ARIMA模型在黑龍江GDP預測中的應用

張恩英+++張曉涵

一、引言

經濟運行過程從較長時間序列看，由于市場機制的作用，呈現一定的規律，這對預測提供了依據。目前，預測經濟運行時間序列的理論與方法較多，運用傳統的結構法建立模型進行分析和預測GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經濟預測過程中既考慮了時間因素，又考慮了隨機因素的干擾，因此對短期的經濟運行趨勢預測有較高的準確率，是近幾年應用比較廣泛的方法之一。本文根據ARIMA模型的應用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時間序列數據建模進行分析，并依據所建模型對黑龍江GDP做預測。

二、ARIMA模型簡介

時間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預測技術，在時間序列的預測中應用廣泛。ARIMA模型預測是指預測模型擬合的好壞程度，即預測模型所產生的模擬值與歷史實際值擬合程度的優劣。由于時間序列經常會受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評估政策干預或突發事件對經濟環境和經濟過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它自身的滯后值以及隨機誤差項的現值、滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動規律。

非平穩序列的數字特征（如均值、方差和協方差等）會隨時間而發生變化，也就是說，非平穩序列的隨機規律在不同的時間點上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機性難以判斷。但在多數時間序列的實證研究中發現，這些經濟時間序列大多是非平穩的，例如GDP、投資、固定資產、消費等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時間序列分析方法，該方法以隨機理論為基礎，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動平均（MA）模型；自回歸求積移動平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當前值和誤差項，對擾動項進行建模分析，從而使模型的預測精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變為平穩序列，即■

■為平穩序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數，q為移動平均的階數， ■為一個白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩，如果不平穩，需平穩化。然后對平穩化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應用

1.數據的來源于描述

從《2011黑龍江統計年鑒》統計出1978至2010年黑龍江國內生產總值數據見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時間的增長呈指數趨勢，非水平平穩。

圖 GDP線性趨勢圖

2.序列的平穩性處理

對 進行平穩性檢驗（ADF檢驗），結果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數據不平穩。

為了消除原始數據序列的不平穩性，使數據變得平穩。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數趨勢，由此采用對GDP序列取對數（記為Ln■ ）的形式消除不平穩性。取對數后的GDP序列基本消除了原有的時間趨勢，可以認為該序列是平穩序列，為了準確的判斷序列具有平穩性，下面我們對二階差分后的序列 ■進行平穩性檢驗（ADF檢驗），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數據平穩，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對序列 的單位根檢驗，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項應取2，由于序列Ln 的自相關圖和偏自相關圖都是拖尾的，因此我們對序列Ln 建立ARIMA模型。經過反復的測算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號中的數據為對應估計量的T檢驗統計量）：

對上述模型進行回歸擬合優度檢驗，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進行解釋， ■的實際值變動與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項與自變量相互獨立，模型通過了擬合優度檢驗與杜賓瓦森檢驗，由檢驗結果可知該該模型的預測效果應該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對模型進行單位根（DF）檢驗，進一步檢驗該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項序列可以被看做是平穩序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實際值的無偏估計。觀察殘差序列 的自相關圖和偏自相關圖可知，自相關函數和偏自相關函數均落在置信區間內，殘差序列應為平穩序列，與之前的DF檢驗結果一致。

4.模型的預測

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預測公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對黑龍江省GDP作預測，結果見表2：

表2 實際值與ARIMA預測值

單位：億元

5.結束語

通過以上對黑龍江GDP序列進行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對非平穩時間序列具有較好的預測結果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對黑龍江國內生產總值作短期預測，為黑龍江制定經濟發展目標提供決策參考。

參考文獻：

[1]丁磊.黑龍江省人均GDP時間序列模型及預測[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2010年06期.2010，（6）：25～26.

[2]李晴，楊春.時間序列分析模型及其在GDP預測中的應用研究[J].安徽農業科學，2011，（20）：51～53.

[3]徐雅靜，汪遠征.ARIMA模型在河南省GDP預測中的應用及SAS實現[J].中國科技信息，2006，（6）.

[4]李守麗.時間序列模型在地級市GDP預測中的應用[D].科學管理研究，2013.endprint

一、引言

經濟運行過程從較長時間序列看，由于市場機制的作用，呈現一定的規律，這對預測提供了依據。目前，預測經濟運行時間序列的理論與方法較多，運用傳統的結構法建立模型進行分析和預測GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經濟預測過程中既考慮了時間因素，又考慮了隨機因素的干擾，因此對短期的經濟運行趨勢預測有較高的準確率，是近幾年應用比較廣泛的方法之一。本文根據ARIMA模型的應用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時間序列數據建模進行分析，并依據所建模型對黑龍江GDP做預測。

