冷連軋機厚控系統的PI型廣義預測控制

梁秀霞 王 萌 張 強 趙羽佳 李金松

(河北工業大學控制科學與工程學院，天津 300130)

冷軋帶鋼生產過程中，自動厚度控制系統對成品帶鋼的質量有很大影響。厚度控制的目的就是通過調節輥縫、張力及電機速度等參數，消除軋制過程中影響厚度精度的因素[1]，提高厚度控制精度，滿足工業生產需求。

目前，冷連軋自動厚度控制系統一般采用解耦控制，即PID控制外加各種補償。但是冷軋機自動厚度控制系統的強耦合、非線性及大延時等特性，使得傳統的PID控制不能取得很好的控制效果。廣義預測控制(Generalized Predictive Control，GPC)是由Clarke等人于1984年提出的，是基于自適應的研究發展而來的，GPC在廣義最小方差控制的基礎上，引入了多步預測和滾動優化的思想，使其對有擾動、有噪聲和時延大的系統有很好的控制效果。具有PID結構的廣義預測控制器，通過將GPC的目標函數改成PID型，就可以利用PID反饋信息改善系統性能，但PID型GPC計算量很大，因而筆者將引入簡化的PI型GPC，以減少計算量；同時利用GPC預測信息抑制超調，提高系統穩定性。結合兩者的優點，得到PI型廣義預測算法(PIGPC)。

1 PIGPC控制器①

1.1 PIGPC控制原理

PIGPC借助智能控制策略改善傳統PI控制的性能，又能對GPC控制的不可控超調起到抑制作用。GPC可以在模型反饋信息的基礎上多步預測、滾動優化，這使得該控制策略對建模誤差及環境干擾等不確定性影響有很強的適應能力。PIGPC結構如圖1所示。

圖1 PIGPC結構框圖

1.2 GPC控制器模型

基于廣義預測受控自回歸積分滑動平均模型(CARIMA)構建的冷軋帶鋼厚度系統模型為：

A(z-1)y(t)=z-dB(z-1)u(t-1)+C(z-1)ξ(t)/Δ

A(Z-1)=1+a1z-1+…+anz-na

B(Z-1)=b0+b1z-1+…+bnz-nb

C(Z-1)=1+c1z-1+…+cnz-nc

Δ=1-z-1，為差分算子；y(t)、u(t)和ξ(t)分別為系統的輸出量、輸入量和正態白噪聲干擾，d為延時步長。{ai}、{bi}和{ci}分別為多項式A、B和C的系數，na、nb和nc對應其階次。

標準廣義預測控制的目標函數為：

其中，E為數學期望；N表示預測時域；M表示控制時域；λ(j)為輸出預測誤差與控制加權系數，通常為簡化計算設其為常數λ[2]，λ>0，1≤M≤N，當j=M+1,M+2，…,N時，Δu(t+j-1)=0;{w(t)}為設定值參考序列，其數值可由下式計算：

式中yr(t)——t時刻的設定值；

η——柔化因子，0≤η<1。

1.3 PIGPC控制器

設誤差序列e(t+j)=w(t+j)-y(t+j)，在廣義預測控制的目標函數中加入PI參數可得：

(1)

其中e(t)=Δe(t)=0，KP為比例項系數，KI為積分項系數。

對其進行計算推導后[3，4]，式(1)可表示為：

J(t)=E(KPΔeTΔe+KIeTe+λΔUTΔU)

ΔU(t)=[Δu(t),Δu(t+1),…,Δu(t+N-1)]T

(2)

將J對未知控制增量矢量ΔU求導，并令?J/?u=0，可得控制規律為：

(3)

當采用即時PIGPC控制策略時，可取KP和KI的首行得到：

(4)

kP=[1,0,…,0]KP,KI=[1,0,…,0]KI

1.4 簡化的PIGPC控制器

PIGPC控制相較PID計算量有所減少，但計算量仍是不可忽略的因素。這里使用簡化的PIGPC控制，并使用柔化系統輸入，避免矩陣逆運算，以大幅減少計算量。

PIGPC控制的積分部分是與傳統GPC控制中的預測輸出和實際輸出的差值相對應的，比例環節和積分環節的引入可以使響應曲線更加平滑，基于此，將式(1)簡化為：

(5)

將其改成矩陣形式，可表示為：

J(t)=KpΔeTΔe+KIeTe+λΔUTΔU

(6)

e=yr-f-GiΔU(t)

Δe=Δyr-Δf-GpΔU(t)

e=[e(t+d+1),e(t+d+2),…,e(t+d+N)]

Δe=Δe(t+d+2)=e(t+d+2)-c(t+d+1)

yr=[yr(t+d+1),yr(t+d+2),…,yr(t+N)]

