當(dāng)好向?qū)Ш鸵啡?/h1>
2014-08-15 02:47:02王建芬
考試周刊 2014年49期
王建芬
摘 要： 本文是以中考?jí)狠S題為背景，采用數(shù)學(xué)探究教學(xué)方式，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。通過發(fā)揮教師運(yùn)籌帷幄主角向?qū)У淖饔茫龑?dǎo)學(xué)生敢于探究并積極主動(dòng)參與教學(xué)，轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，體會(huì)進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的思想與方法及引發(fā)理性歸納和引申拓展的思維。
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 引導(dǎo)探究 歸納提煉 拓展延伸
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：中考命題堅(jiān)持以能力立意、體現(xiàn)新課程理念。其中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究及交流能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力尤為重要。本案例通過引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑并積極主動(dòng)參與教學(xué)，達(dá)到了較好的效果。盡管教學(xué)過程缺少規(guī)范性，但是通過學(xué)生自主探究，有效地培養(yǎng)多種能力，尤其是讓學(xué)生體會(huì)到了探究性學(xué)習(xí)的思想與方法及相互協(xié)作的精神。
1.背景介紹
2014年2月下旬，龍灣區(qū)舉行了初中學(xué)校的數(shù)學(xué)教研聯(lián)姻活動(dòng)，筆者應(yīng)邀在一所初中開展送教活動(dòng)。課堂上，筆者出示了2013年嘉興的24題平行四邊形存在性問題的典型壓軸例題，發(fā)覺學(xué)生就此題得分率不高。經(jīng)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)值得研究、探索、引申、拓展、重組、求活、求變、求新編題的好素材。同時(shí)為響應(yīng)落實(shí)教育局發(fā)布的“中學(xué)學(xué)本課堂”活動(dòng)細(xì)則之一——評(píng)估教師是否注重課堂教學(xué)分析，并針對(duì)教學(xué)分析結(jié)果及時(shí)采取應(yīng)對(duì)措施，進(jìn)一步認(rèn)真做好課堂教學(xué)分析工作。為此筆者為這個(gè)壓軸題設(shè)計(jì)了一節(jié)以解決動(dòng)點(diǎn)前提下的平行四邊形存在性問題的課例，為這個(gè)壓軸題的順利解決做好準(zhǔn)備，為學(xué)生今后遇到與此類似的問題掃清障礙。
2.案例描述
2.1出示原題，感知問題情境。
初三復(fù)習(xí)過程中，涉及壓軸題的復(fù)習(xí)，其中2013年嘉興的24題是平行四邊形存在性問題的典型例題，作為示例給學(xué)生講解。題目如下：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=■（x-m）■-m■+m的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長CA到點(diǎn)D，使AD=AC，連接BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求DE的長？
（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時(shí)，以A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
2.2提出問題，確定分類標(biāo)準(zhǔn)。
近幾年的中考試題中，存在性問題多以壓軸題的形式出現(xiàn)，其涵蓋的知識(shí)點(diǎn)豐富，綜合性強(qiáng)，題意構(gòu)思巧妙，解題方法靈活多樣，對(duì)考查學(xué)生的分析問題能力和解決問題能力要求較高，是近幾年的熱點(diǎn)問題。本節(jié)課主要是解決平行四邊形的存在性問題。按照解決問題的步驟從簡單的基本圖形開始，所以本節(jié)課由淺入深地設(shè)置問題。
問題1：請(qǐng)你在下圖中畫出以A，B，C為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形。
問題的起點(diǎn)較低，學(xué)生容易入手，但解決問題的思維要求較高，學(xué)生不容易考慮周全，這樣的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望；由于圖形形狀的不確定性，引發(fā)了需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)討論解決這個(gè)問題的必要性，并順勢(shì)點(diǎn)題。
在學(xué)生解答正確的情況下，教師回顧解題過程，總結(jié)出找第四點(diǎn)時(shí)，一類作圖方法是以已知邊為平行四邊形的邊，一類作圖方法是以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，學(xué)生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)有了初步認(rèn)識(shí)。
此題提出后，確定了學(xué)生的思考點(diǎn)是：在平行四邊形分類討論問題中，常以什么為分類標(biāo)準(zhǔn)？
學(xué)生在答題時(shí)沒有人提出異議，分別確立了以三邊分別為對(duì)角線和以兩邊組合為平行四邊形的鄰邊的分類標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)問題較基礎(chǔ)，初三學(xué)生能很熟練地根據(jù)自己的解題習(xí)慣解答。因此，筆者在課前備課時(shí)把它作為這節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，也是基本知識(shí)點(diǎn)。
