例說函數(shù)圖像的變換

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(余姚市實驗學校 浙江余姚 315400)

函數(shù)圖像的變換主要是指平移、翻折(軸對稱)、旋轉(zhuǎn)(含中心對稱)、伸縮等，這是研究函數(shù)性質(zhì)的重要手段和內(nèi)容，在高中階段的學習中有充分的探索與應(yīng)用．函數(shù)概念的抽象性決定了它是學生學習的難點，其廣泛性決定了它又是學習的重點，而圖像的直觀性可以降低理解的難度.數(shù)形結(jié)合，可以促進學生更好地理解與掌握函數(shù)的本質(zhì)．

本文通過剖析幾個以函數(shù)圖像變換為背景的例題，把散碎的知識、技能、思想、方法等進行列舉、歸納和提煉，在解決個案的基礎(chǔ)上，從整體上系統(tǒng)地把握函數(shù)圖像的變換，更加接近函數(shù)的本質(zhì)，也為高中進一步學習奠定良好的基礎(chǔ)．

例1定義{a,b,c}為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”．如：函數(shù)y=x2-2x+3的“特征數(shù)”是{1,-2,3}，函數(shù)y=2x+3的“特征數(shù)”是{0,2,3},函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0,-1,0}．

圖1

(2012年浙江省杭州市蕭山中學自主招生試題)

(3)二次函數(shù)為

即

綜上所述，實數(shù)b的取值范圍為

評注函數(shù)圖像的平移可以通過關(guān)鍵位置的點的平移來實現(xiàn)控制．根據(jù)“兩點確定一條直線”，只需2個對應(yīng)點的平移就可以求出平移后的直線解析式．實踐中，往往采用“平行直線斜率相同”的結(jié)論，選擇1個對應(yīng)點的平移，這個點常選在坐標軸上，比如本例中第(1)小題，從點A(0，1)到點B(0，-1)．若是拋物線，則根據(jù)二次項系數(shù)不變，抓住頂點的平移，求得平移后的拋物線解析式．

例2我們知道：將二次函數(shù)y=-3x2的圖像先向上平移1個單位，再向右平移2個單位，所得圖像的函數(shù)表達式為

y=-3(x-2)2+1.

將一次函數(shù)y=3x的圖像先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，所得圖像的函數(shù)表達式為

y=3(x+2)-1．

類比以上函數(shù)圖像的平移：

(2013年浙江省寧波市重點高中推薦生面試試題)

評注本例的設(shè)計意圖是將平移規(guī)律從熟悉的直線與拋物線的平移，類比到雙曲線的平移，從特殊點上升到一般點．通過觀察、類比,得到結(jié)論：函數(shù)圖像向上平移a(a>0)個單位長度時，常數(shù)項加上a;函數(shù)圖像向下平移a(a>0)個單位長度時，常數(shù)項減去a；函數(shù)圖像向左平移b(b>0)個單位長度時，自變量加上b;函數(shù)圖像向右平移b個單位長度時，自變量減去b．滲透著更一般的表達形式：把y=f(x)上下平移得y=f(x)+a(當a>0時向上平移，當a<0時向下平移)；把y=f(x)左右平移得y=f(x+b)(當b>0時向左平移，當b<0時向右平移)．

例3將二次函數(shù)y=-2(x-1)2-1的圖像先向右平移1個單位，再沿x軸翻折到第一象限，然后向右平移1個單位，再沿y軸翻折到第二象限，……，以此類推，如果把“向右平移一個單位，再沿一條坐標軸翻折一次”記作一次變換，那么二次函數(shù)y=-2(x-1)2-1的圖像經(jīng)過2 010次變換后得到的圖像的函數(shù)關(guān)系式為

( )

A．y=2(x+3)2+1 B．y=2(x-2)2+1

C．y=-2(x+2)2-1 D．y=-2(x-1)2-1

(2010年安徽省合肥一中自主招生試題)

分析平移和翻折不改變拋物線的形狀、大小，但關(guān)于x軸翻折時改變開口方向．開始時二次函數(shù)圖像的頂點為(1，-1)，第1次操作后頂點為(2，1)，其圖像解析式為

y=2(x-2)2+1；

第2次操作后頂點為(-3,1)，其圖像的解析式為

y=2(x+3)2+1；

第3次操作后頂點為(-2，-1)，其圖像的解析式為

y=-2(x+2)2-1；

第4次操作后頂點為(1，-1)，其圖像解析式為

y=-2(x-1)2-1.

