“對應”在數學競賽解題中的應用

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(嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

“對應”，又稱“對應關系”，反映的是2個集合元素之間的關系，通過“對應”可以將各種類別、各種范圍、各種層次的對象聯系起來，呈現出它們之間的若干屬性，通過這些屬性的研究使得各種對象之間互相結合、互相轉化．

“對應”既是指2個集合的關系，更是一種重要的思想方法．從思想方法的角度來說，“對應”指的是人們在解決某個范疇的數學問題時，通過尋找恰當的對應關系，把原問題轉化為另一個范疇的數學問題，再在這個范疇中求解，從而達到解決原問題的思維方法．

在數學競賽中，應用“對應”有利于提高學生觀察問題和分析問題的能力，在解題中也能起到四兩撥千斤的效果．下面從幾個定理出發，探討“對應”在數學競賽中的一些應用．

定理1定義f是從集合X到Y的一個映射，則

(1)如果f為單射，則card(X)≤card(Y)；

(2)如果f為滿射，則card(X)≥card(Y)；

(3)如果f為一一映射，則card(X)=card(Y)；

(4)若X和Y是2個有限集，f為m倍映射，則card(X)=mcard(Y)．

定理3在直角坐標系中，設A(a,b)，B(c,d)為2個格點，從A到B的連線由最小格點正方形的對角線首尾相聯結而成，而且任何平行于y軸的直線與這條連線最多只有一個交點，把這條連線叫做聯結A,B的折線，點A稱為這條折線的起點，點B稱為終點．

1 “對應”：集合問題的“橋梁”

“對應”反映的是2個集合元素之間的關系，通過“對應”可以實現任何2個集合的溝通與聯系，這要求我們在解題時大膽構造，造好“橋梁”．

例1已知集合S={1,2,3,…,2 000}，若S的41元子集中的所有元素之和能被5整除，則該子集稱為S的好子集，求S的好子集個數．

f(A)={a1+k,a2+k,…,a41+k}.

當aj+k>2 000時，用aj+k-2 000代替,容易證明f是一一映射，故

|S0|=|Sk| (1≤k≤4).

評注在本題中，將S的所有子集按照所有元素之和被5除的余數進行分類，通過構造“對應”，進而證明其為一一映射，發現|S0|=|Sk|(1≤k≤4)是關鍵．

例2設n為正整數，記Sn={1,2,…,2n}，定義Sn的2個子集：An={A?Sn|card(A)=n,A中的各元素之和為偶數}，Bn={B?Sn|card(B)=n,B中的各元素之和為奇數}，對每個n，求card(An)-card(Bn)．

card(An)-card(Bn)=0．

當n為偶數時，將1,2,3,…,2n分組：

(1,2n),(2,2n-1),…，(n,n+1).(1)

此時，對任意X?Sn,|X|=n-1,分組(1)中必有一組數據都不屬于X．例如1,2n?X,則X∪{1}與X∪{2n}分屬于An和Bn.這表明凡由上述方式構成的An與Bn的元素具有相同的個數．

綜上所述，對正整數n，有

評注這里通過構造映射，在An與Bn中的大部分元素之間建立起一一對應，直接定出了card(An)-card(Bn)的值．當然也可以分別求出card(An)與card(Bn)的值，再求出card(An)-card(Bn)．

2 “對應”：函數問題的“基石”

在高中數學中，映射、函數的概念是從“對應”開始的，對一些函數的構造性證明就是尋找“對應”的例子．函數(曲線方程)與函數圖像(曲線)就是點與有序數對的對應，這種對應同時可以拓展到一般的數形結合，進而使得代數幾何化、幾何代數化成為常用的轉化方法．

例3分別構造出這樣的函數f(x),g(x)，定義域為(0，1)，值域為[0，1]，且

(1)對于常數a∈[0,1],f(x)=a有且僅有一個根；

(2)對于常數a∈[0,1],g(x)=a有無窮多個根．

評注本題用到的是2個無窮集合之間的“對應”，第(1)小題可以聯想到著名數學家希爾伯特的“無窮房間問題”，第(2)小題涉及到“多對一”、“無窮對一”映射．本題是復旦大學的自主招生試題，答案不唯一，要有相關函數的模型才能迅速解答．

例4設正實數a,b,c滿足

求a,b,c的值．

(2014年浙江省高中數學競賽試題)

圖1

解如圖1，以點O為出發點，作長度為a,b,c的3條線段OA，OB，OC，使得∠AOB=90°,∠AOC=120°，那么∠COB=150°．由余弦定理知

于是∠CAB=90°．

過點O作OE⊥AC，OF⊥AB,設AE=m,OE=n，由∠ABO=∠OAE，得

(2)

(3)

3 “對應”：計數問題的“利器”

前文提到的3個定理在計數問題中有著廣泛的應用，一大批計數問題都可以通過“對應”來轉化：轉化為與之可構造一一對應的另一集合、轉化為不定方程解的組數、轉化為折線的條數等．

例5在世界杯足球賽前，F國教練為了考察A1,A2,…,A7這7名隊員，準備讓他們在3場訓練比賽(每場90分鐘)都上場．假設在比賽的任何時刻，這些隊員中有且僅有一人在場上，并且A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，A5,A6,A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除．如果每場換人次數不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況？

(2002年全國高中數學聯賽試題)

解設這7名隊員上場的時間為7k1,7k2,7k3,7k4,13k5,13k6,13k7分鐘，設7k1+7k2+7k3+7k4=7x,13x5+13k6+13k7=13y,則這7名隊員上場的每種時間分布情況與不定方程

7(k1+k2+k3+k4)+13(k5+k6+k7)=270

的一組正整數解{k1,k2,…,k7}之間可建立一一對應．

對于不定方程7x+13y=270,由

解得

解方程組

42 244.

