對(duì)簡易方程典型錯(cuò)例的思考與實(shí)踐

陳關(guān)雄

簡易方程與學(xué)生初次會(huì)面是在五年級(jí)上學(xué)期，是學(xué)生第一次較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)有關(guān)代數(shù)的初步知識(shí)。方程概念的引進(jìn)讓學(xué)生的思考方式從算術(shù)思想轉(zhuǎn)變到代數(shù)思想，并出現(xiàn)了諸多的不適應(yīng)，出現(xiàn)的錯(cuò)誤也比較多。本文試圖借助《簡易方程》教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)例，談?wù)剬?duì)學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤診治的一些探索與實(shí)踐。

一、 發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤：引起關(guān)注

為了便于敘述，筆者將從知識(shí)學(xué)習(xí)的三個(gè)分類（層次）作闡述。

1.陳述性知識(shí)錯(cuò)誤

陳述性知識(shí)也叫說明性知識(shí)，在簡易方程單元中含有不少陳述性質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如方程的概念、等式的性質(zhì)等。

典型錯(cuò)題1：按要求將下面式子的編號(hào)填入對(duì)應(yīng)的集合圈里。

① 2x+8=20 ②2x+8 ③2x+8<20

④2×6-8=4 ⑤20>2x+8 ⑥ 2（x+8）=20

⑦5x-6=4 ⑧6÷x=12 ⑨x+x+x=12

方程 等式 既不是方程也不是等式

錯(cuò)解：

第一種：①②⑥⑦⑧⑨ ①②④⑥⑦⑧⑨ ②⑤

第二種：①⑥⑦⑧⑨ ④ ②③⑤ （此種錯(cuò)誤人數(shù)最多）

第三種：①⑥⑦⑧⑨ ①④ ②③⑤

第四種：①⑥⑦⑧⑨ ①⑥⑦⑧⑨ ②③④⑤

第一次教學(xué)方程概念時(shí)呈現(xiàn)的習(xí)題，在課堂中已經(jīng)討論、對(duì)比過方程與等式的關(guān)系：方程一定是等式，等式不一定是方程。

2.程序性知識(shí)錯(cuò)誤

程序性知識(shí)是指怎樣進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)的知識(shí)，在簡易方程中解設(shè)未知數(shù)、按題意列方程、解方程、答結(jié)果這一系列的操作行為就是屬于上述范疇。

典型錯(cuò)題2：3年前父親的歲數(shù)是兒子的7倍，今年父親38歲。兒子今年幾歲？（用方程解答）

錯(cuò) 解：

本題是學(xué)生學(xué)習(xí)了簡易方程這一單元后作業(yè)本上出現(xiàn)的星號(hào)題。內(nèi)容涉及年齡的問題，屬于與生活密切相關(guān)的實(shí)際問題。

3.策略性知識(shí)錯(cuò)誤

策略性知識(shí)是關(guān)于如何學(xué)習(xí)和如何思維的知識(shí)，它往往與問題解決融合在一起。

典型錯(cuò)題3：一個(gè)長為12厘米的長方形面積比邊長是12厘米的正方形面積少36平方厘米，這個(gè)長方形的寬是多少厘米？

錯(cuò) 解：

解：設(shè)長方形的寬是x厘米。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了解簡易方程的基本方法，此題是憑借方程算法，根據(jù)問題情境，運(yùn)用順向思維利用圖形面積以及大小關(guān)系，求長方形的寬。

二、 錯(cuò)因探究：追蹤溯源

錯(cuò)誤是師生交流信息的一個(gè)“窗口”，是教學(xué)的一面“鏡子”。成功運(yùn)用學(xué)生的錯(cuò)誤，需要教師善于觀察、善于診斷，關(guān)注學(xué)生錯(cuò)誤背后的故事，積聚智慧做學(xué)生典型錯(cuò)誤的剖析者。

1.“思維定勢(shì)”惹的禍

思維定勢(shì)有時(shí)是一種熟練的表現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生的習(xí)慣思路和眼前要解決的具體問題不一致時(shí)，習(xí)慣性思維“戰(zhàn)勝”了理性思考，結(jié)果就帶來了錯(cuò)誤。例如典型錯(cuò)題1中，認(rèn)為等式只有④這項(xiàng)的同學(xué)最多，占了62.4%。學(xué)生接觸了4年多的純數(shù)字等式，受到之前學(xué)習(xí)中司空見慣的數(shù)字化等式的影響，思考時(shí)總偏向于這類式子的判斷，而忽視新學(xué)的含有字母的等式。這種習(xí)慣思維導(dǎo)致學(xué)生漏掉方程是等式也就不足為奇了。

