十二分之三帶來的思考

吉玲莉+李喆

前些日子，聽了同仁一節(jié)公開課——人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》第一課時(shí)“認(rèn)識(shí)幾分之一”。

教師完成新授并進(jìn)行了一輪基礎(chǔ)練習(xí)后，出示了這樣一道題：

師問：陰影部分用分?jǐn)?shù)怎樣表示？

老師話音未落，就有學(xué)生脫口而出：“。”

馬上有學(xué)生反對(duì)，認(rèn)為沒有把這個(gè)圖形平均分成8份，因而陰影部分不能用表示，其他同學(xué)也一致認(rèn)同。

那用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示呢？同學(xué)們陷入了沉思……

沉默了一會(huì)兒后，又有學(xué)生舉起了手：“這里有兩個(gè)分?jǐn)?shù)，那部分（指a部分）表示，這部分（指b部分）也表示。”

老師給予肯定后，又追問：“那陰影部分是整個(gè)圖形的幾分之幾呢？”

班上又沉默了，好一會(huì)兒，

有學(xué)生回答：“。”

老師顯然沒料到這個(gè)結(jié)果，愣了一下，含糊地“嗯”了一聲，不得不提示學(xué)生把a(bǔ)、b兩部分陰影剪拼在一起思考，得出：陰影部分占了整個(gè)圖形的。

……

課后，老師們討論起“”，有些老師對(duì)的來源表示疑惑，有些老師則認(rèn)為用表示陰影部分是對(duì)的，原因是化簡(jiǎn)后就是，從圖形上看，可以看成b部分的面積相當(dāng)于a部分面積的2倍，也就是把整個(gè)圖形平均分成12份，陰影部分占了這樣的3份，用分?jǐn)?shù)表示是，即。

這些老師還無不遺憾地感嘆：“上課老師沒有把握好‘，不然得是個(gè)多么精彩的生成啊！”

事實(shí)是這樣嗎？在這道題中，陰影部分真的是占整個(gè)圖形的嗎？這引發(fā)了我的思考，我們不妨來驗(yàn)證驗(yàn)證。

設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，則：

S陰a=πr2

S陰b=πR2-πr2

=π（R2-r2）

當(dāng)R=nr（n>0）時(shí)，a、b兩個(gè)陰影部分的面積有如下關(guān)系：

=

=R2-

=（nr）2-

=n2-1

即：S陰b=（n2-1）S陰a

在本題中，因R=2r，即n=2，代入上式=22-1=3，也就是S陰b=3S陰a。

由此可知，若以陰影部分a為其中一份，是把整個(gè)圖形平均分成了16份，陰影部分占了整個(gè)圖形的，即，而非。

為什么這么簡(jiǎn)單的一道數(shù)學(xué)題學(xué)生會(huì)屢屢出錯(cuò)呢？

確實(shí)，在我們看來，這是一道再簡(jiǎn)單不過的題了，但對(duì)學(xué)生而言，尤其是思維正處于從具體形象思維向抽象思維過渡的三年級(jí)學(xué)生而言，這道題卻是一種挑戰(zhàn)。因?yàn)檫@道看似簡(jiǎn)單的題目卻蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。

首先，它蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，第二種情形是“以形助數(shù)”。

本題中，從學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的角度來看，是屬于“以形助數(shù)”，即利用圖形幫助理解分?jǐn)?shù)；而從解決這個(gè)問題——“陰影部分用分?jǐn)?shù)怎樣表示”來看，這題又屬于“以數(shù)解形”，即給圖形賦值，用分?jǐn)?shù)表示陰影部分占整個(gè)圖形的幾分之幾。

其次，它蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

本題中，只需通過剪拼或旋轉(zhuǎn)把陰影部分拼在一起，就能化繁為簡(jiǎn)了。其實(shí)課堂上學(xué)生提出用“”表示圖中陰影部分，也是通過把圖形分解轉(zhuǎn)化而得到的，但是因?yàn)閷W(xué)生還沒完全形成正確的轉(zhuǎn)化分解思想，思考問題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，單從直觀觀察得出答案，出錯(cuò)也就難免了。

學(xué)生出錯(cuò)我們是可以理解的，為什么有些老師也會(huì)簡(jiǎn)單地認(rèn)為能表示圖中的陰影部分呢？這更是值得我們深思的地方！

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，教師作為一名“傳道、授業(yè)、解惑”的師者，在對(duì)待每一個(gè)問題時(shí)都應(yīng)持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，認(rèn)真鉆研、小心求證，切忌不經(jīng)論證就草率下結(jié)論。我們要教給學(xué)生的不僅僅是正確、科學(xué)的知識(shí)，更應(yīng)是正確、科學(xué)的思想和態(tài)度！?endprint