淺談二次函數圖像信息題解題方法

王睿

摘 要：：近幾年，二次函數圖像信息題一直是各地中考題中的重點題型。學生對這類問題的得分率較低，怎么樣快速準確的找到信息是考試的關鍵，本文主要對二次函數圖像信息常考的知識點進行歸類分析，找到解題思路，主要從，單個字母a，b，c及Δ的符號，特殊值法判斷代數式，利用對稱軸判斷a，b關系，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c關系，這四個方面進行探究，找到規律方法，方便解題.

關鍵詞：二次函數 圖像

近年來，二次函數的圖像信息一直是天津中考的熱點題目，怎樣迅速的找到字母系數的大小關系，是考試的關鍵。在這類題目中，學生對簡單的字母系數找法容易掌握，但是對于稍復雜的關系式就不知道該如何下手。在天津中考題，各區模擬題中，這也是難點題目。學生得分率不高，主要就是對二次函數圖像信息沒有深入的研究，沒有找到規律。下面通過2010年天津中考題，利用數型結合的方法，深入探究二次函數圖像信息，總結解題規律。

例1：（2010，天津，10）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：

①b2-4ac>0；

②abc>0；

③8a+c>0；

④9a+3b+c<0.

其中，正確結論的個數是（ ）

A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

一、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）單個系數a，b，c及Δ的符號

a：二次函數的開口方向 開口向上 a>0；開口向下 a<0

b：利用對稱軸關系x=-b/2a 對稱軸在y軸左側，與a符號相同；對稱軸在y軸右側，與a符號相反；對稱軸為y軸 b=0.

c：與y軸交點的縱坐標 交y軸于正半軸，c>0；交y軸于負半軸，c<0交y軸于原點，c=0

Δ：b2-4ac與x軸交點個數 與x軸兩個交點，Δ>0；與x軸一個交點，Δ=0 ；與x軸無交點Δ<0

所以，根據上述規律，例1中①b2-4ac>0是正確的，②a>0，b>0，c<0，abc<0，②也是正確的。

二、當代數式中a，b，c三個字母都存在時，可以利用特殊值法求代數式的大小關系

當x=1時，y=a+b+c；當x=-1時，y=a-b+c；當x=2時，y=4a+2b+c；當x=-2時，y=4a-2b+c；當x=3時，y=9a+3b+c；當x=-3時，y=9a-3b+c

根據上面規律，可以很容易找到例1中④9a+3b+c就是x=3時的函數值，但是圖中并沒有畫出x=3時的圖像，這就需要學生利用對稱軸的性質找到x=3時的函數值與x=-1時一樣，當x=-1，y<0，所以9a+3b+c<0，④是正確的。

三、當代數式中只含有a、b時，利用對稱軸判斷a、b關系

利用對稱軸關系x=-b/2a，比如例1中，對稱軸為1，則b=-2a。這一點的規律學生很容易掌握，這一點也是后面解決難度較大的代數式問題的關鍵。

四、當代數式中只含有a、c時，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c

通過對稱軸找到a、b的關系，用a來替換b，代入函數解析式，再利用帶特殊值的方法判斷a、b的關系。

例1中③8a+c，先利用對稱軸為1，得b=-2a，代入得y=ax2-2ax+c，當x=-2時，y=8a+c，觀察得③正確

③是難點，學生很難一下子找到特殊值。所以在解決找哪個特殊值時，可以與方程相結合，得到特殊值，思路如下：

前面方法不變，y=ax2-2ax+c，整理成y=（x2-2x）a+c，當x2-2x=8時，y=8a+c.即x1=4， x2=-2時，y=8a+c，從而快速得到特殊值.當然當代數式中只含有b、c時，也可以通過與判斷a、c相同的辦法。

在解決函數圖像問題中，并不是代數式直觀的就能觀察出來，需要同學們利用不等式的性質進行整理，再進行判斷。

例2（2007天津）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：① abc>0；② b0；④ 2c<3b；⑤a+b>m（am+b），（m≠1的實數）其中正確的結論有（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

分析：觀察圖，①：a<0，b>0，c>0，所以abc<0，①錯誤.

