高中生數學發散思維與數學聚合思維比較研究

趙飛遠 劉合香

摘 要： 為研究高中生數學發散思維與數學聚合思維的狀況并加以比較，提出相關觀點和策略，進一步提高高中生的數學思維水平，作者選取了南寧市某示范性高中70名學生進行測試調研.調研結果表明：在高中生數學解題過程中，發散思維和聚合思維對數學問題解決的影響普遍存在，數學發散思維和數學聚合思維受到已有知識、解題方法、能否變通等多方面因素的影響和制約，學優生和學困生的解題思維水平存在顯著差異.

關鍵詞： 數學發散思維 數學聚合思維 數學解題 高中生

一、問題提出

如果說把解決數學問題的思路比喻成道路的話，那么數學思維的角度和方向就變得舉足輕重.按照數學思維的指向，可以把數學思維分為數學發散思維（又稱數學輻射思維）和數學聚合思維（又稱數學輻合思維）.

數學發散思維是對已知數學信息進行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新的數學問題，探索新的數學知識或發現多種解答和多種結果的思維方式.

數學聚合思維是調動各種信息（已知的或回憶的），按照常規習慣尋求解決數學問題、整理數學知識或總結數學方法的思維方式.

數學發散思維以不同的思維方向、路徑和角度探求解決數學問題的多種不同答案正受到人們的關注和重視，并成為創造性思維方法的重要組成部分；數學聚合思維則以其理性、邏輯、集聚、合圍的特點給數學發散思維帶來了擴張力 ，又提供了聚合力.因此，探討數學發散思維和數學聚合思維的辯證統一性，不僅具有理論價值，還有其現實意義.

數學發散思維與數學聚合思維對高中生生解題的制約和影響是普遍存在的.究竟其影響程度如何？它們各自有哪些特點？兩者之間又有何區別和聯系？如何較有效地培養高中生的數學發散思維和數學聚合思維？對教師的教和學生的學有何指導意義？本研究編制了一套與高中生數學發散思維和數學聚合思維有關的測試題，對高中生在解決數學問題過程中的思維發散性和思維聚合性進行了實驗研究，希望為教學提供參考.

二、研究方法

（一）被試

被試為南寧市一所示范性中學高二年級兩個平行班的學生，總被試80人，發放數學調查問卷80份（每班40份），收回有效問卷70份，問卷回收率為87.5%.

（二）研究工具

本研究采用高中生數學調查問卷方式進行調研.

根據現行高中數學教材自編高中生數學發散思維與數學聚合思維比較研究測試題，經過多次修改，試卷的可靠程度較高，信度系數為0.763.本套調查試卷包括6道要求筆試完成的簡答題，測試時間為80分鐘，試卷滿分100分：其中問題1、2、3、5各占15分，問題4、6各占20分，評卷施行按步給分，根據具體情況酌情處理.所考查的知識點均分布于高一至高二所學內容，根據數學發散思維與數學聚合思維各自的研究維度和子維度編制試題，試題有明顯的代表性，適合高二學生進行測試.

測試得到的數據使用SPSS進行統計分析.

三、結果與分析

（一）學優生和學困生在數學發散思維方面的表現

數學發散思維包括多端性、獨特性和變通性三個維度.在數學發散思維方面，學優生能夠展開聯想，從多個角度尋求解決問題的方法和途徑；學困生則很難開啟自身的發散思維，找不到或很難找到解決問題的有效途徑. 6個數學問題的解決在水平上，學優生和學困生在數學聚合思維方面均表現出了顯著性的差異.

（二）學優生和學困生在數學聚合思維方面的表現

數學聚合思維包括概括性和邏輯性兩個維度.在數學聚合思維方面，學優生對數學思想方法的理解更透徹，能夠多題一解，學困生則對于解決問題既存在知識問題，又存在思想和方法問題.6個數學問題的解決在水平上，學優生和學困生在數學聚合思維方面均表現出了顯著性的差異.

（三）典型例題分析

問題1.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

辨析：這是一道三角函數的化簡求值問題，學生可能會想到用積化和差，或是分子分母同乘以2cos10°以退為進，也可以兩兩組合（（sin10°sin30°）（sin50°sin70°），（sin10°sin70°）（sin30°sin50°））之后再進行積化和差.主要考查高中學生問題5和問題6這兩個“姊妹題”是考查高中生數學聚合思維在解題中的概括性維度.學優生和學困生出現顯著性的差異.

四、討論

綜合上述分析可以看出：數學發散思維與數學聚合思維的水平直接影響到學生的數學解題.如本研究中問題4，如果學生不能對方程的根這個數學概念深入了解，自然就不會由數形結合想到方程的根，其實就是相應的函數圖像交點的橫坐標.

從數學發散思維和數學聚合思維對學生解題的影響程度來看，數學聚合思維對學生的解題的影響更顯著.我們考慮可能是由于數學知識只是數學思想的載體，而數學思想乃數學知識的靈魂，抓住隱藏在知識背后的思想，其實就抓住了數學問題解決的本質，那么真正意義上的解題自然水到渠成.

與學優生相比較而言，學困生的數學解題受到發散思維和聚合思維的影響更顯著.

五、結論與建議

（一）結論

1.數學發散思維和數學聚合思維直接影響數學解題.

2.數學發散思維和數學聚合思維對數學解題的影響不同，其中，數學聚合思維數學解題的影響更大.

3.從優“差”生數學發散思維和數學聚合思維對數學解題影響的比較來看，學困生的數學發散思維和數學聚合思維對數學解題的影響更顯著.

（二）建議

1.加強數學發散思維和數學聚合思維在數學解題中的訓練力度，如：在函數圖像的教學中，引導學生打開思維去想圖像中蘊含的數學，以及由數學公式或符號生成的圖形，與此同時多注意高中數學思想方法在解題和教學中的滲透.

2.在數學教學中，不僅要經常鼓勵學生打破思維定勢，進行發散思維，一題多解，一題多變，一題多用；有要懂得張弛有度，多題一解，把中學數學思想方法順其自然，活靈活現地根植入學生內心.

3.對于學困生的教學，在補充好數學“雙基”知識的前提下，重點應放在培養他們數學問題解決的意識，尤其是在問題解決過程中發散思維和聚合思維的巧妙運用上，從而形成一張看不見、摸不著卻又真實起作用的知識網絡.

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