圖2 圖3

解設正三角形點陣的凸包為正△ABC，邊長為n-1．

如圖3，將AB,AC分別延長到點B′,C′，使得BB′=CC′=1．將B′C′分成n等份．

對正三角形點陣內任一點X，過X作AB,AC的平行線，與B′C′的交點分別記為Xc,Xb．下面分2種情形討論：

評注當計數對象的特征不明顯或混亂復雜難以直接計數時，我們就設法去尋找一個便于計數的集合，本題將三角形對應到邊B′C′上的有序點列，化難為易．

4 “對應”：不等問題的“良方”

不等式證明或求解的方法很多，但也可以用“對應”來解決.在定理1中，發現對于單射和滿射可以得到不等式，又比如可以對線段的長度、面積和體積的大小進行比較，這就引導我們去尋求原問題與它們之間的“對應”．

例7設n∈N,若在集合{1,2，…，2n-1}中至少有一個i，使得|xi-xi+1|=n，我們說集合{1,2，…，2n}的一個排列(x1,x2,…,x2n)具有性質P．求證：對于任何n，具有性質P的排列的個數多．

(第30屆國際數學奧林匹克競賽試題)

分析令A和B分別表示具有性質P和不具有性質P的所有排列的集合，C表示恰有一個i∈{1，2，…，2n-1}，使得|xi-xi+1|=n的所有排列的集合．顯然，C是A的真子集，由此可見，若能證明card(B)≤card(C)，問題就解決了．

為證明card(B)≤card(C)，在B與C之間建立一個對應如下：對任何y=(y1,y2,…,y2n)∈B，顯然有|y1-y2|≠n，因此存在k>2，使得|yk-y1|=n．令排列對應于

f(y)={y2,y3,…,yk-1,y1,yk,yk+1,…,y2n}，

這就是給出了一個由B到C的映射．不難證明這個映射是單射，于是

card(B)≤card(C)

評注本題不要求建立雙射，只要是單射就可以了，這顯然可用于集合元素個數的估計．

圖4

評注本題通過觀察題設條件蘊涵的幾何意義，構造一個幾何圖形，將三角和幾何實現了對應，使欲證不等式一目了然．

5 “對應”：數列問題的“奇兵”

數列中的對應其實也是比較常見的，解題的手段是通過構造一個與原數列有對應關系的新數列，并通過研究這個數列來探討原數列的性質．

例9在數列1,9,81，…，92 000中刪去最高位數字是9的項，余下的數列有多少項？

解若數列中某項的首位數字是9，則前一項首位數字為1，且相鄰2項位數相同．反之，若數列中相鄰2項位數相同，則這2個數的首位數字必是一個為1另一個為9．刪去最高位數字是9的項，相當于在每對位數相同的項中刪去1項．余下數列中每個數的位數恰好為1,2,3，…，t，共有t項，其中t為92 000的位數．易知

t= [lg92 000]+1=[4 000×lg3]+1=

[4 000×0.477 12]+1=1 909．

評注本題很難求出最高位數字是9的那些項，也沒有必要求出，考慮到這些項與首位數字是1的項的對應關系，問題便迎刃而解．

例10設an為下述自然數N的個數：N的各位數字之和為n且每位數字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數，這里n=1,2,…．

解記各位數字之和為n且每位數字都是1或2的所有自然數的集合為Sn，并記card(Sn)=fn，則f1=1,f2=2，且當n≥3時,

fn=fn-1+fn-2．

作映射：f:M→M′(其中M∈Sn，全體M′的集合為Tn)如下：現將M的數字中自左到右的第一個2與它后鄰的數字相加，其和作為一位數字；然后再把余下數字中第一個2與它后鄰的數字相加，所得的和作為下一個數字；依次類推，直到沒有數再相加為止，所得的新自然數M′除最后一位可能為2之外，其余各位數字均為1,3,4．易知f是Sn到Tn的雙射，從而

card(Sn)=card(Tn)+card(Tn-2)=fn，

且fn=fn-1+fn-2(n≥3)．

(4)

另一方面，對于任一數字和為2n、各位數字均為1或2的自然數M，必存在正整數k，使得下列的2條之一成立：

(1)M的前k位數字之和為n；

(2)M的前k位數字之和為n-1，第k+1位數字為2，

(5)

由式(4)，式(5)可知

(6)

評注本題有眾多的解法，而巧妙運用對應方法，流暢、快捷地解決問題，不失為一種好方法．

數學中的“對應”無處不在，數學的解題實質上就是把一個問題不斷轉化為另一個與之對應的較易解決的問題．可以說，數學解題始終貫穿著對應思想，充分運用對應思想可以使解題游刃有余．問題間的“對應”有的較為明顯，有的深藏其中，需要我們去細心探求、深入挖掘、大膽構造．