②整理a-b+c>0：x=-1時，y<0，所以a-b+c<0，b>a+c，②錯誤.

③當x=2時，y=4a+2b+c，利用對稱軸得到x=2時，y>0，③正確.

④整理-3/2b+c<0：利用對稱軸得到a=-b/2，代入函數解析式y= -1/2x2+bx+c，整理得y=（-1/2x2+x）b+c，當-1/2x2+x= ，即x1=-1， x2=3時，y=-3/2b+c，觀察圖，x=-1，y<0，-3/2b+c<0，④正確.

⑤整理a+b> am2+bm，兩邊同時+c，a+b+c> am2+bm+c。觀察圖，當x=1時，函數值最大，所以a+b+c> am2+bm+c⑤正確.所以這道題③④⑤都是正確的

總之，解二次函數圖像信息題，主要就是從開口，對稱軸，特殊值點，以及特殊代數式這四點出發，在過程中進行整理，變形，分析。靈活運用圖像信息，利用函數圖像判斷命題的真假，利用數型結合的方式，能更有效的幫助學生解題幫助學生掌握二次函數變化規律，拓寬學生的思維，在解題中達到事半功倍的效果。

摘 要：：近幾年，二次函數圖像信息題一直是各地中考題中的重點題型。學生對這類問題的得分率較低，怎么樣快速準確的找到信息是考試的關鍵，本文主要對二次函數圖像信息常考的知識點進行歸類分析，找到解題思路，主要從，單個字母a，b，c及Δ的符號，特殊值法判斷代數式，利用對稱軸判斷a，b關系，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c關系，這四個方面進行探究，找到規律方法，方便解題.

關鍵詞：二次函數 圖像

近年來，二次函數的圖像信息一直是天津中考的熱點題目，怎樣迅速的找到字母系數的大小關系，是考試的關鍵。在這類題目中，學生對簡單的字母系數找法容易掌握，但是對于稍復雜的關系式就不知道該如何下手。在天津中考題，各區模擬題中，這也是難點題目。學生得分率不高，主要就是對二次函數圖像信息沒有深入的研究，沒有找到規律。下面通過2010年天津中考題，利用數型結合的方法，深入探究二次函數圖像信息，總結解題規律。

例1：（2010，天津，10）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：

①b2-4ac>0；

②abc>0；

③8a+c>0；

④9a+3b+c<0.

其中，正確結論的個數是（ ）

A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

一、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）單個系數a，b，c及Δ的符號

a：二次函數的開口方向 開口向上 a>0；開口向下 a<0

b：利用對稱軸關系x=-b/2a 對稱軸在y軸左側，與a符號相同；對稱軸在y軸右側，與a符號相反；對稱軸為y軸 b=0.

c：與y軸交點的縱坐標 交y軸于正半軸，c>0；交y軸于負半軸，c<0交y軸于原點，c=0

Δ：b2-4ac與x軸交點個數 與x軸兩個交點，Δ>0；與x軸一個交點，Δ=0 ；與x軸無交點Δ<0

所以，根據上述規律，例1中①b2-4ac>0是正確的，②a>0，b>0，c<0，abc<0，②也是正確的。

二、當代數式中a，b，c三個字母都存在時，可以利用特殊值法求代數式的大小關系

當x=1時，y=a+b+c；當x=-1時，y=a-b+c；當x=2時，y=4a+2b+c；當x=-2時，y=4a-2b+c；當x=3時，y=9a+3b+c；當x=-3時，y=9a-3b+c

根據上面規律，可以很容易找到例1中④9a+3b+c就是x=3時的函數值，但是圖中并沒有畫出x=3時的圖像，這就需要學生利用對稱軸的性質找到x=3時的函數值與x=-1時一樣，當x=-1，y<0，所以9a+3b+c<0，④是正確的。

