“幾何直觀”的面面談

馬德忠

談及“直觀”，似乎與數學格格不入，因為從它們的定義就可知一二：“直觀”是指通過與客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識和判斷，而數學則是一門邏輯性強的、推理嚴謹的學科。然而就在看似“格格不入”情況下，2011年版的《義務教育數學課程標準》卻將它們完美地糅合在一起，并生成一個嶄新的名詞——“幾何直觀”，可以說這個名詞是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的十大核心概念中的重要一員，它的出現遠遠超出對幾何圖形本身的研究。曾如弗萊登塔爾所言：“幾何直觀的出現，讓我們在最短的時間內，最有成效地把握‘什么可能重要、什么可能有意義、什么可能最接近的，并能幫助我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”

一、理解幾何直觀概念的誕生，可以幫助我們從另一層面理解數學

“幾何直觀”，是一個新鮮話題，想要真切地了解它的內涵，還得從它的上級科目內容——“直觀”說起：直觀這一詞匯早已出現，并在不同國度、不同人群里有著不同的解釋，《現代漢語詞典》是這樣解釋的：“用感官直接接受，直接觀察。”在心理學家的心目中：“直觀是從感覺到的具體對象背后，發現抽象的能力。”在數學領域，數學家們把“直觀”明確為 “從感覺的具體的對象背后，發現抽象的，理想的（狀態）的能力。”……

綜上所述：直觀是一種能力，一種能夠透過現象看到本質的能力，一種能夠看出事物之間相互關聯的能力。那么這種能力是否可以延伸到數學領域？是否可以幫助我們更好地解決問題？答案是肯定的。“幾何直觀”的誕生，就是讓我們更好地借助這種能力把復雜的數學問題變得簡明、形象，從而幫助我們更好地探索解決問題的思路，預測事物發展的軌跡。換句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知和整體把握。

二、把握幾何直觀的表現形式，可以幫助我們從更多角度呈現數學

雖說“幾何直觀”的概念是最近提出的，但關于“幾何直觀”的探究卻早已在進行，伽利略就曾有過這樣一段表述：“展現在我們眼前的宇宙像一本用數學語言寫成的大書，如果不掌握數學的符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認識不清。”這或許就是“幾何直觀”中的符號直觀的妙用吧。當“幾何直觀”這一概念被正式明確后，為了更好地研究，很多數學家就對其形式作了全面的闡述與建構。其中，較為權威的是孔凡哲和史寧中的觀點，他們認為，在中小學數學領域中，幾何直觀通過表現為四種形式：實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀。

例如圖形直觀。在小學數學空間位置的領域中，圖形直觀是運用得最多的一種策略，它是指對實物的“動手操作”或“圖形運動操作”來獲取對圖形的直觀把握。首先談實物的動手操作，實物的動手操作是數學教學的常見手段，具體的包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，這種策略能幫學生積累豐富的、幾何的直觀體驗，從而幫助學生獲得幾何體和平面圖形的“物象”儲備，并生成經驗。而圖形的運動操作，就是通過平移、旋轉、反射等形式的運動，將數學中一些難以理解的概念形象化，如連“點”成“線”，鋪“線”成“面”，壘“面”成“體”，等等。總之借助圖形直觀操作可以幫助我們從更多角度呈現數學的奧秘，可以幫助學生在腦海里生成事物來龍去脈的軌跡，可以幫助學生直觀把握問題的解決之道。

三、鉆研幾何直觀的教育價值，可以幫助我們從更深層面教育學生

盡管經過數學“洗禮”的人們都擅長邏輯推理，但在他們的思維體系中，依舊需要一種“簡潔”的方法來解決問題，依舊需要一種“簡潔”的模式來實現思維的嫁接，此時，幾何直觀，就常常成為他們的首選。因此，在數學教學中，研究幾何直觀的教育意義就顯得尤為重要。

首先可以借助幾何直觀幫助學生更好地理解數學。例如，利用直觀圖式可以幫助學生更好地理解正方形邊長和面積的關系；借助數軸可以幫助學生更好地認識小數；借助“線路圖”可以更好地幫助學生理解行程問題……幾何直觀在數學中的作用，曾如拉格朗日所說：“當代數與幾何分道揚鑣時，它們的進展就會變得異常緩慢，它們的應用空間就會變得異常狹窄。”因此，我們在教學時，要充分利用直觀資源，培養學生用幾何直觀描述、分析問題的意識，從而幫助他們更好地理解數學。 其次可以借助幾何直觀更好地培養學生的思維方式。 數學常常以“直觀—形式—直觀”模式來解決問題，可以這樣說，幾何直觀就是這一模式中的重要一環，離開了幾何直觀，不僅談不上問題解決，更談不上思維的發展與進步。例如，小數意義的講解，只要充分利用直觀圖，就能幫助學生洞察和想象其內部的信息，就能幫助他們體驗和感受數學發現的過程，就能幫助他們從非形式化的直覺中形成數學的思維能力。

總之，幾何直觀是一個特別需要關注的話題，我們只有努力地將其內化成學生的內在素養，方能讓學生在數學的道路越走越遠。

（責編 金 鈴）endprint