2.3建立坐標(biāo)，明確點(diǎn)的位置。
問題1的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生從易到難先確定平行四邊形存在性問題的分類標(biāo)準(zhǔn)，但問題往往不是這么簡單就結(jié)束的，所以為了后續(xù)的問題深入，必須把基本圖形放入直角坐標(biāo)系中，這樣才能確定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及結(jié)合函數(shù)進(jìn)行討論。
問題2：若加入平面直角坐標(biāo)系，你能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)嗎？若C點(diǎn)坐標(biāo)改為（a，b）呢，你能寫出點(diǎn)D坐標(biāo)嗎？
課堂進(jìn)行到此，學(xué)生思路已然打開，大腦處于興奮狀態(tài)，此時(shí)引入平面直角坐標(biāo)系，把學(xué)生的思維引向縱深，更使數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化；同時(shí)兩個(gè)小題實(shí)現(xiàn)步步鋪墊，由特殊到一般，層層深入，循序漸進(jìn)地探索出平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系這一更具普遍性的規(guī)律，為下一步的變式埋下了伏筆，可謂一舉多得。
2.4拓展思維，創(chuàng)設(shè)函數(shù)背景。
平面直角坐標(biāo)系是連接代數(shù)與幾何的橋梁，平行四邊形既然放入了平面直角坐標(biāo)系中，則必然是和函數(shù)相聯(lián)系的。在前面兩問都是已知三個(gè)定點(diǎn)求構(gòu)成平行四邊形的第四個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在加入了函數(shù)的條件后則可以轉(zhuǎn)變一個(gè)定點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，但使得動(dòng)點(diǎn)需滿足一定條件的前提下討論平行四邊形的存在性。
問題3：若條件中加入二次函數(shù)的背景，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x■+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
此問題是把定點(diǎn)C改為動(dòng)點(diǎn)，從而使定點(diǎn)的個(gè)數(shù)從三個(gè)變成兩個(gè)，把點(diǎn)C改為點(diǎn)P，但滿足點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)。這樣改動(dòng)的意圖是既加大問題的難度，使問題具有梯度性，又結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)，讓學(xué)生能把平行四邊形和二次函數(shù)的特點(diǎn)相結(jié)合。
通過前面問題1、2、3的提出，追問針對(duì)此情形具體又該如何思考？學(xué)生一時(shí)無法解釋。此時(shí)課堂上學(xué)生的主體地位已完全凸現(xiàn)。問題是探究的核心，有思必有探，有探必有究，“問”是創(chuàng)新意識(shí)的具體體現(xiàn)。于是筆者順勢(shì)要求學(xué)生：1.找出此題的難點(diǎn)，即要解決的題眼；2.提煉平行四邊形探究的依據(jù)，啟發(fā)探究新創(chuàng)造；3.認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，即不管動(dòng)點(diǎn)是在y軸還是拋物線上，討論平行四邊形的存在性時(shí)，還是需滿足平行四邊形的性質(zhì)。endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
王建芬
摘 要： 本文是以中考?jí)狠S題為背景，采用數(shù)學(xué)探究教學(xué)方式，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。通過發(fā)揮教師運(yùn)籌帷幄主角向?qū)У淖饔茫龑?dǎo)學(xué)生敢于探究并積極主動(dòng)參與教學(xué)，轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，體會(huì)進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的思想與方法及引發(fā)理性歸納和引申拓展的思維。
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 引導(dǎo)探究 歸納提煉 拓展延伸
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：中考命題堅(jiān)持以能力立意、體現(xiàn)新課程理念。其中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究及交流能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力尤為重要。本案例通過引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑并積極主動(dòng)參與教學(xué)，達(dá)到了較好的效果。盡管教學(xué)過程缺少規(guī)范性，但是通過學(xué)生自主探究，有效地培養(yǎng)多種能力，尤其是讓學(xué)生體會(huì)到了探究性學(xué)習(xí)的思想與方法及相互協(xié)作的精神。
1.背景介紹
2014年2月下旬，龍灣區(qū)舉行了初中學(xué)校的數(shù)學(xué)教研聯(lián)姻活動(dòng)，筆者應(yīng)邀在一所初中開展送教活動(dòng)。課堂上，筆者出示了2013年嘉興的24題平行四邊形存在性問題的典型壓軸例題，發(fā)覺學(xué)生就此題得分率不高。經(jīng)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)值得研究、探索、引申、拓展、重組、求活、求變、求新編題的好素材。同時(shí)為響應(yīng)落實(shí)教育局發(fā)布的“中學(xué)學(xué)本課堂”活動(dòng)細(xì)則之一——評(píng)估教師是否注重課堂教學(xué)分析，并針對(duì)教學(xué)分析結(jié)果及時(shí)采取應(yīng)對(duì)措施，進(jìn)一步認(rèn)真做好課堂教學(xué)分析工作。為此筆者為這個(gè)壓軸題設(shè)計(jì)了一節(jié)以解決動(dòng)點(diǎn)前提下的平行四邊形存在性問題的課例，為這個(gè)壓軸題的順利解決做好準(zhǔn)備，為學(xué)生今后遇到與此類似的問題掃清障礙。
