與圓有關的試題分類探究

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(杭州文海實驗學校 浙江杭州 310018)

圓是各地中考和競賽的重要知識之一，且遍布各種題型，既涉及計算、論證，又涉及探索以及操作題等，考查的知識點側重于與圓有關的角、計算等.近幾年的競賽或中考試題中，與圓有關的試題在沿襲傳統的題型外，還加大了探索、創新的力度，特別是增加了與圓有關的動態問題、圓與代數的綜合題等．

在解決與圓有關的問題時，除了要能靈活運用所學知識外，還要注意與其他知識的聯系，注意數學思想方法的運用．圓是數學中思想方法比較集中的知識點之一，如轉化思想、方程思想、分類思想、整體思想等．本文僅對近幾年全國各地區初中數學競賽及中考中與圓有關的試題進行分類研究，以供參考．

題型1與圓有關的角

圓心角、圓周角、弦切角以及它們的大小與所對(或所夾)弧的度數之間的關系是圓中最基本的數量關系，也是解決與角有關的幾何問題的重要知識點，是證明與圓有關結論的常用工具．

例1如圖1，在ABCD中，E為對角線BD上一點，且滿足∠ECD=∠ACB，AC的延長線與△ABD的外接圓交于點F．證明：∠DFE=∠AFB.

(2014年全國初中數學聯賽福建賽區試題)

解在ABCD中，AD∥BC,從而

∠ACB=∠DAF，∠BDC=∠ABD.

因為∠ABD=∠AFD，∠ECD=∠ACB,所以

∠DAF=∠ECD，∠BDC=∠AFD,

于是

△DCE∽△FAD,

因此

由∠BAF=∠BDF，得

△ABF∽△DEF,

故

∠DFE=∠AFB.

點評本題圖形比較復雜，關鍵是根據圓中角的相等關系，并結合平行四邊形的性質找出相似三角形，再根據相似三角形的性質判定角的等量關系．圓中角的等量關系給解決圖形的相似或全等提供了條件．

圖1 圖2

題型2垂徑定理的應用

圓是軸對稱圖形，根據這一特征可以得到“垂徑定理”這一應用非常廣泛的重要定理.利用垂徑定理可以解決有關線段長度的計算、比例關系的證明以及其他與圓有關的綜合性問題．

例2如圖2，點A在半徑為20的⊙O上，以OA為一條對角線作矩形OBAC，設直線BC交⊙O于點D,E.若OC=12，則線段CE,BD的長度差是______．

(2012年全國初中數學聯賽試題)

從而

故CE-BD= (EM-CM)-(DM-BM)=

點評對于圓中有關線段長度的計算或比較，垂徑定理是常用方法之一.應用垂徑定理的關鍵在于有效利用弦、弦心距和圓的半徑(直徑)之間的關系，其中勾股定理以及直角三角形的其他性質是解決此類問題的輔助工具之一．

題型3圓的切線

直線與圓的位置關系是圓的重點知識，尤其是直線與圓相切時更具大量有用信息.切線的判定與性質、弦切角與圓周角的關系、切線長定理、圓冪定理等都是競賽數學的常用知識．

圖3

(2011年全國初中數學聯賽試題)

解設CE=4x，AE=y,則

DF=DE=3x,EF=6x.

聯結AD，BC,因為AB為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以

∠EAF=90°,∠ACD=∠DAF.

又因為D為Rt△AEF斜邊EF的中點，所以

DA=DE=DF，

從而

∠DAF=∠AFD，

于是

∠ACD=∠AFD，

因此

在Rt△AEF中，由勾股定理得

EF2=AE2+AF2，

即

36x2=y2+320.

設BE=z，由相交弦定理得

CE·DE=AE·BE，

即

yz=4x·3x=12x2，

從而y2+320=3yz.

(1)

由AD=DE，得

∠DAE=∠AED,

又∠DAE=∠BCE,∠AED=∠BEC,從而

∠BCE=∠BEC，

于是

BC=BE=z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得

AB2=AC2+BC2，

即

(y+z)2=320+z2，

從而y2+2yz=320.

(2)

聯立式(1)和式(2)，解得y=8,z=16,故

AB=AE+BE=24．

點評“切線與經過切點的半徑垂直”這一性質可以將切線與直角聯系起來，將圓的問題與直角三角形聯系起來．切線的性質、勾股定理的應用和方程思想是本題的主要考查內容．

題型4四點共圓

四點共圓有3個性質：(1)共圓的4個點所連成同側共底的2個三角形的頂角相等；(2)圓內接四邊形的對角互補；(3)圓內接四邊形的外角等于內對角．這3個性質提供了圓中角之間的數量關系，為解決與角有關的計算或證明提供了條件．

例4設△ABC的外心、垂心分別為O,H,若點B,C,H,O共圓，則對于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數．

(2013年全國初中數學聯賽試題)

解分3種情況討論：

(1)如圖4，若△ABC為銳角三角形，則

∠BHC=180°-∠A,∠BOC=2∠A.

由∠BHC=∠BOC，得

180°-∠A=2∠A,

于是

∠A=60°.

圖4 圖5

(2)如圖5，若△ABC為鈍角三角形，則

①當∠A>90°時，∠BHC=180°-∠A，∠BOC=2(180°-∠A),由∠BHC+∠BOC=180°，得

3(180°-∠A)=180°，

于是

∠A=120°．

②當∠A<90°時，不妨設∠B>90°，則

∠BHC=∠A，∠BOC=2∠A.

