初中數學絕對值淺議

李細妹　鄒循東　周俊伽　葉青梅

摘 要： 絕對值問題是學生進入初中階段學習后在數學上遇到的第一個攔路虎，許多學生學習存在不少疑惑.本文從絕對值的概念入手，從四個方面分析了絕對值學習中存在的障礙，并提出相應的教學建議.

關鍵詞： 絕對值 數軸 運算 初中數學教學

絕對值是初中數學的一個重點，也是一個比較難的內容.學好絕對值的概念，對有理數的加減法定義的理解和其在二次根式中的應用都非常重要，對高中繼續學習絕對值方程，絕對值不等式，體會絕對值中蘊含的分類和數形結合思想具有重要意義.下面從絕對值的概念教學、常見的有關絕對值的錯題及錯因分析等方面進行論述，進而提出中學絕對值內容的幾點教學建議，希望能對一線教師有所幫助.

一、對絕對值概念教學的思考

在中學數學中，許多數學概念或命題看似簡單，課本上也給出了標準定義，但其真正蘊涵的數學本質到底是什么卻令人難以捉摸，甚至在定義中也未能表現出來，絕對值的概念就是如此.若只抓住絕對值概念的表層意義，而未能領悟其實質進行教學，則可能出現的結果：一方面，學生在學習過程中容易出現理解上的困難，另一方面，由于未抓住該知識點的數學核心，在解決相關問題時只能處理較低水平的問題，解決高水平的問題則很容易出錯.此外，這種表層意義上的絕對值概念的學習不利于學生領悟數學思想，汲取數學精髓，從而舉一反三.那絕對值的概念到底應該如何理解呢？我們不妨來看看.

這種運算與加減乘除等運算的區別在于，后者在兩個數之間進行，是二元運算；而前者是對一個數自身的運算，為一元運算.學生在此前接觸的絕大多數運算均為二元運算，但中小學數學中出現的一元運算并不少，如倒數，相反數，乘方，開方，對數，階乘等，因此，在此處講課時滲透一元運算的思想，既可加深理解前面所學（倒數，相反數），又可為今后的學習（乘方，開方，對數，階乘）奠定基礎.

二、有關絕對值的易錯題及錯因分析

1.對有理數集的分類不清.絕對值概念中涉及對有理數域這個無限集的一個本質分類，正確掌握這個分類是掌握絕對值概念的關鍵.但學生過去僅僅是根據事物的外部特征或外部聯系進行分類的，即對接觸到現象分類，因而在此感到手足無措.這時需要教師的幫助和引導，使之完成從現象分類到本質分類的轉化.倘若這種轉化不成功，學生在解題時就很容易混亂.

3.用字母代替數未能掌握好.初中一年級學生剛接觸代數時，經歷了由算術到代數的過渡，這其中的一個重要標志就是字母代替數.絕對值這個概念，對于一個具體的有理數的絕對值一般容易理解，而對于一個字母或含字母的式子的絕對值，有的同學就弄不清楚了.不少同學認為|a|=a，|-a|=a.這是錯誤的認識，這是將看成了一個具體的數，而不是可以代表任何數的抽象的字母符號.要想正確解這道題，首先，學生就得理解字母符號a可以是正數、負數、零等任意實數，-a也可以是任意實數，甚至于1-a，2+3a等這樣一些含有字母的式子都可以表示任意實數，也即任意實數這個概念有多種表現形式，這種意義單一形式多樣的不對稱性加大了理解難度.若將實數更具體地分為正數、負數和零，則意義與其形式多得多，更難以理解.

4.數形結合的意識較淡薄.課本引入絕對值概念時是這樣定義的：一般的，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.什么是距離呢？就是點與點之間的長度.這也可以說明為什么a≥0.此外，為了理解數軸的實質，必須在教學中運用分類思想，讓學生明白：在數軸上0是分界點，將有理數分成兩部分，負有理數在0的左邊，正有理數在0的右邊.在此基礎上著重強調：所有有理數都可用數軸上的點表示.這樣學生能初步在腦子里建立數形對應，了解新擴充的數（負有理數）與以前學過的數（正有理數）之間的聯系，較好地克服對舊有概念的思維傾向.但是，有些教師在教學中沒有運用分類思想，學生仍然保留對舊有概念的思維傾向，不能較好地把數形結合起來，這導致學生對數軸概念掌握不好，從而影響對絕對值概念的理解.

三、教學建議

1.對絕對值概念要從多個不同角度理解深化，可結合之前學過的倒數、相反數等概念，透過對比與分析，滲透絕對值作為一種運算的思想，幫助學生更好地理解和運用絕對值.

2.在擴充數域的學習中加強對負數概念的認識，鞏固分類討論思想.例如可在講相反數時補充雙重符號化簡-（-a）=a，這樣可以及時糾正學生對負數概念的錯誤認識.在學習數軸概念時，應使學生對有理數的分類有一個幾何直觀上的初步理解，并著重強調每一個有理數都確定數軸上一個點，幫助學生在頭腦中初步建立數形對應.

3.從具體的數字到抽象的字母這一認識上的飛躍需要反復用字母取值訓練，因為正確的認識不是一次兩次通過分析和綜合就可以形成的，它需要不斷反復地進行分析、綜合.每一次重復都會使我們對問題的認識更深一步，從而使問題得到解決.絕對值定義是通過字母和數軸提煉出來的，剛進入初中的學生對這些抽象的概念是很難適應的，我們必須通過像2，-6，π這些具體的數字來體現，然后過渡到具體的字母.特別是a作為一個正數形式出現而可以表示任意的數表示疑惑比如：若a<0，那么-a=？搖？搖 ？搖？搖.對于剛接觸這類題目，特別是對理解力稍差的學生可以通過具體的數字幫其解惑，再通過強化訓練使其以后不再錯.

4.在絕對值教學中緊緊抓住絕對值的幾何意義，注意加深對距離、數軸等涉及形的概念的認識，強化數形結合的觀點.例如可讓兩學生沿講臺相反的方向走任意的長度體會距離的非負性，也即絕對值的非負性。數形結合是中學階段重要的數學思想，貫穿整個初中數學始終，在初一剛剛出現這種思想要充分應用多種教學手段，促進學生對這種思想的適應和理解.“數無形時少直觀，形無數時難入微”，利用數形結合的數學思維可以密切知識間的縱橫聯系，培養類比聯想的能力，這對加深概念理解、開拓解決問題的思路有著非常重要的作用.

參考文獻：

[1]楊軍華.漫談初中數學絕對值[J].新課程學習，2011.10.

[2]左效平.談談絕對值的學習[J].中學生數理化，2010.07-08.