回到了起點，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每4次一個循環(huán)變化，2 010=4×502+2，應(yīng)與第2次結(jié)果重合．故選A．

評注頂點是拋物線的要點，求拋物線的軸對稱圖形轉(zhuǎn)化成確定頂點的軸對稱點．拋物線y=a(x+m)2+k的頂點為(-m,k)，其關(guān)于x軸的對稱點為(-m，-k)，關(guān)于y軸的對稱點為(m,k)．因此它關(guān)于x軸的對稱拋物線為

y=-a(x+m)2-k；

關(guān)于y軸的對稱拋物線為

y=a(x-m)2+k．

更一般地，函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱的圖像的解析式為

y=-f(x)；

函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的圖像的解析式為

y=f(-x)．

例4若函數(shù)y=|x+1|+|x-a|的圖像關(guān)于直線x=1對稱，則a的值為

( )

A.3 B.2 C.1 D.-1

(2009年浙江省余姚中學自主招生試題)

分析設(shè)f(x)=|x+1|，g(x)=|x-a|，它們都可以由m(x)=|x|的圖像平移得到．因為y=f(x)+g(x)關(guān)于直線x=1對稱，所以f(x)與g(x)一定關(guān)于直線x=1對稱，關(guān)鍵點(-1，0)與(a，0)關(guān)于直線x=1對稱，因此a=3.故選A．

評注函數(shù)圖像關(guān)于直線x=m對稱，同樣可以利用特殊點的對稱來處理．當然也可以運用以下結(jié)論：若f(x)=f(2m-x)或f(m+x)=f(m-x)，則f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱．特別地，當m=0時，圖像關(guān)于y軸對稱．

(2012年江蘇省海門中學自主招生試題)

圖2

分析如圖2，先求得點A(6，0)，B(0，8)，C(-4，0)，再求得點D(0，3)，因此CD的解析式為

點D坐標的求法列舉如下：

方法1由AD平分∠BAO得

從而

方法2設(shè)OD=m，則

CD=BD=8-m，

由勾股定理得OC2+OD2=DC2，

解得

m=3.

其實，還可以這樣求得CD的解析式：由∠DCO=∠ABO可得2條直線的斜率互為負倒數(shù)，再把點C(-4，0)代入即可．

評注函數(shù)圖像關(guān)于斜直線對稱，運算量要增加很多，針對題設(shè)，尋找關(guān)鍵點，核心在于充分利用軸對稱的對應(yīng)相等關(guān)系，求出對稱點的坐標，從而確定新圖像的解析式．如果是關(guān)于直線y=x或y=-x對稱，可參考如下結(jié)論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的圖像的解析式為y=f-1(x)，函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=-x對稱的圖像的解析式為y=-f-1(-x)．

例6點P為拋物線y=x2-2mx+m2(m為常數(shù)，m>0)上任意一點，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的新圖像與y軸交于點A,B(點A在點B的上方)，點Q為點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點．

(1)當m=2，點P的橫坐標為4時，求點Q的坐標；

(2)設(shè)點Q(a，b)，用含m，b的代數(shù)式表示a；

(3)如圖3，點Q在第一象限內(nèi)，點D在x軸的正半軸上，點C為OD的中點，QO平分∠AQC，AQ=2QC，當QD=m時，求m的值．

(2011年云南省玉溪市數(shù)學中考模擬試題)

圖3 圖4

分析(1)如圖4，作PE⊥x軸于點E，QF⊥x軸于點F，聯(lián)結(jié)GP，GQ，易證△PEG≌△GFQ，從而FQ=GE=2，F(xiàn)G=PE=4，故點Q(-2，2).

(2)類比第(1)小題的解法，得P(m+b,m-a)，代入原拋物線的解析式y(tǒng)=x2-2mx+m2，得a=m-b2.

圖5

(3)如圖5，延長QC至點E，使CE=QC，易證△OCE≌△DCQ，△AQO≌△EQO，得

AO=OE=QD=m.

把A(0，m)代入第(2)小題的結(jié)論a=m-b2，得0=m-m2，故m=1或m=0(不合題意，舍去)．

評注從第(1)小題的特殊值到第(2)小題的一般式，再到第(3)小題的應(yīng)用，較好地體現(xiàn)了核心數(shù)學思想．對大多數(shù)學生來說本題難度較大，教學中應(yīng)指導學生抓住旋轉(zhuǎn)中的相對不變量，利用全等三角形對應(yīng)線段相等，建立對應(yīng)點坐標的聯(lián)系．對于學有余力的學生，不妨引導他們嘗試平移縱坐標，使點O與點G重合．

例7已知拋物線l1：y1=ax2+x+m，拋物線l2：y2=(a+1)x2+x+n，且l1與l2互相經(jīng)過對方的頂點，則a的值為______.

(2014年“希望杯”全國數(shù)學邀請賽九年級試題)

分析設(shè)l1，l2的頂點分別為(p,q)，(s,t)，分別代入直線l1，l2得

y1=a(x-p)2+q，

y2=(a+1)(x-s)2+t，

從而

t=a(s-p)2+q,

q=(a+1)(p-s)2+t.

2個式子相加，得

(a+a+1)(s-p)2=0，

評注通過對特殊點(2個頂點)與函數(shù)解析式的代數(shù)運算，求得l1與l2是關(guān)于某點成中心對稱的(對稱中心是它們頂點連線段的中點)，從數(shù)的視角推理形的存在．

綜合上述各例解析可知：函數(shù)圖像的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)常常通過研究特殊點的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，來把握其變換規(guī)律，計算結(jié)果．作為優(yōu)秀的學習者，可以在這個探索過程中做個有心人，結(jié)合圖形直觀與代數(shù)計算，努力從對特殊點的考察升級到對一般點的研究，逐步上升到對規(guī)律性進行概括的高度．并能在實踐中靈活運用，成為體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的主戰(zhàn)場．