淺談數學概念聯系與數學教學

季近仁

【摘 要】數學概念的教學就是數學概念聯系之間的教學。學生對于數學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數學概念之間存在著千絲萬縷的聯系，而建立數學概念聯系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數學概念、數學概念聯系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數學概念；概念聯系；教學

一、數學概念的概述

數學概念是對現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的概括和反應。數學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數量關系方面的。

二、數學概念的聯系與教學

概念教學就是概念聯系的教學，在教學活動中，建立概念聯系顯得尤為重要。關于建立概念聯系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯系看作是內部的，倡導發現法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯系看作是外部的，注重數學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩定的邏輯聯系，但是僅僅把聯系看作外部的，所能看到的聯系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯系，容易產生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯系、外部聯系、內外聯系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數學概念聯系是指數學概念之間所具有的聯系性，任一數學概念都由若干數學概念聯系而成。概念聯系不僅僅包括不同概念之間的聯系，而且還包括同一概念自身的聯系。

首先，不同概念之間的聯系。我們在學習數學中要學習到很多的數學概念，甚至可以說，數學概念貫穿于整個數學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數學概念之間的相互聯系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯系，利用代數思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發，拓展已有概念和新學概念的聯系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯系。在數學上表現為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯系以及與具體模型相聯系的外部表示之間的抽象。數學概念本身包含所描述的對象，性質，數學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯系的統一體，認識它本身各種元素的聯系，運用聯系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續與圖形相聯系，在模仿的基礎上出現小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發學生在自己解題中發現一些概念聯系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯系這一思想方法。

三、小結

數學的概念教學滲透在整個數學教學之中，通過概念自身或者是現學概念與已學概念之間構建聯系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯系與概念網絡在數學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業園區唯亭學校）

【摘 要】數學概念的教學就是數學概念聯系之間的教學。學生對于數學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數學概念之間存在著千絲萬縷的聯系，而建立數學概念聯系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數學概念、數學概念聯系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數學概念；概念聯系；教學

一、數學概念的概述

數學概念是對現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的概括和反應。數學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數量關系方面的。

二、數學概念的聯系與教學

概念教學就是概念聯系的教學，在教學活動中，建立概念聯系顯得尤為重要。關于建立概念聯系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯系看作是內部的，倡導發現法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯系看作是外部的，注重數學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩定的邏輯聯系，但是僅僅把聯系看作外部的，所能看到的聯系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯系，容易產生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯系、外部聯系、內外聯系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數學概念聯系是指數學概念之間所具有的聯系性，任一數學概念都由若干數學概念聯系而成。概念聯系不僅僅包括不同概念之間的聯系，而且還包括同一概念自身的聯系。

首先，不同概念之間的聯系。我們在學習數學中要學習到很多的數學概念，甚至可以說，數學概念貫穿于整個數學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數學概念之間的相互聯系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯系，利用代數思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發，拓展已有概念和新學概念的聯系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯系。在數學上表現為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯系以及與具體模型相聯系的外部表示之間的抽象。數學概念本身包含所描述的對象，性質，數學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯系的統一體，認識它本身各種元素的聯系，運用聯系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續與圖形相聯系，在模仿的基礎上出現小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發學生在自己解題中發現一些概念聯系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯系這一思想方法。

三、小結

數學的概念教學滲透在整個數學教學之中，通過概念自身或者是現學概念與已學概念之間構建聯系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯系與概念網絡在數學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業園區唯亭學校）

【摘 要】數學概念的教學就是數學概念聯系之間的教學。學生對于數學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數學概念之間存在著千絲萬縷的聯系，而建立數學概念聯系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數學概念、數學概念聯系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數學概念；概念聯系；教學

一、數學概念的概述

數學概念是對現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的概括和反應。數學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數量關系方面的。

二、數學概念的聯系與教學

概念教學就是概念聯系的教學，在教學活動中，建立概念聯系顯得尤為重要。關于建立概念聯系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯系看作是內部的，倡導發現法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯系看作是外部的，注重數學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩定的邏輯聯系，但是僅僅把聯系看作外部的，所能看到的聯系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯系，容易產生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯系、外部聯系、內外聯系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數學概念聯系是指數學概念之間所具有的聯系性，任一數學概念都由若干數學概念聯系而成。概念聯系不僅僅包括不同概念之間的聯系，而且還包括同一概念自身的聯系。

首先，不同概念之間的聯系。我們在學習數學中要學習到很多的數學概念，甚至可以說，數學概念貫穿于整個數學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數學概念之間的相互聯系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯系，利用代數思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發，拓展已有概念和新學概念的聯系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯系。在數學上表現為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯系以及與具體模型相聯系的外部表示之間的抽象。數學概念本身包含所描述的對象，性質，數學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯系的統一體，認識它本身各種元素的聯系，運用聯系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續與圖形相聯系，在模仿的基礎上出現小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發學生在自己解題中發現一些概念聯系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯系這一思想方法。

三、小結

數學的概念教學滲透在整個數學教學之中，通過概念自身或者是現學概念與已學概念之間構建聯系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯系與概念網絡在數學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業園區唯亭學校）