基于L1范數變分模型的高密度椒鹽噪聲濾波

王益艷

(四川文理學院物理與機電工程學院，四川達州635000)

基于L1范數變分模型的高密度椒鹽噪聲濾波

王益艷

(四川文理學院物理與機電工程學院，四川達州635000)

針對現有圖像濾波算法在去除高密度椒鹽噪聲方面的不足，提出了一種基于L1范數變分模型的去噪算法.該算法首先根據椒鹽噪聲的特點和像素的局部灰度特征分離出噪聲點和信號點，在濾波過程中，對信號點不予處理，而對噪聲點采用基于L1范數的變分模型進行恢復.由于椒鹽噪聲的灰度值與原始像素無關，因此，去噪時只利用噪聲點鄰域內信號點本身的灰度信息，并將已處理過的噪聲點當作新的信號點，以避免對下一像素濾波時的影響.最后通過仿真實驗，結果表明，在高密度噪聲條件下(>50%)，該算法的噪聲去除能力和細節保護能力均可獲得令人滿意的結果.

圖像去噪；椒鹽噪聲；噪聲檢測；L1范數；變分模型

0 引言

圖像去噪一直是圖像處理領域的熱點研究課題，其挑戰在于去除噪聲的同時要求有效保護圖像的邊緣細節.椒鹽噪聲是最常見的一種噪聲，它通常表現為圖像鄰域的灰度極值，且噪聲像素的灰度值與相鄰的未污染像素的灰度值無關.對椒鹽噪聲的去除常采用中值濾波方法，但傳統中值濾波受濾波窗口的影響，在細節保護與噪聲去除方面無法同時兼顧，當噪聲密度大于50%，噪聲會濾除不干凈.[1]后來，人們提出了一些新的改進算法，如Hwang 等人提出了自適應中值濾波器，[2]Wang等人提出了遞歸開關中值濾波算法，[3]Eng等人提出了自適應軟開關中值濾波算法，[4]國內刑藏菊等人提出了基于極值中值的濾波算法.[5]上述方法的主要思想是先通過檢測方法對噪聲點標記，然后只對標記的噪聲點進行去噪處理.由于該類方法對非噪聲點信息予以了保留，其濾波性能得到大大改善.但在高密度(>50%)噪聲情況下，中值濾波算法所依賴的原始信息受到了極大的干擾和破壞，導致濾波后圖像比較模糊.近年來，部分學者借鑒變分偏微分方法在去噪后對圖像細節保持較好優點的基礎上，提出了各種針對椒鹽噪聲的變分正則迭代濾波算法，[6-8]但這些方法在對代價函數最小化的過程中需要求解非線性方程，計算量通常都比較大，同時，在去噪時讓噪聲點參與了濾波，這對于大量噪聲點匯集在一起的區域范圍濾除效果不好.[8]基于此，本文提出了一種基于L1范數變分模型的改進算法.首先采用自適應中值方法對噪聲進行第一次檢測，確定候選噪聲點，然后再根據估計的噪聲大小，看是否需要利用像素的局部鄰域信息對噪聲點進行二次判斷，以提高噪聲檢測精度.在濾波過程中，采用基于L1范數變分模型對噪聲點進行恢復，而對信號點予以保留.同時，對變分模型中的數據保真項進行了改進，去噪時不再重復使用噪聲點的灰度信息，并將已處理過的噪聲點當作新的信號點，以避免對下一像素濾波產生影響.最后通過大量仿真實驗證明了本文算法的有效性，實驗對比結果表明，在噪聲密度較高的情況下，其性能指標優于其它幾種改進的中值濾波算法.

1 本文算法

1.1L1范數變分去噪模型

首先，給出椒鹽噪聲的理論模型，其表達式如下[1]：

(1)

上式中，xi,j為真實圖像，yi,j為加噪后的圖像，噪聲密度p∈[0,1].下圖1給出了一幅常值圖像添加噪聲后的實驗結果，從其直方圖可以明顯看出，椒鹽噪聲表現出灰度極值性.

(a)常值圖像 (b)噪聲圖像 (c)圖(a)的直方圖 (d)圖(b)的直方圖

圖1 對常值圖像添加椒鹽噪聲(50%)實驗結果

近年來，基于變分偏微分方程方法在圖像處理領域得到了廣泛應用.這類方法將去噪問題建模為對圖像的能量泛函最小化，其表達式如下：

(2)

(3)

1.2 噪聲檢測

設矩陣uM1M2表示大小為M1×M2的待檢測的噪聲灰度圖像，用A表示里面全部像素的集合，A={(i,j)|1iM1,1jM2;M1,M2∈Z+}.ΨM1M2為噪聲標識矩陣，其元素用 “1”和“0”表示.

(1)第一次噪聲檢測：

(4)

按下式估計圖像的噪聲密度τ：

(5)

若τ超過某給定閾值τ0，則將候選噪聲點視為真正噪聲點；否則，對其進行二次檢測.

(2)第二次噪聲檢測

對所有滿足Ψi,j=1的候選噪聲點，定義窗口w×w內所有信號點的均值為：

(6)

其中，W表示窗口w×w內所有信號點的個數，u(i+r,j+r)表示窗口內的信號點.

