初中數學競賽訓練題

一.填空題

1.完全數是一個數的所有因數之和(除該數本身外)等于該數本身的整數，它顯示了整數的完滿性.第1個完全數是6，它可以被1，2,3整除并且是1,2,3之和,那么第2個完全數是______.

圖1

2.2個整數相加時，所得的和是2個數字相同的兩位數;它們相乘時,所得的積是3個數字相同的三位數，則這2個整數是______.

4.將2名教師、4名學生分成2個小組，分別安排到甲地、乙地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有______種.

圖2

5.若從1，2，3，…，8這8個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有______種.

6.如圖1,在棱長為1的正方體中,點E,F分別為棱BB1,CC1的中點,那么把線段AE和D1F平移后,它們相交所得銳角的正弦值是______.

圖3

9.已知不等式|a-2x|>x-1對任意的0≤x≤2恒成立,則實數a的取值范圍是______.

10.已知△ABC是等腰三角形，邊BC上的高恰好等于BC的一半,則∠BAC的度數是______.

二.解答題

圖4 圖5

11.如圖4,請把一個6×10的長方形紙片沿著其各格點分成4個相似但不完全全等的長方形,要求作出3種不同分法的示意圖.

12.在平面上有且只有4個點,這4個點有一個獨特的性質:每2個點之間的距離有且只有2種長度.例如,在如圖5所示的正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA，AC=BD，但AB≠AC.請作出具有這種性質的所有圖形,并標明相等的線段.

13.給定100個正整數n0,n1,n2,…,n100,已知n1>n0,n2=3n1-2n0,n3=3n2-2n1,…,n100=3n99-2n98.證明:n100>299.

14.已知方程ax2+bx+c=0(a,b,c為正整數)有2個不相等且小于1的正根,試求a的最小值.

15.2條拋物線的方程為y=x2+ax+b和y=x2+cx+d(a,b,c,d都是整數，且可以相等)，每一個數的取值都是通過規則的六面體骰子獨立地投擲出來的，則這2條拋物線至少有1個公共點的概率是多少？

16.如圖6,將邊長為4 cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊,使點B落在邊AB上的點M處,點C落在點N處,MN與CD交于點P.隨著點M在邊AD上取遍所有位置(點M不與A,D重合),試求△PDM的周長.

17.如圖7,在梯形ABCD中，BA∥CD,AD⊥AB,AB=7,CD=6a,BC=a2,若以BC為直徑的圓與AD沒有公共點,求a的取值范圍.

圖6 圖7 圖8 圖9

18.如圖8,在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,點D在邊BC上,BD∶DC=2∶3,且△ADE為正三角形.當S△ABC=100 cm2時,求S△ADE.

19.如圖9,在AB=6,AD=4的矩形紙片ABCD中剪去⊙M與⊙M′,其中⊙M與AB,AD相切,⊙M′與BC,CD相切,且⊙M與⊙M′外切,則剩余部分的面積是否有最大值與最小值?若有,求出最值;若沒有,請說明理由.

20.已知關于x的方程ax4-(a-3)x2+3a=0有一個根小于-2,其余3個根大于-1,求實數a的取值范圍.

21.已知拋物線y=x2及點F,另點A,B是拋物線在y軸同側的2個動點,設直線AF:y=k1x+b1,BF:y=k2x+b2,且k1,k2互為相反數.

(2)如圖11,若點F(-1,1),請證明：直線AB的斜率為定值,并求出這個定值.

圖10 圖11 圖12

22.如圖12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6，點P在AB上，AP=2，點E,F同時從點P出發，分別沿PA,PB以每秒1個單位長度的速度向點A,B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E,F的運動過程中，以EF為邊長作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側.設點E,F運動的時間為t(t>0)秒，正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S.

(1)當0

(2)在整個運動過程中，當t為何值時，S取得最大值？這個最大值是多少？

參考答案

10.75°或15°或45°

11.解3種不同分法的示意圖如圖13所示:

圖13

12.解共有如圖14所示的5種圖形滿足題意：

圖14

13.證明由條件知,n1-n0≥1,且

n2-n1=2(n1-n0),

n3-n2=2(n2-n1),

…

n100-n99=2(n99-n98).

將這99個等式相乘,約去公因式得

n100=n99+299(n1-n0)>299.

14.解設x1，x2為ax2+bx+c=0的2個根，由題意0

a(x-x1)(x-x2)=0.

將x=0,x=1代入,得

a2x1(1-x1)x2(1-x2)≥1.

從而a2>16.當a=5時,二次方程5x2-5x+1=0有2個不相等且小于1的正根.

16.解法1設BE=EM=x,AM=a,易得△AEM∽△DMP,從而

于是△PDM的周長為

又在Rt△AEM中,

(4-x)2+a2=x2,

即

a2=8x-16,

代入可得△PDM的周長為8.

解法2如圖15，作BH⊥MP,證明△ABM≌△HBM,△BHP≌△BCP,則

MP=AM+PC,

故△PDM的周長為AD+DC=8.

圖15 圖16

17.解如圖16，取AD的中點P和BC的中點O,聯結PO.由題意得2OP>BC,即

a2-6a-7<0.

又DC=6a>0,從而0

綜上所述,a的取值范圍為

18.解如圖17，以點A為中心補成一個以BC為邊長的正△PBC,聯結EF,GQ,RD,易證DEFGQR為正六邊形,再聯結DF,FQ,QD,則△DFQ為正三角形,其面積為正六邊形面積的一半.于是

從而S△DFQ=300-3×72=84,

圖17 圖18

19.解建立如圖18所示的直角坐標系.若剪去的2個圓的面積之和有最大(小)值,則剩余部分的面積有最小(大)值.設⊙M與⊙M′的半徑分別為r和r′,則點M(r,r),點M′(6-r′,4-r′),從而

2邊平方，整理得

(r+r′)2-20(r+r′)+52=0,

于是

因此S⊙M+S⊙M′=πr2+πr′2=

解得

21.證明設直線AB:y=kx+b,與拋物線y=x2聯立,消去y得

x2-kx-b=0.

x1+x2=k,x1x2=b.

因為k1,k2互為相反數,所以k1+k2=0.

(2)將F(-1,1)代入直線AF:y=k1x+b1,BF:y=k2x+b2,得

b1=k1+1,b2=k2+1.

x1-1+x2-1=0,

即

x1+x2=2=k,

故直線AB的斜率為定值2.

S=S正方形EFGH=(2t)2=4t2

(重疊面積就是正方形EFGH的面積).

圖19 圖20 圖21

S=S正方形EFGH-S△MHN=

S=S△AFN-S△AEM=

(2)點E,F的整個運動過程如圖22～26所示，當點E,F運動到如圖24～26所示的位置時，S取得最大值.

當t=5時(如圖24),

圖22圖23圖24圖25圖26

S=S正方形-S三角形1-S三角形2=