2.“形式假設(shè)”惹的禍

在教材編排中，用方程解決問題，都是先假設(shè)，然后再列出等量關(guān)系式進(jìn)行解答。這樣的安排無論從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)還是從教材的邏輯起點(diǎn)來說都是合理的。但是這一呈現(xiàn)形式帶來的負(fù)面影響也是不容忽視的：容易導(dǎo)致學(xué)生不論碰到什么問題，直接把問題中的未知數(shù)設(shè)為x，不進(jìn)行深入的思考。如典型錯(cuò)題2中，學(xué)生都不約而同地設(shè)兒子今年為x歲，當(dāng)列出方程7x=38-3后再計(jì)算5+3=8。這樣的解題思路完全和解設(shè)不統(tǒng)一。學(xué)生解題時(shí)往往看到問就下筆抄寫，然后把“多少”等疑問詞換成x后就萬事大吉，把未知數(shù)x表達(dá)的意義拋諸腦后。解設(shè)成為擺設(shè)，這種張冠李戴的現(xiàn)象比比皆是，不得不引起一線教師的關(guān)注。

3.“尷尬編排”惹的禍

新教材較好地解決了關(guān)于方程教學(xué)的中小學(xué)銜接問題，促進(jìn)了學(xué)生由算術(shù)思維向代數(shù)思維方式的轉(zhuǎn)變。等式的性質(zhì)更有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。為了便于說明等式的基本性質(zhì)，又兼顧學(xué)生的思維水平，教材回避了a-x=b和a÷x=b二種方程。作為教材的編寫者在編寫解方程題目時(shí)可以有意避開這幾種特殊情況，但是在列方程解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生列出的方程卻不可避免地會(huì)出現(xiàn)這幾種特殊情況。如典型錯(cuò)題3中，學(xué)生找到最基本的等量關(guān)系——正方形面積-長方形面積=相差面積，根據(jù)相等關(guān)系，得到12×12-12x=36這樣較復(fù)雜的方程。學(xué)生不明白在減數(shù)或除數(shù)中出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)如何解答，只好生搬硬套地運(yùn)用已學(xué)解法，結(jié)果當(dāng)然是錯(cuò)誤的。

三、 跟蹤糾錯(cuò)：柳暗花明

面對(duì)學(xué)生形形色色的錯(cuò)誤，教師是望“錯(cuò)”興嘆，袖手旁觀？還是乘風(fēng)破浪直面出擊？教師可以有何作為？筆者以為可以從以下幾個(gè)方面入手：

1.加強(qiáng)概念的建構(gòu)性理解

學(xué)生在獲取概念時(shí)容易出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”或孤立認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象。因此，教師在教學(xué)時(shí)既要重視學(xué)生有意義地獲取概念，又要引導(dǎo)學(xué)生去偽存真抓本質(zhì)。如典型錯(cuò)題1中多數(shù)學(xué)生還是以經(jīng)驗(yàn)為思考方法，“慣性”使然導(dǎo)致錯(cuò)誤。如何改變這樣的現(xiàn)狀？教師可在課堂中采取一些針對(duì)性的教學(xué)策略。例如教師通過設(shè)問——你知道為什么取名等式嗎？什么是等式？從而引起學(xué)生注意。最后在提煉方程的意義時(shí)讓學(xué)生橫向比較等式20+X=50、20+X=100與等式20+30=50有什么不同，在對(duì)比中讓學(xué)生深入透徹理解方程和等式的概念，避免數(shù)學(xué)概念的理解只停留在表象上。當(dāng)然為了加深印象，在課末小結(jié)中，教師也可以對(duì)數(shù)學(xué)概念提取核心詞。比如對(duì)于方程概念可以提取兩個(gè)關(guān)鍵詞：未知數(shù)、等式。對(duì)于等式可以提出判斷性標(biāo)志：等號(hào)。endprint

2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學(xué)的重點(diǎn)，亦是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。如典型錯(cuò)題2中很多種錯(cuò)解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯(cuò)題3，當(dāng)學(xué)生列含有字母的式子時(shí)，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯(cuò)誤的方程。而這些錯(cuò)誤的方程也能求解讓學(xué)生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時(shí)，教師要積極倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。此題可以讓學(xué)生畫一畫長方形和正方形。畫的時(shí)候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學(xué)生在動(dòng)手操作時(shí)必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學(xué)生混用各自的面積和周長計(jì)算公式。在教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用多種策略，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運(yùn)算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)一些變式練習(xí)（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習(xí)），出現(xiàn)時(shí)機(jī)建議在復(fù)習(xí)整理階段。如四、五年級(jí)共植樹80棵，五年級(jí)植樹比四年級(jí)的2倍少4棵，五年級(jí)植樹多少棵？學(xué)生會(huì)采用直接設(shè)法（設(shè)五年級(jí)植樹x棵），接著列方程和解方程都會(huì)出現(xiàn)困難，教師引導(dǎo)學(xué)生采用間接設(shè)法，通過體驗(yàn)、對(duì)比讓學(xué)生體會(huì)到適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學(xué)問題。