(7)

本文對T采用窗口w×w內所有信號點的均方差進行定義：

(8)

1.3 噪聲恢復

噪聲檢測結束后，設噪聲點集合滿足如下定義：

(9)

未受污染的信號點像素集合為N0=AN.對信號點保留灰度值不變，而對噪聲點則采用式(3)的L1范數變分模型進行恢復.根據椒鹽噪聲的特點可知，[1]噪聲點的灰度值與相鄰的未污染像素的灰度值無關，為避免噪聲點對恢復結果的影響，本文對式(3)中的數據保真項作如下改進：

(10)

上式中，λ0滿足：

(11)

對式(10)根據梯度下降原理和時間步進法進行數值化，其迭代形式為：

(12)

其中η為圖像的梯度方向，ξ為與η垂直的切線方向，uξξ和uηη分別表示u在ξ和η方向上的二階導數，δt為時間步長.由于在實際計算過程中，我們只需要對N中的像素點進行操作，所以，式(12)可簡化為：

(13)

(14)

采取鏡像對稱的方法對邊界像素點進行擴展處理.具體實現過程如下：u0,j=u1,j，uK+1,j=uK,j，ui,0=ui,1，ui,L+1=ui,L.

2 實驗結果與分析

(15)

為了驗證本文算法的有效性，我們進行了大量仿真實驗.實驗參數ζ取10-6，噪聲閾值τ0取0.4，時間步長δt取0.02，提升參數ε取0.001.對測試圖像“peppers”添加密度大小為70%的椒鹽噪聲，分別采用傳統中值濾波(TM)、AM[2]、PSM[3]、SM[4]、EM[5]和本文算法對其進行處理，以峰值信噪比(PSNR)作為濾波性能的客觀評價指標，實驗結果如圖2所示.圖3為不同噪聲條件下，各種濾波算法恢復的peppers圖像的PSNR值對比結果.

(a)原始圖像 (b)噪聲圖像 (c)TM算法 (d)AM算法[2]

(e)PSM算法[3](f)SM算法[4](g) EM算法[5](h)本文算法

圖2 在高密度噪聲(70%)條件下，各濾波算法恢復的peppers圖像效果比較

圖3 不同噪聲條件下，各濾波算法恢復的peppers圖像的PSNR值對比結果

從上述實驗結果可以看出，本文算法不論濾波視覺效果還是評價指標參數都明顯優于其它幾種濾波算法.在圖像被高密度噪聲污染的情況下，該方法都能有效濾除噪聲，并較好保護圖像的細節，而其它幾種算法濾除噪聲不徹底.并且本文算法對應的PSNR值在不同噪聲密度的情況下變化比較平穩，因此，與其它算法相比，本文算法還具有對噪聲的魯棒性更強的優點.

3 結束語

本文借鑒變分方法的思想，提出了一種針對椒鹽噪聲的L1范數變分濾波算法.該算法通過研究椒鹽噪聲的特點，設計了一種二次噪聲檢測方法，以提高噪聲檢測的準確度.在噪聲恢復過程中，充分考慮了圖像整體和局部信息，對噪聲點采用了基于邊緣保持和正則化的L1范數變分方法進行處理，而對信號點則保留其灰度值不變.同時去噪時只利用噪聲點鄰域內信號點本身的灰度信息，并將已處理過的噪聲點當作新的信號點，以避免對下一像素濾波產生影響；另一方面通過采用變分方法，在有效濾除噪聲的同時能更好的保護圖像細節.實驗結果表明，在高密度噪聲條件下(>50%)，該算法的噪聲去除和細節保護能力均可獲得令人滿意的結果.與傳統中值濾波及其它改進中值濾波算法相比，無論是主觀視覺效果還是峰值信噪比方面，該算法都明顯更優.

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[4] Eng H L, Ma K K.Noiseadaptivesoft-switchingmedianfilter[J]. IEEE Trans Image Process, 2001(2): 242-251.

[5] 刑藏菊，王守覺，鄧浩江，等．一種基于極值中值的濾波算法[J]．中國圖象圖形學報，2001(6)：533-536．

[6] CHAN R H, HO C-W and NIKOLOVA M.Salt-and-peppernoiseremovalbymedian-typenoisedetectorsanddetail-preservingregularization[J]. IEEE Trans Image Processing, 2005(3): 1470-1485.

[7] WANG Chao, YE Zhong-fu.Salt-and-peppernoiseremovalbyadaptivemedianfilterandTVinpainting[J]. Journal Of university of science and technology ofChina, 2008(3): 282-287.

[8] 王 暄，畢秀麗，馬建峰．基于二次噪聲檢測和細節保護規則函數的圖像濾波算法[J]．電子學報，2008(2)：381-385．

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[10]邵文澤，韋志輝．一種非線性數字濾波器的統一設計框架及其性能分析[J]．計算機學報，2007(1)：91-102．

[11]S. H. Lee, J.K. Seo.NoiseremovalwithGausscurvature-drivendiffusion[J]. IEEE Transaction on Image Processing, 2005(7)：904-909.

[責任編輯 鄧 杰]

Image Filtering Algorithm for High Density Salt-and-Pepper Noise Based on L1 Norm Variational Model

WANG Yi-yan

(Physics and Electronic Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

The major drawback of recent image filtering algorithms is lack of the ability of removing high density salt-and-pepper noise. To alleviate this limitation, a new denoising algorithm based on L1 norm variational model was proposed. Firstly, according to the characteristics of salt-and-pepper noise and local grayscale feature of pixels, this algorithm separates noise points and signal points. The signal points were not treated during the filtering process, while the noise points were recovered by theL1 norm variational model. We do not use the grayscale information of noise point itself to remove noise because the gray value of salt-and-pepper noise is not related to the original pixel. Meanwhile by transforming the noise points into signal points we could avoid the noise spreading in the neighborhood. The experimental results show that the proposed algorithm has the ability of removing noises and preserving the partial details of images in comparison with some recent methods when the noise density is very high (>50%).

image denoising; salt-and-pepper noise; noise detection; L1 norm; variational model

2013-11-13

王益艷(1982—)，男，湖北咸寧人.講師，碩士，主要從事信號與圖像處理研究.

O59

A

1674-5248(2014)02-0046-04