好題欣賞

陳麗玲

【摘 要】著名的數學家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數學的重要貢獻。”由此可見，數學作為一門工具學科，學好數學對于學生的所有學習有著多么重要的作用。而為了幫助學生學好數學，教師為學生挑選一些好的題型進行賞析也是十分必要的學習過程。本文中，筆者對于幾個較為創新的題型進行分析和思考。

【關鍵詞】好題解析；高中數學

一個好的數學問題，通常都會注重對學生多方面的考察，對學生掌握基礎知識的進行測試同時還要兼顧對學生創新能力和探究意識的培養。下面，筆者分別從高中數學“歸納推理型、探索創新型、實際應用型三方面對優秀的試題進行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當a=■時，P點到B點的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點P的軌跡相交于另一個點Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設存在某一個位置，讓PQ的中點R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點的軌跡以A和B為焦點，其中焦距是4，實軸的長是2的雙曲線之右準線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準線， ∴P點到B點的距離與P點到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當PQ與QC垂直時，P、C、Q三點能夠構成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學生的知識技能，還可以延伸學生的思維，提高學生的推理和探究意識，并且充分地體現出了學生思維的廣度和深度，體現了學生的自主探究精神，使得學生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學習中不可多得的好題。

例題二：已知數列{an}中，a1=1，且點P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數列{an}它的通項公式；

（2）如果函數f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數f（n）最小值；

（3）設bn=■，Sn代表數列{bn}的前n項之和。試問：是否會存在一個關于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數列問題與函數問題結合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規律推理出函數關系，并且通過“鏈式法則”呈現試題情境，讓考生經歷的觀察——判斷——嘗試——歸納——驗證的思考過程，讓學生從規律中得出發現和探索，不但考察了學生的數學思維，對學生的理解問題水平也進行了有效的檢驗，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數學創新型試題賞析.中學數學.2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數學教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數學創新題賞.析宿州教育學院學報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學北校區）

【摘 要】著名的數學家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數學的重要貢獻。”由此可見，數學作為一門工具學科，學好數學對于學生的所有學習有著多么重要的作用。而為了幫助學生學好數學，教師為學生挑選一些好的題型進行賞析也是十分必要的學習過程。本文中，筆者對于幾個較為創新的題型進行分析和思考。

【關鍵詞】好題解析；高中數學

一個好的數學問題，通常都會注重對學生多方面的考察，對學生掌握基礎知識的進行測試同時還要兼顧對學生創新能力和探究意識的培養。下面，筆者分別從高中數學“歸納推理型、探索創新型、實際應用型三方面對優秀的試題進行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當a=■時，P點到B點的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點P的軌跡相交于另一個點Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設存在某一個位置，讓PQ的中點R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點的軌跡以A和B為焦點，其中焦距是4，實軸的長是2的雙曲線之右準線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準線， ∴P點到B點的距離與P點到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當PQ與QC垂直時，P、C、Q三點能夠構成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學生的知識技能，還可以延伸學生的思維，提高學生的推理和探究意識，并且充分地體現出了學生思維的廣度和深度，體現了學生的自主探究精神，使得學生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學習中不可多得的好題。

例題二：已知數列{an}中，a1=1，且點P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數列{an}它的通項公式；

（2）如果函數f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數f（n）最小值；

（3）設bn=■，Sn代表數列{bn}的前n項之和。試問：是否會存在一個關于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數列問題與函數問題結合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規律推理出函數關系，并且通過“鏈式法則”呈現試題情境，讓考生經歷的觀察——判斷——嘗試——歸納——驗證的思考過程，讓學生從規律中得出發現和探索，不但考察了學生的數學思維，對學生的理解問題水平也進行了有效的檢驗，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數學創新型試題賞析.中學數學.2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數學教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數學創新題賞.析宿州教育學院學報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學北校區）

【摘 要】著名的數學家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數學的重要貢獻。”由此可見，數學作為一門工具學科，學好數學對于學生的所有學習有著多么重要的作用。而為了幫助學生學好數學，教師為學生挑選一些好的題型進行賞析也是十分必要的學習過程。本文中，筆者對于幾個較為創新的題型進行分析和思考。

【關鍵詞】好題解析；高中數學

一個好的數學問題，通常都會注重對學生多方面的考察，對學生掌握基礎知識的進行測試同時還要兼顧對學生創新能力和探究意識的培養。下面，筆者分別從高中數學“歸納推理型、探索創新型、實際應用型三方面對優秀的試題進行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當a=■時，P點到B點的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點P的軌跡相交于另一個點Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設存在某一個位置，讓PQ的中點R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點的軌跡以A和B為焦點，其中焦距是4，實軸的長是2的雙曲線之右準線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準線， ∴P點到B點的距離與P點到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當PQ與QC垂直時，P、C、Q三點能夠構成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學生的知識技能，還可以延伸學生的思維，提高學生的推理和探究意識，并且充分地體現出了學生思維的廣度和深度，體現了學生的自主探究精神，使得學生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學習中不可多得的好題。

例題二：已知數列{an}中，a1=1，且點P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數列{an}它的通項公式；

（2）如果函數f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數f（n）最小值；

（3）設bn=■，Sn代表數列{bn}的前n項之和。試問：是否會存在一個關于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數列問題與函數問題結合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規律推理出函數關系，并且通過“鏈式法則”呈現試題情境，讓考生經歷的觀察——判斷——嘗試——歸納——驗證的思考過程，讓學生從規律中得出發現和探索，不但考察了學生的數學思維，對學生的理解問題水平也進行了有效的檢驗，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數學創新型試題賞析.中學數學.2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數學教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數學創新題賞.析宿州教育學院學報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學北校區）