三、當代數式中只含有a、b時，利用對稱軸判斷a、b關系

利用對稱軸關系x=-b/2a，比如例1中，對稱軸為1，則b=-2a。這一點的規律學生很容易掌握，這一點也是后面解決難度較大的代數式問題的關鍵。

四、當代數式中只含有a、c時，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c

通過對稱軸找到a、b的關系，用a來替換b，代入函數解析式，再利用帶特殊值的方法判斷a、b的關系。

例1中③8a+c，先利用對稱軸為1，得b=-2a，代入得y=ax2-2ax+c，當x=-2時，y=8a+c，觀察得③正確

③是難點，學生很難一下子找到特殊值。所以在解決找哪個特殊值時，可以與方程相結合，得到特殊值，思路如下：

前面方法不變，y=ax2-2ax+c，整理成y=（x2-2x）a+c，當x2-2x=8時，y=8a+c.即x1=4， x2=-2時，y=8a+c，從而快速得到特殊值.當然當代數式中只含有b、c時，也可以通過與判斷a、c相同的辦法。

在解決函數圖像問題中，并不是代數式直觀的就能觀察出來，需要同學們利用不等式的性質進行整理，再進行判斷。

例2（2007天津）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：① abc>0；② b0；④ 2c<3b；⑤a+b>m（am+b），（m≠1的實數）其中正確的結論有（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

分析：觀察圖，①：a<0，b>0，c>0，所以abc<0，①錯誤.

②整理a-b+c>0：x=-1時，y<0，所以a-b+c<0，b>a+c，②錯誤.

③當x=2時，y=4a+2b+c，利用對稱軸得到x=2時，y>0，③正確.

④整理-3/2b+c<0：利用對稱軸得到a=-b/2，代入函數解析式y= -1/2x2+bx+c，整理得y=（-1/2x2+x）b+c，當-1/2x2+x= ，即x1=-1， x2=3時，y=-3/2b+c，觀察圖，x=-1，y<0，-3/2b+c<0，④正確.

⑤整理a+b> am2+bm，兩邊同時+c，a+b+c> am2+bm+c。觀察圖，當x=1時，函數值最大，所以a+b+c> am2+bm+c⑤正確.所以這道題③④⑤都是正確的

總之，解二次函數圖像信息題，主要就是從開口，對稱軸，特殊值點，以及特殊代數式這四點出發，在過程中進行整理，變形，分析。靈活運用圖像信息，利用函數圖像判斷命題的真假，利用數型結合的方式，能更有效的幫助學生解題幫助學生掌握二次函數變化規律，拓寬學生的思維，在解題中達到事半功倍的效果。

摘 要：：近幾年，二次函數圖像信息題一直是各地中考題中的重點題型。學生對這類問題的得分率較低，怎么樣快速準確的找到信息是考試的關鍵，本文主要對二次函數圖像信息常考的知識點進行歸類分析，找到解題思路，主要從，單個字母a，b，c及Δ的符號，特殊值法判斷代數式，利用對稱軸判斷a，b關系，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c關系，這四個方面進行探究，找到規律方法，方便解題.

關鍵詞：二次函數 圖像

近年來，二次函數的圖像信息一直是天津中考的熱點題目，怎樣迅速的找到字母系數的大小關系，是考試的關鍵。在這類題目中，學生對簡單的字母系數找法容易掌握，但是對于稍復雜的關系式就不知道該如何下手。在天津中考題，各區模擬題中，這也是難點題目。學生得分率不高，主要就是對二次函數圖像信息沒有深入的研究，沒有找到規律。下面通過2010年天津中考題，利用數型結合的方法，深入探究二次函數圖像信息，總結解題規律。

例1：（2010，天津，10）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：

①b2-4ac>0；

②abc>0；

③8a+c>0；

④9a+3b+c<0.