2.案例描述
2.1出示原題，感知問題情境。
初三復(fù)習(xí)過程中，涉及壓軸題的復(fù)習(xí)，其中2013年嘉興的24題是平行四邊形存在性問題的典型例題，作為示例給學(xué)生講解。題目如下：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=■（x-m）■-m■+m的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長CA到點(diǎn)D，使AD=AC，連接BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求DE的長？
（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時(shí)，以A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
2.2提出問題，確定分類標(biāo)準(zhǔn)。
近幾年的中考試題中，存在性問題多以壓軸題的形式出現(xiàn)，其涵蓋的知識(shí)點(diǎn)豐富，綜合性強(qiáng)，題意構(gòu)思巧妙，解題方法靈活多樣，對(duì)考查學(xué)生的分析問題能力和解決問題能力要求較高，是近幾年的熱點(diǎn)問題。本節(jié)課主要是解決平行四邊形的存在性問題。按照解決問題的步驟從簡單的基本圖形開始，所以本節(jié)課由淺入深地設(shè)置問題。
問題1：請(qǐng)你在下圖中畫出以A，B，C為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形。
問題的起點(diǎn)較低，學(xué)生容易入手，但解決問題的思維要求較高，學(xué)生不容易考慮周全，這樣的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望；由于圖形形狀的不確定性，引發(fā)了需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)討論解決這個(gè)問題的必要性，并順勢(shì)點(diǎn)題。
在學(xué)生解答正確的情況下，教師回顧解題過程，總結(jié)出找第四點(diǎn)時(shí)，一類作圖方法是以已知邊為平行四邊形的邊，一類作圖方法是以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，學(xué)生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)有了初步認(rèn)識(shí)。
此題提出后，確定了學(xué)生的思考點(diǎn)是：在平行四邊形分類討論問題中，常以什么為分類標(biāo)準(zhǔn)？
學(xué)生在答題時(shí)沒有人提出異議，分別確立了以三邊分別為對(duì)角線和以兩邊組合為平行四邊形的鄰邊的分類標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)問題較基礎(chǔ)，初三學(xué)生能很熟練地根據(jù)自己的解題習(xí)慣解答。因此，筆者在課前備課時(shí)把它作為這節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，也是基本知識(shí)點(diǎn)。
2.3建立坐標(biāo)，明確點(diǎn)的位置。
問題1的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生從易到難先確定平行四邊形存在性問題的分類標(biāo)準(zhǔn)，但問題往往不是這么簡單就結(jié)束的，所以為了后續(xù)的問題深入，必須把基本圖形放入直角坐標(biāo)系中，這樣才能確定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及結(jié)合函數(shù)進(jìn)行討論。
問題2：若加入平面直角坐標(biāo)系，你能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)嗎？若C點(diǎn)坐標(biāo)改為（a，b）呢，你能寫出點(diǎn)D坐標(biāo)嗎？
課堂進(jìn)行到此，學(xué)生思路已然打開，大腦處于興奮狀態(tài)，此時(shí)引入平面直角坐標(biāo)系，把學(xué)生的思維引向縱深，更使數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化；同時(shí)兩個(gè)小題實(shí)現(xiàn)步步鋪墊，由特殊到一般，層層深入，循序漸進(jìn)地探索出平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系這一更具普遍性的規(guī)律，為下一步的變式埋下了伏筆，可謂一舉多得。
2.4拓展思維，創(chuàng)設(shè)函數(shù)背景。
平面直角坐標(biāo)系是連接代數(shù)與幾何的橋梁，平行四邊形既然放入了平面直角坐標(biāo)系中，則必然是和函數(shù)相聯(lián)系的。在前面兩問都是已知三個(gè)定點(diǎn)求構(gòu)成平行四邊形的第四個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在加入了函數(shù)的條件后則可以轉(zhuǎn)變一個(gè)定點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，但使得動(dòng)點(diǎn)需滿足一定條件的前提下討論平行四邊形的存在性。
問題3：若條件中加入二次函數(shù)的背景，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x■+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
