初中數學教學的思想方法淺議

劉中樹

摘要：數學思想方法是數學的精髓，在初中數學新課程標準中已把它列入基礎知識的范疇.數學思想方法是學生獲取知識、解決問題、建立合理而又迅速的思維結構的有效工具，是把數學知識、技能轉化為數學能力的紐帶.突出數學思想方法教學，是當代數學教育的必然要求也是數學素質教育的重要體現。

關鍵詞：數學思想；數形結合；圖形變換；分類討論；數學建模；化歸思想；數學方法

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）19-0138-03

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識.數學思想是數學的靈魂，是數學知識在更高層次上的抽象和概括，在數學教學中應對數學思想進行有效的滲透；數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題.通常混稱為“數學思想方法”.常見的數學四大思想為：數形結合、轉化與化歸、分類討論、函數與方程.數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的；一是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的.在數學教學中，由數助形、以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關系，引發聯想，迅速找到解決問題的方法.抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力.

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題.歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.轉化有等價轉化與非等價轉化.等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果.非等價轉化其過程是充分或必要的，我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確.要對結論進行等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性.在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行.它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恒等變形.消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化.可以說，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變.由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型.化歸思想是解決數學問題的一種重要思想方法.化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解.實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等.這是運用化歸思想解題的真諦.隨著問題的解決，認知的不斷拓展，促進了知識的正遷……分類討論是一種重要的數學思想，在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在中考、高考試題中占有重要的位置.解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論.函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型.笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……不等式問題也與方程是近親，密切相關.列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的.函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究.它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點.在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵.對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題.數學建模思想方法作為數學的一種基本方法，滲透在初中數學教材的各種知識板塊當中，在方程、不等式、函數和三角函數等內容篇章中呈現更為突出，學生學習掌握這種思想方法是完成學習任務和繼續深造學習必備的基本能力.此外，新課標強調，數學教育要重視學生應用數學知識解決實際問題能力的培養，而這種能力的核心就是掌握數學建模思想方法，但是實際情況是，普遍學生對應用數學知識解決實際問題都感到困難，他們的難中之難是如何將實際問題抽象成數學問題，因此，培養學生數學建模能力是提高學生分析解決實際問題能力的根本途徑.同時，數學建模思想方法蘊含著多種數學思維，是多種數學方法的綜合.數學建模過程是思維訓練過程，也是觀察、抽象、歸納、作圖、數學符號表達等多種能力訓練和加強的過程.數學中的建模思想是解決數學實際問題用得最多的思想方法之一，所謂的建模思想就是找到一種解決問題的數學方法.初中數學中常用的數學模型有：方程模型、函數模型、幾何模型、三角模型、不等式模型和統計模型等等.所謂思想方法，就是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，證明為正確、可以反復被應用到新的思維活動中，并產生出新的結果.或者說思想方法就是那些顛撲不破思維產物.所謂數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論（概念、定理、公式、法則等）的本質認識.數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐—認識—再實踐的認識路線.但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式.由此產生數學認識論的特有問題.認識論是研究認識的本質以及認識發生、發展一般規律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關系、認識的真理性等問題.數學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐—認識—再實踐這一辯證唯物論的認識路線.事實上，數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的.最古老的算術和幾何學產生于日常生活、生產中的計數和測量，這已是不爭的歷史事實.數學家應用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數學問題積累到一定程度后，便形成數學研究的新問題（對象）類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經驗知識.這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經驗知識后，就標志著一門新的數學分支學科的產生，例如，17世紀的微積分.由此可見，數學知識是通過實踐而獲得的，表現為一種經驗知識的積累.這時的數學經驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾.因此，它需要經過去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統的理論知識.數學知識由經驗知識形態上升為理論形態后，數學家又把它應用于實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，并且加以完善和發展.同時，社會實踐的發展，又會提出新的數學問題，迫使數學家創造新的方法和思想，產生新的數學經驗知識，即新的數學分支學科.由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體—理性抽象—理性具體的辯證認識過程.這就是數學認識的一般性.

科學的區分在于研究對象的特殊性.數學研究對象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規定性，而不研究事物的質的規定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律.所以數學對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性.這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統.因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法.同時，作為對數學經驗知識概括的公理系統，是否正確地反映經驗知識呢？數學家解決這個問題與自然科學家不盡相同.特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性.為此，數學家進一步把公理系統抽象為形式系統.因此，演繹法是數學認識特殊性的表現.endprint