好題欣賞

陳麗玲

【摘 要】著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)對于學(xué)生的所有學(xué)習(xí)有著多么重要的作用。而為了幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，教師為學(xué)生挑選一些好的題型進(jìn)行賞析也是十分必要的學(xué)習(xí)過程。本文中，筆者對于幾個較為創(chuàng)新的題型進(jìn)行分析和思考。

【關(guān)鍵詞】好題解析；高中數(shù)學(xué)

一個好的數(shù)學(xué)問題，通常都會注重對學(xué)生多方面的考察，對學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的進(jìn)行測試同時還要兼顧對學(xué)生創(chuàng)新能力和探究意識的培養(yǎng)。下面，筆者分別從高中數(shù)學(xué)“歸納推理型、探索創(chuàng)新型、實(shí)際應(yīng)用型三方面對優(yōu)秀的試題進(jìn)行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關(guān)系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當(dāng)a=■時，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點(diǎn)P的軌跡相交于另一個點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設(shè)存在某一個位置，讓PQ的中點(diǎn)R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設(shè)r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點(diǎn)的軌跡以A和B為焦點(diǎn)，其中焦距是4，實(shí)軸的長是2的雙曲線之右準(zhǔn)線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準(zhǔn)線， ∴P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設(shè)其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當(dāng)直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當(dāng)PQ與QC垂直時，P、C、Q三點(diǎn)能夠構(gòu)成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點(diǎn)P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學(xué)生的知識技能，還可以延伸學(xué)生的思維，提高學(xué)生的推理和探究意識，并且充分地體現(xiàn)出了學(xué)生思維的廣度和深度，體現(xiàn)了學(xué)生的自主探究精神，使得學(xué)生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學(xué)習(xí)中不可多得的好題。

例題二：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數(shù)列{an}它的通項(xiàng)公式；

（2）如果函數(shù)f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數(shù)f（n）最小值；

（3）設(shè)bn=■，Sn代表數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和。試問：是否會存在一個關(guān)于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數(shù)n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進(jìn)行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調(diào)遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關(guān)于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數(shù)列問題與函數(shù)問題結(jié)合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規(guī)律推理出函數(shù)關(guān)系，并且通過“鏈?zhǔn)椒▌t”呈現(xiàn)試題情境，讓考生經(jīng)歷的觀察——判斷——嘗試——?dú)w納——驗(yàn)證的思考過程，讓學(xué)生從規(guī)律中得出發(fā)現(xiàn)和探索，不但考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對學(xué)生的理解問題水平也進(jìn)行了有效的檢驗(yàn)，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題賞析.中學(xué)數(shù)學(xué).2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數(shù)學(xué)教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題賞.析宿州教育學(xué)院學(xué)報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學(xué)北校區(qū)）

【摘 要】著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)對于學(xué)生的所有學(xué)習(xí)有著多么重要的作用。而為了幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，教師為學(xué)生挑選一些好的題型進(jìn)行賞析也是十分必要的學(xué)習(xí)過程。本文中，筆者對于幾個較為創(chuàng)新的題型進(jìn)行分析和思考。

【關(guān)鍵詞】好題解析；高中數(shù)學(xué)

一個好的數(shù)學(xué)問題，通常都會注重對學(xué)生多方面的考察，對學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的進(jìn)行測試同時還要兼顧對學(xué)生創(chuàng)新能力和探究意識的培養(yǎng)。下面，筆者分別從高中數(shù)學(xué)“歸納推理型、探索創(chuàng)新型、實(shí)際應(yīng)用型三方面對優(yōu)秀的試題進(jìn)行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關(guān)系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當(dāng)a=■時，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點(diǎn)P的軌跡相交于另一個點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設(shè)存在某一個位置，讓PQ的中點(diǎn)R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設(shè)r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點(diǎn)的軌跡以A和B為焦點(diǎn)，其中焦距是4，實(shí)軸的長是2的雙曲線之右準(zhǔn)線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準(zhǔn)線， ∴P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設(shè)其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當(dāng)直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當(dāng)PQ與QC垂直時，P、C、Q三點(diǎn)能夠構(gòu)成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點(diǎn)P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學(xué)生的知識技能，還可以延伸學(xué)生的思維，提高學(xué)生的推理和探究意識，并且充分地體現(xiàn)出了學(xué)生思維的廣度和深度，體現(xiàn)了學(xué)生的自主探究精神，使得學(xué)生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學(xué)習(xí)中不可多得的好題。

例題二：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數(shù)列{an}它的通項(xiàng)公式；

（2）如果函數(shù)f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數(shù)f（n）最小值；

（3）設(shè)bn=■，Sn代表數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和。試問：是否會存在一個關(guān)于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數(shù)n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進(jìn)行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調(diào)遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關(guān)于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數(shù)列問題與函數(shù)問題結(jié)合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規(guī)律推理出函數(shù)關(guān)系，并且通過“鏈?zhǔn)椒▌t”呈現(xiàn)試題情境，讓考生經(jīng)歷的觀察——判斷——嘗試——?dú)w納——驗(yàn)證的思考過程，讓學(xué)生從規(guī)律中得出發(fā)現(xiàn)和探索，不但考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對學(xué)生的理解問題水平也進(jìn)行了有效的檢驗(yàn)，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題賞析.中學(xué)數(shù)學(xué).2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數(shù)學(xué)教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題賞.析宿州教育學(xué)院學(xué)報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學(xué)北校區(qū)）

