關于雙曲線若干問題的探討

劉學英

【摘要】雙曲線是圓錐曲線的重要內容之一，也是高考的熱點問題，知識綜合程度較高，且易于發散，運算復雜．此中不乏雙曲線的第二定義和焦點弦等問題，無疑，這類問題在啟迪學生思維，拓寬解題思路等諸多方面都有十分重要的作用，因而它在中學數學教材及各種復習資料中始終占有一席之地，針對雙曲線的第二定義、焦點弦等問題及其應用，有必要作進一步的探討和研究。

【關鍵詞】新課改；雙曲線；焦點弦；第二定義

新的數學課程標準是在以學生發展為本的理念下，要求學生轉變學習方式，教師積極探索，轉變教與學觀念，加深對課本內容的拓展理解和應用。所以，在數學教學中，教師應善于引領學生對課本的一些重要問題進行進一步的探索與研究，以提高學生的數學素質與應試能力。雙曲線的定義和焦點弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點和熱點，角度常變，常考不衰。但在普通高中課程標準實驗教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應用，對于雙曲線的焦點弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學過程中，也往往局限于新課程標準的教學目標和要求，沒有對這些知識做出進一步的拓展補充。因此，學生往往不能對該類知識點做到透徹理解，巧妙應用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點弦問題，結合具體事例，做一些簡單探討。

1 雙曲線的兩個定義

定義1：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。

定義2：平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準線l）的距離的比等于常數e的點的軌跡，當01時是雙曲線;當e=1時是拋物線。

例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A．(1，)；B．(，+∞)；

C．(1，)；D．(，+∞)

分析：本題是圓錐曲線中的計算問題，設雙曲線的右支上一點為P(x1,y1)，x1≥a，則點P到左準線的距離為，到右準線的距離為，由雙曲線的第二定義得點P到右焦點的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1

2 焦點弦問題

2.1 焦點弦的一個性質

設雙曲線方程為，離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為α，則有

當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|<1-e （1）

當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）

當直線l與雙曲線只有一個交點時，|cosα|=1-e （3）

證明：由對稱性，不妨設F為有焦點(c,0)

（1）由漸近線與弦AB斜率的關系知

?1+tan2α>e2?sec2α>e2

?|cosα|>1-e 。

（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關系知

，

，

?1+tan2α

（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，

，

。

2.2 弦長公式

設雙曲線離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為θ，焦點F到相應準線的距離為d，則有

當雙曲線方程為，弦AB的長。

當雙曲線方程為，弦AB的長。

證明：當焦點在X軸上時，設雙曲線方程為，焦點F(c,0)到相應準線的距離為，離心率為。

先推導弦AB所在直線的參數方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ·x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ·x，設x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數方程為

x=tcosθ+c

{y=tsinθ（t為參數），

事實上，令

=|t1-t2|。

可發現參數t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。

將弦AB所在直線的參數方程與雙曲線方程聯立，并整理得

(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，

于是，由上述t的幾何意義，

。

如果直線l斜率為k， 。

2.3 應用舉例

例2已知雙曲線的左焦點是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點在y軸的不同側，求橢圓離心率e的取值范圍。

解：由題意及上述性質1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。

參考文獻：

[1]數學課程標準解讀（實驗）[M].北京師范大學出版社，2002

[2]普通高中課程標準實驗教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004

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[4]王后雄.中國高考母題題源[數學理(B)版][M].人民教育出版社，2004