兒童的內心世界，理解兒童的數學思維，認識到兒童在已知和新知間“自洽的”、“合理的”的錯誤，從而有的放矢地幫助學生，這才是教師與學生的真正融合。教師、教材、學生融為一體，課堂才會真正走向和諧，走向發展。

（作者單位：江蘇省如皋市如城實驗小學）