二、ARIMA模型簡介

時間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預測技術，在時間序列的預測中應用廣泛。ARIMA模型預測是指預測模型擬合的好壞程度，即預測模型所產生的模擬值與歷史實際值擬合程度的優劣。由于時間序列經常會受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評估政策干預或突發事件對經濟環境和經濟過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它自身的滯后值以及隨機誤差項的現值、滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動規律。

非平穩序列的數字特征（如均值、方差和協方差等）會隨時間而發生變化，也就是說，非平穩序列的隨機規律在不同的時間點上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機性難以判斷。但在多數時間序列的實證研究中發現，這些經濟時間序列大多是非平穩的，例如GDP、投資、固定資產、消費等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時間序列分析方法，該方法以隨機理論為基礎，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動平均（MA）模型；自回歸求積移動平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當前值和誤差項，對擾動項進行建模分析，從而使模型的預測精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變為平穩序列，即■

■為平穩序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數，q為移動平均的階數， ■為一個白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩，如果不平穩，需平穩化。然后對平穩化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應用

1.數據的來源于描述

從《2011黑龍江統計年鑒》統計出1978至2010年黑龍江國內生產總值數據見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時間的增長呈指數趨勢，非水平平穩。

圖 GDP線性趨勢圖

2.序列的平穩性處理

對 進行平穩性檢驗（ADF檢驗），結果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數據不平穩。

為了消除原始數據序列的不平穩性，使數據變得平穩。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數趨勢，由此采用對GDP序列取對數（記為Ln■ ）的形式消除不平穩性。取對數后的GDP序列基本消除了原有的時間趨勢，可以認為該序列是平穩序列，為了準確的判斷序列具有平穩性，下面我們對二階差分后的序列 ■進行平穩性檢驗（ADF檢驗），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數據平穩，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對序列 的單位根檢驗，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項應取2，由于序列Ln 的自相關圖和偏自相關圖都是拖尾的，因此我們對序列Ln 建立ARIMA模型。經過反復的測算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號中的數據為對應估計量的T檢驗統計量）：

對上述模型進行回歸擬合優度檢驗，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進行解釋， ■的實際值變動與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項與自變量相互獨立，模型通過了擬合優度檢驗與杜賓瓦森檢驗，由檢驗結果可知該該模型的預測效果應該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對模型進行單位根（DF）檢驗，進一步檢驗該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項序列可以被看做是平穩序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實際值的無偏估計。觀察殘差序列 的自相關圖和偏自相關圖可知，自相關函數和偏自相關函數均落在置信區間內，殘差序列應為平穩序列，與之前的DF檢驗結果一致。

4.模型的預測

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預測公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對黑龍江省GDP作預測，結果見表2：

表2 實際值與ARIMA預測值

單位：億元

5.結束語

通過以上對黑龍江GDP序列進行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對非平穩時間序列具有較好的預測結果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對黑龍江國內生產總值作短期預測，為黑龍江制定經濟發展目標提供決策參考。

參考文獻：

[1]丁磊.黑龍江省人均GDP時間序列模型及預測[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2010年06期.2010，（6）：25～26.

[2]李晴，楊春.時間序列分析模型及其在GDP預測中的應用研究[J].安徽農業科學，2011，（20）：51～53.

[3]徐雅靜，汪遠征.ARIMA模型在河南省GDP預測中的應用及SAS實現[J].中國科技信息，2006，（6）.

[4]李守麗.時間序列模型在地級市GDP預測中的應用[D].科學管理研究，2013.endprint

一、引言

經濟運行過程從較長時間序列看，由于市場機制的作用，呈現一定的規律，這對預測提供了依據。目前，預測經濟運行時間序列的理論與方法較多，運用傳統的結構法建立模型進行分析和預測GDP往往比較困難，而AR-MA模型在經濟預測過程中既考慮了時間因素，又考慮了隨機因素的干擾，因此對短期的經濟運行趨勢預測有較高的準確率，是近幾年應用比較廣泛的方法之一。本文根據ARIMA模型的應用條件，選取黑龍江GDP的1978至2010年時間序列數據建模進行分析，并依據所建模型對黑龍江GDP做預測。

二、ARIMA模型簡介

時間序列分析中最常用的模型之一就是ARIMA模型，ARIMA模型提供了一套有效的預測技術，在時間序列的預測中應用廣泛。ARIMA模型預測是指預測模型擬合的好壞程度，即預測模型所產生的模擬值與歷史實際值擬合程度的優劣。由于時間序列經常會受到各種外部因素的影響，我們可以通過該模型從定量分析的角度來評估政策干預或突發事件對經濟環境和經濟過程的具體影響。ARIMA模型是將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它自身的滯后值以及隨機誤差項的現值、滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列，它既受外部因素的影響，又有自身變動規律。

非平穩序列的數字特征（如均值、方差和協方差等）會隨時間而發生變化，也就是說，非平穩序列的隨機規律在不同的時間點上是不同的，僅有已知的信息序列整體上的隨機性難以判斷。但在多數時間序列的實證研究中發現，這些經濟時間序列大多是非平穩的，例如GDP、投資、固定資產、消費等。為此，Box-Jenkins在1970年提出了一種時間序列分析方法，該方法以隨機理論為基礎，包括三種基本模型：自回歸（AR）模型；移動平均（MA）模型；自回歸求積移動平均（ARIMA）模型。其中ARIMA模型綜合了考慮了變量值自身的過去值，當前值和誤差項，對擾動項進行建模分析，從而使模型的預測精度得到了有效的提高。

ARIMA模型的形式：考慮序列■，若能通過次差分后變為平穩序列，即■

■為平穩序列，即■ ，于是可建立ARMA（p，q）模型：

■

經d階差分后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸模型階數，q為移動平均的階數， ■為一個白噪聲過程。

ARIMA建模的思路：首先判斷序列是否平穩，如果不平穩，需平穩化。然后對平穩化后的序列建立ARMA建模。

三、ARIMA模型的應用

1.數據的來源于描述

從《2011黑龍江統計年鑒》統計出1978至2010年黑龍江國內生產總值數據見圖。由下圖可以看出GDP（ ）隨時間的增長呈指數趨勢，非水平平穩。

圖 GDP線性趨勢圖

2.序列的平穩性處理

對 進行平穩性檢驗（ADF檢驗），結果如表1：

表1 Augmented Dickey-Fuller unit root test on X

由表1可以看出：ADF= 6.329210大于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即原始序列數據不平穩。

為了消除原始數據序列的不平穩性，使數據變得平穩。由圖1我們也可以看出原始序列呈指數趨勢，由此采用對GDP序列取對數（記為Ln■ ）的形式消除不平穩性。取對數后的GDP序列基本消除了原有的時間趨勢，可以認為該序列是平穩序列，為了準確的判斷序列具有平穩性，下面我們對二階差分后的序列 ■進行平穩性檢驗（ADF檢驗），ADF= -6.728172小于顯著性水平為0.01、0.05和0.1的臨界值，即序列數據平穩，說明GDP序列為2階單整序列，即■ 。

3.模型的建立

通過對序列 的單位根檢驗，可以確定ARIMA（p，d，q）模型中的單整項應取2，由于序列Ln 的自相關圖和偏自相關圖都是拖尾的，因此我們對序列Ln 建立ARIMA模型。經過反復的測算與比較，最終我們建立如下ARIMA（1，2，1）模型（方程下方括號中的數據為對應估計量的T檢驗統計量）：

對上述模型進行回歸擬合優度檢驗，由R2 =0.99803可以看出■有99.8%可以由該模型進行解釋， ■的實際值變動與模型的擬合值具有非常好的一致性。其次，DW=1.785935說明殘差項與自變量相互獨立，模型通過了擬合優度檢驗與杜賓瓦森檢驗，由檢驗結果可知該該模型的預測效果應該比較理想。

將該模型的殘差序列記為■ ，對模型進行單位根（DF）檢驗，進一步檢驗該模型的效果，得： ■，DF值為-5.005413，而在1%顯著性水平下，DF的臨界值為-3.77。因此，在1%顯著性水平下殘差序列■即誤差項序列可以被看做是平穩序列，說明模型具有較好的擬合效果，即■的擬合值是實際值的無偏估計。觀察殘差序列 的自相關圖和偏自相關圖可知，自相關函數和偏自相關函數均落在置信區間內，殘差序列應為平穩序列，與之前的DF檢驗結果一致。

4.模型的預測

由ARIMA（1，2，1）模型：

■

可得■的預測公式為：

■

用ARIMA（1，2，1）模型對黑龍江省GDP作預測，結果見表2：

表2 實際值與ARIMA預測值

單位：億元

5.結束語

通過以上對黑龍江GDP序列進行建模分析，說明利用Box-Jenkins法建立的ARIMA模型對非平穩時間序列具有較好的預測結果。本文所建立ARIMA（1，2，1）模型，可用于對黑龍江國內生產總值作短期預測，為黑龍江制定經濟發展目標提供決策參考。

參考文獻：

[1]丁磊.黑龍江省人均GDP時間序列模型及預測[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2010年06期.2010，（6）：25～26.

[2]李晴，楊春.時間序列分析模型及其在GDP預測中的應用研究[J].安徽農業科學，2011，（20）：51～53.

[3]徐雅靜，汪遠征.ARIMA模型在河南省GDP預測中的應用及SAS實現[J].中國科技信息，2006，（6）.

[4]李守麗.時間序列模型在地級市GDP預測中的應用[D].科學管理研究，2013.endprint