Δyr=Δyr(t+d+2)

f=[f(t+d+1),f(t+d+2),…,f(t+N)]

為了進一步減少計算量，提高整個算法的實時性，引進柔化系統輸入的階梯型算法[5]：

ΔU(t)=LΔu(t)

(7)

將式(7)代入式(6)并對二次型指標求最小值，可得：

(8)

由式(8)可以看出，當前最優控制增量中不包含矩陣的求逆運算，同時比例環節只使用了單步的值，這就減少了計算量，提高了控制的實時性。

2 冷連軋機厚控系統數學模型

冷連軋機采用的是外環為厚度控制、內環為輥縫控制的雙閉環控制方式。自動厚度控制系統(Automatic Gauge Control，AGC)的執行系統為自動位置控制系統(Automatic Position Control，APC)，是AGC系統的內環，APC系統由位移傳感器測量液壓缸位移量或測量軋輥輥縫的位移量構成反饋閉環控制。APC主要由伺服閥、液壓缸和伺服放大器組成。對其進行設計并且調整其參數，可以整定成一個二階振蕩環節[6]：

(9)

從軋機工作輥縫Gf(s)到冷連軋帶鋼出口的厚度h(s)為厚控系統的外環部分，其傳遞函數可以近似表示為：

(10)

其中，TI為慣性時間常數；系數K0隨軋制道次、軋制帶材的塑性剛度、種類及來料厚度等因素的變化而變化，在薄帶鋼軋制過程中，K0一般取值在0.9～2.0之間；τ為測厚儀檢測滯后時間常數，τ=L/v，L為測厚儀到軋機中心線的距離,v為帶鋼軋制速度。

3 仿真分析

為了檢驗簡化PIGPC的控制效果，選用傳統PI控制、GPC控制和簡化PIGPC控制，通過仿真圖形對比，驗證新的控制策略在冷連軋厚度控制系統中的控制效果。將某鋼廠1 450mm冷連軋機厚度控制系統的參數ξ=0.9、ωn=28.8rad/s、TI=0.25、K0=1.2、τ=0.6s代入式(9)、(10)，得到該系統的傳遞函數：

(11)

對于該系統的PI控制仿真采用的是Matlab的Simulink工具箱，直接調用相關功能塊即可實現(圖2)。由于Simulink中沒有廣義預測控制相關的功能塊，所以PIGPC的仿真是以M文件的形式實現的。

圖2 PI控制系統仿真模型

在PID模塊中設置參數：P=0.5，I=0.8，按圖2模型仿真得到如圖3所示的曲線。

圖3 PID控制仿真結果

可以看出，傳統的PI控制超調較大，調節時間長，控制效果不盡如人意。PIGPC需要設定的參數比較多，有KP、KI、λ、η、β、N及M等，KP和KI增大，系統動態性能提高，響應速度加快，但會加劇超調，穩定性下降；N增大，提高了系統的穩定性和魯棒性，但響應速度變慢；M增大，改善了跟蹤性能，提高了控制靈敏度，但穩定性和魯棒性降低；λ的作用是限制控制增量的劇烈變化，λ越大，限制作用越明顯；η增大，跟蹤速度變慢，超調量減小。為了達到令人滿意的控制效果，需要平衡各參數間的關系，為突出相同條件下的不同控制效果，參數設為：N=10、M=3、λ=0.3、η=0.2、KP=1.8、KI=0.8、β=0.5，所得GPC控制仿真曲線如圖4所示，可以看出，GPC難以抑制系統超調，仿真時間為0.604s。

圖4 GPC控制仿真結果

相同參數下，PIGPC的控制曲線如圖5所示。由仿真曲線可以看出，PIGPC能很好地抑制系統超調，但計算量較大，仿真時間為0.749s。

圖5 PIGPC控制仿真結果

相同參數下，簡化PIGPC控制曲線如圖6所示，由仿真曲線可以看出，簡化PIGPC能很好地抑制系統超調，計算量減小，仿真時間僅為0.652s。

圖6 簡化PIGPC控制仿真結果

對比仿真圖像可以看出，簡化PIGPC控制方式相比傳統PID控制，能提高系統穩定，具有更好的跟蹤性能和更高的控制精度；相比GPC控制，能較好地抑制超調，改善控制品質，計算量增加不大，實時性較高，適合在工業現場使用，使得冷軋帶鋼具有更高的厚度精度。

4 結束語

基于廣義預測控制理論，與經典PI控制相結合，設計了用于冷連軋機厚控系統的簡化PIGPC控制策略，充分地利用了GPC的預測信息調節了控制量。通過仿真結果的對比可以看出：簡化PIGPC能很好地抑制超調，具有更好的動態性能和跟蹤速度快，其控制精度有所提高。