【摘 要】著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工文巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)對于學(xué)生的所有學(xué)習(xí)有著多么重要的作用。而為了幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，教師為學(xué)生挑選一些好的題型進(jìn)行賞析也是十分必要的學(xué)習(xí)過程。本文中，筆者對于幾個較為創(chuàng)新的題型進(jìn)行分析和思考。

【關(guān)鍵詞】好題解析；高中數(shù)學(xué)

一個好的數(shù)學(xué)問題，通常都會注重對學(xué)生多方面的考察，對學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的進(jìn)行測試同時還要兼顧對學(xué)生創(chuàng)新能力和探究意識的培養(yǎng)。下面，筆者分別從高中數(shù)學(xué)“歸納推理型、探索創(chuàng)新型、實(shí)際應(yīng)用型三方面對優(yōu)秀的試題進(jìn)行分析。

例題一：已知圓A與圓B，它們的方程分別為（x+2）2+y2=■，（x-2）2+y2=■，其中動圓P與圓A和圓B均是外切關(guān)系，直線M的方程是：x=a（a≤■）。

（1）求圓P軌跡的方程式，并且證明：當(dāng)a=■時，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與它到定直線M距離之比是固定值；

（2）延長PB，然后與點(diǎn)P的軌跡相交于另一個點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；

（3）假設(shè)存在某一個位置，讓PQ的中點(diǎn)R在直線M上的射影為C，并且滿足條件PC⊥QC，求a的取值范圍。

解（1）設(shè)r是動圓P的半徑，那么|PA|=r+■，|PB|=r+■，

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P點(diǎn)的軌跡以A和B為焦點(diǎn)，其中焦距是4，實(shí)軸的長是2的雙曲線之右準(zhǔn)線的右支，其軌跡的方程是x2-■=1（其中x≥1）。若a=■，則M的方程x=■，是雙曲線的右準(zhǔn)線， ∴P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到M的距離之比是此雙曲線的離心率，也就是e=2。

（2）如果直線PQ存在斜率，那么設(shè)其斜率是k，則PQ的方程是y=k（x-2），將其代入雙曲線的方程，得到（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0，解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

當(dāng)直線的斜率存在時，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

（3）當(dāng)PQ與QC垂直時，P、C、Q三點(diǎn)能夠構(gòu)成直角三角形。

∴R到直線M的距離為|RC|=■=xR-a ①

又∵點(diǎn)P和Q都在雙曲線x2-■=1之上，∴■=■=2。

∴■=2，即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

將②代入①得■=■-a，|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

試題賞析：這道題其中既有定量、定性的探究問題也包含了非定性和非定量的存在性探究問題。不僅能考察學(xué)生的知識技能，還可以延伸學(xué)生的思維，提高學(xué)生的推理和探究意識，并且充分地體現(xiàn)出了學(xué)生思維的廣度和深度，體現(xiàn)了學(xué)生的自主探究精神，使得學(xué)生們在不知不覺中得到了有效提升，這是解析幾何學(xué)習(xí)中不可多得的好題。

例題二：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N）存在于直線“x-y+1=0”上面。

（1）試求出數(shù)列{an}它的通項(xiàng)公式；

（2）如果函數(shù)f（n）=■+■+■+…+■（n∈N，且n≥2），求該函數(shù)f（n）最小值；

（3）設(shè)bn=■，Sn代表數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和。試問：是否會存在一個關(guān)于n的整式，我們稱其g（n），使得S1+S2+S3+…Sn-1=（Sn-1）·g（n）對于所有大于等于2的自然數(shù)n恒成立？如若存在，請寫出整式g（n）的解析式，并且對其進(jìn)行證明；如若不存在，請說明其原因。

解：（1）∵an-an+1+1=0，∴a1-a2+1=0，a2-a3+1=0，

……

an-1-an+1=0，

以上各式相加，得a1-an+n-1=0，an=a1+n-1=n。

（2）∵f（n）=■+■+…+■，

f（n+1）=■+■+…+■+■+■，

∴f（n+1）-f（n）=■+■-■>■+■-■=0。

∴f（n）是單調(diào)遞增的，故f（n）的最小值是f（2）=■。

（3）∵bn=■？圯Sn=1+■+…+■，

∴sn-sn-1=■（n≥2），即nsn-（n-1）sn-1=sn-1+1，

∴（n-1）sn-1-（n-2）sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1，∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1，

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=（sn-1）·n（n≥2），∴g（n）=n。

故存在關(guān)于n的整式g（n）=n使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立。

試題賞析：該題巧妙地把數(shù)列問題與函數(shù)問題結(jié)合在一起，要求考生做到深入挖掘信息，找出規(guī)律推理出函數(shù)關(guān)系，并且通過“鏈?zhǔn)椒▌t”呈現(xiàn)試題情境，讓考生經(jīng)歷的觀察——判斷——嘗試——?dú)w納——驗(yàn)證的思考過程，讓學(xué)生從規(guī)律中得出發(fā)現(xiàn)和探索，不但考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對學(xué)生的理解問題水平也進(jìn)行了有效的檢驗(yàn)，這是一道典型的歸納推理綜合題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘超，趙思林.2009年高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題賞析.中學(xué)數(shù)學(xué).2009.10

[2]王永生.一題多變、一題多解好題欣賞難題突破.中國數(shù)學(xué)教育.2014.04

[3]孔麗華，胡雷.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題賞.析宿州教育學(xué)院學(xué)報.2007.06

（作者單位：江西省贛州市贛縣中學(xué)北校區(qū)）