巧用比較，提升數學思維品質

瞿小煒

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”比較在數學學習過程中的作用，更是不可替代、不可估量的。它既能讓學生在比較的過程中消化舊知，又能在比較的過程中消除新舊知識的障礙，突破新舊知識的難點，更能讓學生在比較的過程中靈活運用新知。下面，筆者就以自己執教《三位數乘兩位數》的練習課為例談談這方面的體會。

一、抓住學生發言對比——體現數學語言精確性

教學伊始，我先出了四道計算題。

[380×22 170×60 500×43 40×205][3 8 0][2 2][×] [1 7 0][6 0][×] [4 3][5 0 0][×] [2 0 5][4 0][×]

學生計算之后匯報結果，正確率很高。這是一個令人欣喜的現象，照理應該馬上進入下一個環節，但十多年的教學經驗告訴我：如果僅僅滿足于計算結果正確與否，那這組題的設計意圖還不能得以充分體現。于是在學生計算之后，我讓學生觀察并說一說，你發現了什么？

生：第3題在列豎式的時候要將43寫在上面，500寫在下面，第4題與此相同。

師：看來列豎式之前我們還要仔細觀察數字的特征，不能提筆就寫。

生：乘數末尾的0的個數與積末尾的0的個數是有關系的。

師：什么關系？

生1：兩個乘數末尾一共有幾個0，積的末尾就一共有幾個0。

生2：我不同意他的觀點，我覺得應該是乘數的末尾一共有幾個0，積的末尾可能有幾個0。比如說第4題，乘數的末尾只有一個0，而積的末尾卻有兩個0。

生3：我覺得可以將“可能”這個詞換成“至少”，這句話就變成“乘數的末尾一共有幾個0，積的末尾至少有幾個0”。

出示剛才學生回答的三句話作為判斷。

師：請你們參照這四道題目，觀察并仔細辨別一下這三句話，到底怎么說比較精確呢？

學生通過辨別討論，得出結論：“乘數的末尾一共有幾個0，積的末尾至少有幾個0”這句話的敘述更為精確，因為乘數末尾的0的個數只能確定積的末尾至少有幾個0。

由學生自己觀察、比較得出結論，不管正確與否，都是學生積極思考的見證。在層層比較與深入辨析之后，學生對知識的理解更為透徹與深入，實現了知識理解由表及里地不斷內化。學生在理解數學語言的精確性的同時，也能深刻意識到，真理就是在不斷地探尋與斟酌、比較與辨析中形成的。

二、動態呈現對比題組——激發應用規律自覺性

學生初步感知到精確“比較”帶來的成就感，我緊接著做了書本上的一組口算題。

[6.算一算，比一比。

11×60 20×32 13×20

11×600 200×32 13×300

110×60 20×320 130×30]

【案例A】這組以口算為主的計算，大多教師教學時都是這么處理的：讓學生獨立口算，校對計算結果之后，再讓學生比一比、說一說發現了什么。這樣的處理方式，我仔細算了一下，時間花費比較多，更重要的是在“比一比”這個環節，學生得出的都是一些淺層的比較結果，總給人一種為了“比”而“比”的感覺，沒有挖掘出題組蘊含的更為深刻的數學本質。

【案例B】在深入思考之后，我決定這么處理：我先挑出三組中的前兩組，進行口算。

學生很快就將答案算出來了。接著，我讓學生觀察每組題目，你發現了什么？學生稍微動動腦筋就能想到：每組題目都只算了一道算式，比如說第一組題目，我們都只算了11×6，最后的乘積只要看清楚兩個乘數的末尾共有幾個0，就在積的末尾添幾個0。緊接著再追問：你能根據前兩組的答案直接寫出第三組的答案嗎？

學生很順利地完成了。照理說，這道題到這兒已經是將“比較”出的規律用之于實踐了，但是我沒有就此打住。光有思維的順延我感覺還不夠，緊接著，我又出了一道乘法算式32×2=64，問：如果要讓積變成640，你知道前面的算式是什么嗎？

生1：320×2。

生2：也可以是32×20。

師：如果積是6400呢？

生1：320×20。生2：32×200。生3：3200×2。

師：真是一群聰明的孩子。那你有沒有發現這里面隱藏著的規律呢？

生：積里面一共多了幾個0，只要在乘數里加上幾個0就可以了。這個0到底加在哪個乘數的后面，沒有任何關系。

到這里，這組題目完成了計算—比較—發現規律—順運用規律—逆運用規律的完美統一。我跳出了以計算為重點的圈子，讓學生在計算后比較，發現題目隱藏的一些規律，從規律的總結中再反過來運用。學生在比較、總結、逆運用的過程中深刻理解了乘數末尾的0和積的末尾的0相互之間的緊密聯系，進一步強化了本課的教學重點，攻破了教學難點。