其中，正確結論的個數是（ ）

A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

一、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）單個系數a，b，c及Δ的符號

a：二次函數的開口方向 開口向上 a>0；開口向下 a<0

b：利用對稱軸關系x=-b/2a 對稱軸在y軸左側，與a符號相同；對稱軸在y軸右側，與a符號相反；對稱軸為y軸 b=0.

c：與y軸交點的縱坐標 交y軸于正半軸，c>0；交y軸于負半軸，c<0交y軸于原點，c=0

Δ：b2-4ac與x軸交點個數 與x軸兩個交點，Δ>0；與x軸一個交點，Δ=0 ；與x軸無交點Δ<0

所以，根據上述規律，例1中①b2-4ac>0是正確的，②a>0，b>0，c<0，abc<0，②也是正確的。

二、當代數式中a，b，c三個字母都存在時，可以利用特殊值法求代數式的大小關系

當x=1時，y=a+b+c；當x=-1時，y=a-b+c；當x=2時，y=4a+2b+c；當x=-2時，y=4a-2b+c；當x=3時，y=9a+3b+c；當x=-3時，y=9a-3b+c

根據上面規律，可以很容易找到例1中④9a+3b+c就是x=3時的函數值，但是圖中并沒有畫出x=3時的圖像，這就需要學生利用對稱軸的性質找到x=3時的函數值與x=-1時一樣，當x=-1，y<0，所以9a+3b+c<0，④是正確的。

三、當代數式中只含有a、b時，利用對稱軸判斷a、b關系

利用對稱軸關系x=-b/2a，比如例1中，對稱軸為1，則b=-2a。這一點的規律學生很容易掌握，這一點也是后面解決難度較大的代數式問題的關鍵。

四、當代數式中只含有a、c時，利用特殊值與對稱軸相結合，判斷a、c

通過對稱軸找到a、b的關系，用a來替換b，代入函數解析式，再利用帶特殊值的方法判斷a、b的關系。

例1中③8a+c，先利用對稱軸為1，得b=-2a，代入得y=ax2-2ax+c，當x=-2時，y=8a+c，觀察得③正確

③是難點，學生很難一下子找到特殊值。所以在解決找哪個特殊值時，可以與方程相結合，得到特殊值，思路如下：

前面方法不變，y=ax2-2ax+c，整理成y=（x2-2x）a+c，當x2-2x=8時，y=8a+c.即x1=4， x2=-2時，y=8a+c，從而快速得到特殊值.當然當代數式中只含有b、c時，也可以通過與判斷a、c相同的辦法。

在解決函數圖像問題中，并不是代數式直觀的就能觀察出來，需要同學們利用不等式的性質進行整理，再進行判斷。

例2（2007天津）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：① abc>0；② b0；④ 2c<3b；⑤a+b>m（am+b），（m≠1的實數）其中正確的結論有（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

分析：觀察圖，①：a<0，b>0，c>0，所以abc<0，①錯誤.

②整理a-b+c>0：x=-1時，y<0，所以a-b+c<0，b>a+c，②錯誤.

③當x=2時，y=4a+2b+c，利用對稱軸得到x=2時，y>0，③正確.

④整理-3/2b+c<0：利用對稱軸得到a=-b/2，代入函數解析式y= -1/2x2+bx+c，整理得y=（-1/2x2+x）b+c，當-1/2x2+x= ，即x1=-1， x2=3時，y=-3/2b+c，觀察圖，x=-1，y<0，-3/2b+c<0，④正確.

⑤整理a+b> am2+bm，兩邊同時+c，a+b+c> am2+bm+c。觀察圖，當x=1時，函數值最大，所以a+b+c> am2+bm+c⑤正確.所以這道題③④⑤都是正確的

總之，解二次函數圖像信息題，主要就是從開口，對稱軸，特殊值點，以及特殊代數式這四點出發，在過程中進行整理，變形，分析。靈活運用圖像信息，利用函數圖像判斷命題的真假，利用數型結合的方式，能更有效的幫助學生解題幫助學生掌握二次函數變化規律，拓寬學生的思維，在解題中達到事半功倍的效果。