此問題是把定點(diǎn)C改為動(dòng)點(diǎn)，從而使定點(diǎn)的個(gè)數(shù)從三個(gè)變成兩個(gè)，把點(diǎn)C改為點(diǎn)P，但滿足點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)。這樣改動(dòng)的意圖是既加大問題的難度，使問題具有梯度性，又結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)，讓學(xué)生能把平行四邊形和二次函數(shù)的特點(diǎn)相結(jié)合。
通過前面問題1、2、3的提出，追問針對(duì)此情形具體又該如何思考？學(xué)生一時(shí)無法解釋。此時(shí)課堂上學(xué)生的主體地位已完全凸現(xiàn)。問題是探究的核心，有思必有探，有探必有究，“問”是創(chuàng)新意識(shí)的具體體現(xiàn)。于是筆者順勢(shì)要求學(xué)生：1.找出此題的難點(diǎn)，即要解決的題眼；2.提煉平行四邊形探究的依據(jù)，啟發(fā)探究新創(chuàng)造；3.認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，即不管動(dòng)點(diǎn)是在y軸還是拋物線上，討論平行四邊形的存在性時(shí)，還是需滿足平行四邊形的性質(zhì)。endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
2.5歸納總結(jié)，拓展思維變式。
通過筆者的引導(dǎo)，師生對(duì)話、互動(dòng)，所探究的問題猶如磁鐵一般吸引著學(xué)生，帶著強(qiáng)烈的好奇心，學(xué)生的自主探究便揚(yáng)帆起航了。學(xué)生紛紛發(fā)表各自的想法，有的寫在紙上。筆者不失時(shí)機(jī)地利用投影把他們的結(jié)果展示在屏幕上。順利解答問題3后，再進(jìn)行歸納總結(jié)，為下面的動(dòng)點(diǎn)條件的變式的解決打好基礎(chǔ)。
問題4：在問題3的基礎(chǔ)上若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
課堂提問是回答的同學(xué)已經(jīng)很好地理解了其中的PM和AB平行且相等或PM和AB互相平分的關(guān)系，并且能正確選擇思路進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，現(xiàn)在我們可以確定條件中只需給出兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足一定的關(guān)系即可，并且它們可能受到某個(gè)范圍的限制，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)條件可隨意轉(zhuǎn)換。在此基礎(chǔ)上追問問題5。
問題5：當(dāng)P的條件不變，改變點(diǎn)M的條件，使點(diǎn)M在一條直線上，請(qǐng)確定這條直線的函數(shù)解析式，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
請(qǐng)兩位同學(xué)板演自己的解答過程后，要求學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行歸納總結(jié)。即平行四邊形的存在性問題可能有三個(gè)定點(diǎn)也可能有兩個(gè)定點(diǎn)，如果有三個(gè)定點(diǎn)則只需分別按一邊為對(duì)角線進(jìn)行分類討論即可；當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)，不管另外兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，只需根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)使兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段分別為平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可。
2.6學(xué)以致用，解決背景問題。
3.案例反思
縱觀整堂課的教學(xué)過程，盡管沒有遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式，但是得到了大量來自學(xué)生內(nèi)部的第一手素材與信息，充分展示了學(xué)生提問、討論、質(zhì)疑、交流、歸納、延伸的思維活動(dòng)的過程，從而使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思想被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，真正品嘗到了成功的喜悅。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)并不是簡單地傳授，而是由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知框架的不斷變革或重組主動(dòng)加以建構(gòu)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，讓學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目的，有一定的思維深度和廣度等，提高課堂教學(xué)有效性。
參考文獻(xiàn)：
[1]中華人民共和國教育部制訂.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2]馬秋霞.2014年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)——圖形的相似.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2014，3.
[3]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.
[4]韓敬.由一道中考題的多證引發(fā)的結(jié)論及應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，3.endprint