三、深入規律內涵比較——增強思維水平深刻性

依然是上面一組題目中的最后一小組。這組題目已經完成了一個使命：讓學生深入理解乘數末尾的0與積的末尾的0的關系。在備課的時候我想，繼續將此題深入挖掘，讓學生發現積的變化規律。

（1）320×20=6400，（2）32×200=6400，（3）3200×2=6400。

師：觀察這組題，我們一起來思考一下，為什么只要積是6400，乘數末尾的兩個0就可以隨意“溜達”到第一個或第二個乘數的末尾呢？

生：如果以第一道和第二道算式為例，第一個乘數320變成32，縮小了10倍，第二個乘數由20變成200就擴大了10倍，這樣擴大和縮小的倍數正好相互抵消掉，積就不會變了。

師：觀察得真夠細致的。他不僅用到了我們常用的一種數學思想——抵消，還揭示了乘法中的一個重要規律，叫作積的變化規律。（板書）endprint

師：一道乘法算式中，如果積不變，兩個乘數可以隨意變化。想一想，兩個乘數到底可以怎樣變化呢？

生：一個乘數擴大，另一個乘數縮小，只要倍數相同，就能正好抵消，積不變。

師：如果一個乘數不變，另一個乘數變化。積會怎樣？

生：積也會跟著變化。

師：如果兩個乘數都變化，它們的積呢？

生：積有可能會變，也可能不變。比如說，如果兩個乘數擴大和縮小的倍數相同，積就不會變；如果兩個乘數擴大和縮小的倍數不相同，積就會變化。

師：兩個乘數的變化，又分為哪些情況？

生1：一個乘數擴大，另一個乘數也擴大。

生2：一個乘數擴大，另一個乘數縮小。

生3：一個乘數縮小，另一個乘數也縮小。

學生能回答得如此流暢，是出乎我的意料的。接著，我出了一組關于兩個乘數擴大或縮小的例子讓學生練習，從整十整百倍，一直延伸到整億倍，學生在深刻理解積的變化規律之后，居然也能對答如流。如果說數字出得小，學生是簡單的模仿，那么等數字大到一定程度時，就不是模仿能解決的了，這需要學生對知識有本質的理解并能靈活運用。

這些知識難點，都在不斷深入的比較之后，如揭開層層面紗般，讓學生在探索之后享受深入思考帶來的愉悅。

四、創設習題比較訓練——啟迪思維寬度延伸性

本課的最后一組題目，書本上是以這樣的形式出示的：□□×□□=2400，在方框里填上合適的數字。這是兩位數乘兩位數的乘法，算是緊扣本單元的知識重點。但我總覺得以這樣的形式出現，思維顯得有些局限。于是我又出了這樣一組題目：

[10.你能在□里填上合適的數字，使等式成立嗎？

□□×□□=1600

（ ）×（ ）=2400]

兩題同時出示，我讓男生做上面一題，女生做下面一題。結果在預料之中：男生填寫的都是兩位數乘兩位數，女生填寫的幾乎跟男生一樣。

我故作鎮定地說：原來這兩題是一樣的啊，真是多此一舉，為何還要分開來做呢？幾個細心的女生提出了抗議。題目的細節一經點撥，許多孩子恍然大悟：方框一題已經框定了兩個乘數是兩位數，而小括號一題，可選擇的余地更大，可以是兩位數乘兩位數，也可以是一位數乘三位數或是四位數。

有學生填1×2400，肯定了答案之后，這個答案看上去意義不大，但我卻看出了它蘊含的獨特意義。我繼續提問：這兒的1是不是已經最小了呢？一石激起千層浪。有學生居然想到了0.12×20000，并且用積的變化規律解釋得天衣無縫，真是意料之外的驚喜。這道題，原本的意圖是讓學生關注出題細節的比較，卻無意中打開了學生思維的閥門，再一次證明了積的變化規律在深入理解之后給人帶來的欣慰。一個小小的細節比較，更能提醒他們突破固有的思維定式，使思路變得更為開闊。

小學數學中的許多內容既有聯系又有區別，在教學中有些比較是我們教師有意而為之的，但有些比較是我們意料之外的，是課堂隨機生成的。不管是哪一種情況，比較能貫通知識間的相互聯系，能讓學生學得輕松；比較能讓學生的思維從膚淺走向深刻，從簡單走向豐滿。?endprint