4.尋找新舊教法的融合點(diǎn)

針對(duì)簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補(bǔ)短的策略，有機(jī)揉和傳統(tǒng)教學(xué)和現(xiàn)代教學(xué)的精華，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果。首先按照新教材的教學(xué)思路學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習(xí)課中引導(dǎo)學(xué)生解答練習(xí)十一（1）的問題時(shí)，學(xué)生列出了2個(gè)方程：x+835=6299和6299-x=835。對(duì)于第一個(gè)方程學(xué)生輕松解決，第二個(gè)方程就出現(xiàn)了困難。組織學(xué)生討論：當(dāng)減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)該怎么辦？先引導(dǎo)學(xué)生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導(dǎo)學(xué)生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個(gè)關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學(xué)生容易理解。

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint

2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學(xué)的重點(diǎn)，亦是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。如典型錯(cuò)題2中很多種錯(cuò)解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯(cuò)題3，當(dāng)學(xué)生列含有字母的式子時(shí)，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯(cuò)誤的方程。而這些錯(cuò)誤的方程也能求解讓學(xué)生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時(shí)，教師要積極倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。此題可以讓學(xué)生畫一畫長方形和正方形。畫的時(shí)候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學(xué)生在動(dòng)手操作時(shí)必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學(xué)生混用各自的面積和周長計(jì)算公式。在教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用多種策略，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運(yùn)算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)一些變式練習(xí)（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習(xí)），出現(xiàn)時(shí)機(jī)建議在復(fù)習(xí)整理階段。如四、五年級(jí)共植樹80棵，五年級(jí)植樹比四年級(jí)的2倍少4棵，五年級(jí)植樹多少棵？學(xué)生會(huì)采用直接設(shè)法（設(shè)五年級(jí)植樹x棵），接著列方程和解方程都會(huì)出現(xiàn)困難，教師引導(dǎo)學(xué)生采用間接設(shè)法，通過體驗(yàn)、對(duì)比讓學(xué)生體會(huì)到適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學(xué)問題。

4.尋找新舊教法的融合點(diǎn)

針對(duì)簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補(bǔ)短的策略，有機(jī)揉和傳統(tǒng)教學(xué)和現(xiàn)代教學(xué)的精華，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果。首先按照新教材的教學(xué)思路學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習(xí)課中引導(dǎo)學(xué)生解答練習(xí)十一（1）的問題時(shí)，學(xué)生列出了2個(gè)方程：x+835=6299和6299-x=835。對(duì)于第一個(gè)方程學(xué)生輕松解決，第二個(gè)方程就出現(xiàn)了困難。組織學(xué)生討論：當(dāng)減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)該怎么辦？先引導(dǎo)學(xué)生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導(dǎo)學(xué)生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個(gè)關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學(xué)生容易理解。

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint

2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學(xué)的重點(diǎn)，亦是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。如典型錯(cuò)題2中很多種錯(cuò)解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯(cuò)題3，當(dāng)學(xué)生列含有字母的式子時(shí)，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯(cuò)誤的方程。而這些錯(cuò)誤的方程也能求解讓學(xué)生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時(shí)，教師要積極倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。此題可以讓學(xué)生畫一畫長方形和正方形。畫的時(shí)候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學(xué)生在動(dòng)手操作時(shí)必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學(xué)生混用各自的面積和周長計(jì)算公式。在教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用多種策略，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運(yùn)算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)一些變式練習(xí)（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習(xí)），出現(xiàn)時(shí)機(jī)建議在復(fù)習(xí)整理階段。如四、五年級(jí)共植樹80棵，五年級(jí)植樹比四年級(jí)的2倍少4棵，五年級(jí)植樹多少棵？學(xué)生會(huì)采用直接設(shè)法（設(shè)五年級(jí)植樹x棵），接著列方程和解方程都會(huì)出現(xiàn)困難，教師引導(dǎo)學(xué)生采用間接設(shè)法，通過體驗(yàn)、對(duì)比讓學(xué)生體會(huì)到適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學(xué)問題。

4.尋找新舊教法的融合點(diǎn)

針對(duì)簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補(bǔ)短的策略，有機(jī)揉和傳統(tǒng)教學(xué)和現(xiàn)代教學(xué)的精華，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果。首先按照新教材的教學(xué)思路學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習(xí)課中引導(dǎo)學(xué)生解答練習(xí)十一（1）的問題時(shí)，學(xué)生列出了2個(gè)方程：x+835=6299和6299-x=835。對(duì)于第一個(gè)方程學(xué)生輕松解決，第二個(gè)方程就出現(xiàn)了困難。組織學(xué)生討論：當(dāng)減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)該怎么辦？先引導(dǎo)學(xué)生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導(dǎo)學(xué)生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個(gè)關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學(xué)生容易理解。

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint