雙點星so覆蓋與2－序列覆蓋映像①

孫秀華，呂 誠

(安徽建筑大學數理系，安徽 合肥 230022)

在“映射與空間”這一課題中，序列覆蓋映射起著極為重要的作用，其中2－序列覆蓋映射條件最強，研究2－序列覆蓋映像可揭示序列覆蓋映像的普遍性質，尋求更多的有關2－序列覆蓋映像等價刻畫很有價值。文獻 ［1］、 ［2］和 ［3］ 中分別討論了局部可分度量空間的2－序列覆蓋s映像、2－序列覆蓋緊映像和2－序列覆蓋cs映像。于是另辟捷徑，引入雙點星so覆蓋，并得到其與2－序列覆蓋映射像之間的聯系，豐富了文獻 ［2］中的相關結論。

定義1.1［4］:設映射f:X→Y，

(1)對于任意y∈Y以及相應的x∈f－1(y)滿足:對Y中收斂序列{yn}和極限點y，一定存在X中收斂于極限點x的收斂序列{xn}，并且每一xn∈f－1(yn)，此時f稱為2－序列覆蓋映射。

(2)如果對每一f－1(y)都是X的緊子集，則f稱為緊映射。

定義 1.2［5］:令 {(Xλ，{ρλ，n}):λ ∈ Λ}為空間X的雙點星覆蓋，并且對于任意λ∈Λ，(fλ，Mλ，Xλ，{ρλ，n})構成 Ponomarev －system。因為每一 ρλ，n都是可數的，Mλ為可分空間并可度量化。再令M，于是M是局部可分度量空間，其中f是從空間M到空間X的連續滿映射，稱(f，M，X，{ρλ，n})為 ls － Ponomarev －system。

刻畫局部可分度量空間的緊映像中，［5］中定義了雙點星cs覆蓋和雙點星cs*覆蓋，［6］定義了雙點星sn覆蓋。以下通過推廣上述方式引入定義雙點星so覆蓋。

定義1.3:空間X的雙點星覆蓋{(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}稱為雙點星so覆蓋，如果對于任意n∈N和任意λ∈Λ，ρλ，n為Xλ的so覆蓋。

引理1.4［4］:設映射f:X→Y，其中{Bn:n∈N}是X中某點x的遞減的鄰域基，且每一f(Bn)是f(x)在 Y中的序列鄰域。若在 Y中序列{yn:n∈N }收斂于f(x)，那么存在xn∈f－1(yn)使得在X中序列 { xn:n∈N }收斂于x。

定理1.5:若X是具有點有限的雙點星so覆蓋的空間，則存在 ls－Ponomarev－system{f，M，X，{ρλ，n}}，并且f是2－序列覆蓋緊映射。

證明:假如 X 具有雙點星覆蓋 {(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}，并……