由∠BHC+∠BOC=180°，得

3∠A=180°，

于是

∠A=60°．

(3)若△ABC為直角三角形,則

①當∠A=90°時，因為O為邊BC的中點，B,C,H,O不可能共圓，所以∠A不可能等于90°.

②當∠A<90°時，不妨設∠B=90°，此時點B與點H重合，于是總有B,C,H,O共圓，因此∠A可以是滿足0°<∠A<90°的所有角．

綜上可得，∠A所有可能取到的度數為所有銳角及120°．

點評分類討論是本例的重要思想方法，分類之后圖形中根據四點共圓得到角與角之間的數量關系是解決本題的基礎知識．

題型5三角形的內切圓

例5在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，過△ABC的內切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點D，E，則DE的長為______．

(2013年全國初中數學聯賽試題)

解如圖6，設△ABC的3條邊長為a，b，c，內切圓I的半徑為r，邊BC上的高為ha，則

從而

因為△ADE∽△ABC，所以

于是

點評本題主要通過三角形面積的不同計算方法推導出三角形高與內切圓半徑的關系，然后利用相似三角形的比例關系得到未知線段與已知線段之間的數量關系，從而求解．

圖6 圖7

題型6圓與圓的位置關系

2個圓的位置關系問題一般都是通過輔助線進行轉化．圓的基本性質、直線與圓的位置關系等知識在2個圓問題中的應用極為廣泛，相切2個圓經過切點的公共切線，相交2個圓的公共弦以及聯結2個圓心的直線是常用的輔助線．

例6如圖7，⊙O的直徑為AB，⊙O1過點O，且與⊙O內切于點B,C為⊙O上的點，OC與⊙O1交于點D，且OD>CD．點E在OD上，且DC=DE，BE的延長線與⊙O1交于點F，求證：△BOC∽△DO1F．

(2012年全國初中數學聯賽試題)

證明聯結BD.因為OB為⊙O1的直徑，所以∠ODB=90°.又因為DC=DE，所以△CBE是等腰三角形.

設BC與⊙O1交于點M，聯結OM，則∠OMB=90°．又OC=OB，從而

∠BOC= 2∠DOM=2∠DBC=

2∠DBF=∠DO1F,

而∠BOC,∠DO1F分別是等腰△BOC、等腰△DO1F的頂角，故△BOC∽△DO1F．

點評分別在2個圓中應用圓周角的性質、等腰三角形的性質，盡可能地將角的等量關系挖掘出來，為證明三角形相似提供足夠的條件．

題型7與圓有關的比例線段

圓中有關等積式、等比式及混合等式等問題主要與圓的相交弦定理、切割線定理以及三角形的相似等知識相關．這類問題難度較大，在中考中不常出現，但在數學競賽中仍作為常考內容出現．

例7如圖8，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D.證明：AD2=BD·CD．

(2012年全國初中數學聯賽試題)

證明聯結OA，OB，OC.因為OA⊥AP，AD⊥OP，所以由射影定理,得

PA2=PD·PO，AD2=PD·OD.

由切割線定理,得

PA2=PB·PC,

從而

PB·PC=PD·PO,

于是點D,B,C,O共圓.

由∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，得

△PBD∽△COD，

從而

故

AD2=PD·OD=BD·CD.

點評要證明乘積式，一般將乘積式轉化為比例式，然后將比例式中的4條線段組成相似三角形即可.如果線段不能組成三角形，就想辦法找等量關系，將其中的一條或幾條線段替換，再確定相似三角形．

圖8 圖9

題型8與圓有關的綜合題

圓作為初中數學的重要內容之一，在中考中也常常以綜合題的形式出現.這類問題一般以圓為問題背景，綜合了幾何和代數的大量知識點，融合了分類討論、數形結合、轉化化歸、方程函數等重要數學思想方法，全面考查學生分析問題、解決問題的能力．

(1)求∠COB的度數.

(2)求⊙O的半徑R.

(2012年浙江省杭州市數學中考試題)

解(1)因為AE切⊙O于點E，所以

AE⊥CE.

由OB⊥AT，得

∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，從而

△AEC∽△OBC.

因為∠A=30°，所以

∠COB=∠A=30°.

即

EC=AE·tan30°=3.

在△COB中，∠BOC=30°，即

從而

于是

又OC+EC=OM=R，得

整理得

R2+18R-115=0，

即

(R+23)(R-5)=0，

解得R=5或R=-23(舍去).故R=5.

圖10

(3)在EF的同一側，△COB經過平移、旋轉和相似變換后，2個頂點分別與點E,F重合的三角形有6個(如圖10所示).

如圖9，延長EO交圓O于點D，聯結DF.因為EF=5，直徑ED=10，所以∠FDE=30°，從而

則

點評本題綜合性較強，重點考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質、含30°直角三角形的性質、平移及旋轉的性質以及銳角三角函數定義．

與圓有關的競賽題或中考題題型豐富，本文只就幾類問題舉一些典型例子來說明如何有效利用圓的基本性質、直線與圓、圓與圓的關系及性質來充分挖掘問題條件與結論之間的關系，以達到解決問題的目的．