Mathematica平臺上重積分的數學實驗研究

辛春元

（遼寧對外經貿學院，遼寧大連 116052）

1 引 言

隨著數學軟件的出現和不斷發展完善，為高等數學教學改革帶來契機.傳統的教學方式已經不能適應現代數學發展的需要[1].以計算機為載體，將數學軟件融入到高等數學課程中去，它為教師和學生提供了一個“活”的教與學的平臺[2]，這種現代化的教學手段，不但增強學生學習的興趣，同時提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，符合時代發展的要求.

重積分是微積分的一個重要內容.在傳統的教學模式下，由于這部分內容綜合性比較強，所以，學生學習起來感到很吃力.在Mathematica平臺上進行實驗教學，可以很好地解決這一問題.Mathematica是美國Wolfram Research公司開發的一個功能強大的計算機軟件系統[3]，它不但能進行數值計算，而且有很強的繪圖功能，在“教”與“學”中發揮著重要的作用.本文通過實例來研究Mathematica平臺上重積分的數學實驗.

2 Mathematica平臺上重積分的數學實驗

實例1 二重積分定義的實驗演示.

解 在Mathematica平臺上輸入下面語句[4]：

ff[x,y_ ]:=1-1/4*(x^2+y^2);a=-1;b=1;c=-1;d=1;

step={0.5,1/3,0.2,0.1,0.05,0.025};

For[k=1,k<7,k++,step1=step[[k]];step2=step[[k]];m=(b-a)/step1;n=(d-c)/step2;gg={ };

txyz=Flatten[Table[{x,y,ff[x,y]}//N,{x,a,b,step1},{y,c,d,step2}],1];

For[j=1,j<=n,j++,ss=(j-1)*m;

For[i=1,i<=m,i++,ffz=(txyz[[i+j-1+ss,3]]+txyz[[i+j+ss,3]]+txyz[[i+j+m+ss,3]]+txyz[[i+j+m+1+ss,3]])/4;

pp1={txyz[[i+j-1+ss,1]],txyz[[i+j-1+ss,2]],0};

pp2={txyz[[i+m+j+1+ss,1]],txyz[[i+m+j+1+ss,2]],ffz};

gg=Append[gg,Graphics3D[Cuboid[pp1,pp2]]]]];a1=Graphics3D[{Text["x",{1.1,-1.2,0.15}],Text["y",{-1.2,1.1,0.15}],Text["z",{-1,-0.9,1}]}];

Show[{gg,a1},Boxed->True,BoxStyle->Thickness[0.0 01]},Axes->True,ViewCenter->{0.5,0.5,0.5},AxesEdg e->{{-1,-1},{-1,-1},{-1,-1}},AxesStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,1,1]},Ticks->None,AspectRatio->1,PlotRange->{{-1.2,1.2},{-1.2,1.2},{0,1}},ImageSi ze->{640,480},

ViewPoint->{4,3,2},

TextStyle->{FontSlant->"Italic",FontFamily->"Tim es",FontSize->40},DisplayFunction->$DisplayFunctio n]];

執行命令后，則輸出6幀圖片（見圖1）.雙擊6幀圖片中的任意一個，都可以動起來.通過該動畫演示過程，可以生動形象地展示利用用平頂柱體分割曲頂柱體的動態過程，更直觀地理解二重積分定義中分割、求和、取極限的思想，激發學生的學習興趣.

圖1

解 在Mathematica平臺輸入下面語句：

Clear[f,g];

f[x,y_]=1-x-y;

g[x,y_]=2-x^2-y^2;

Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]

Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]

Show[%,%%]

執行命令后，一共輸出三個圖形（見圖2.1）.

圖2.1

觀察圖2.13Ω的圖形，為了確定積分上下限，把兩曲面的交線投影到Oxy平面上，Mathematica平臺繼續輸入下面語句：

jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y]

執行命令后，則輸出

為了取出這兩條曲線方程，在Mathematica平臺繼續輸入下面語句：

執行命令后，則輸出

再輸入下面語句：

tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing

[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];

tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity];

Show[tu1,tu2,AspectRatio->1,DisplayFunction->

$DisplayFunction]

執行命令后，輸出為圖2.2.觀察圖2.2，可以看出，y1是下半圓（虛線），y2是上半圓，所以投影區域是一個圓.

圖2.2

xvals=Solve[y1==y2,x]

執行命令后，則輸出

為了取出x1,x2，在Mathematica平臺輸入下面語句：

x1=xvals[[1,1,2]]

x2=xvals[[2,1,2]]

執行命令后，則輸出

Volume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2}，

{y,y1,y2}]//Simplify

解 首先作出區域Ω的圖形.在 Mathematica平臺輸入下面語句：

g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th],Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0 ,2Pi}]

g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z，0,1},{t,0,2Pi}]

Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]

執行命令后，則分別輸出三個圖形(見圖3).

圖3

觀察圖形3.3，可以選擇柱坐標系計算，也可以選擇球面坐標系計算.如果用柱坐標計算，在Mathematica平臺輸入下面語句：

Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r,

{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]

執行命令后，則輸出

如果用球面坐標計算，在Mathematica平臺輸入下面語句：

Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,P i/4},{r,0,Sqrt[2]}]

執行命令后，則輸出

由此看出，兩種坐標系下計算的結果相同.

解：先調用軟件包，Mathematica平臺輸入下面語句：

<

再輸入

CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2 Pi}]

執行命令后，則輸出圖4.

圖4

執行命令后，則輸出

因此，利用極坐標計算.在Mathematica平臺再輸入下面語句：

z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}];

Integrate[z1*r,{t,0,2Pi},{r,0,2}]//Simplify

3 結 語

利用Mathematica 軟件平臺上進行數學實驗，這種教學方式改變了過去的“講授—記憶—測驗”的傳統學習過程，變為“直覺—試探—出錯—思考—猜想—證明”的學習過程[5]，使學生變被動為主動，參與到高等數學教學過程中來.充分調動學生的數學理論知識，數學軟件知識，計算機知識和動手操作能力，構建完整的知識結構，提高綜合應用能力，為今后的學習奠定良好的數學基礎.

[1]黃青群，高家寶，蘇夏. Mathematica軟件在《數學分析》中的應用[J].軟件導刊，2013（4）：117-119.

[2]郭志軍.Mathematica平臺上極限與連續的數學實驗研究[J].邢臺職業技術學院學報，2010（10）：74-77.

[3]張二艷.Mathematica軟件在高等數學教學中的應用[J].北京印刷學院學報，2006（4）：77-80.

[4]李國，蔣彥，楊東升，等.Mathematica軟件在函數圖形繪制及特性分析中的應用[J].現代電子技術，2006（22）：59-60，66.

[5]章棟恩，許曉革.高等數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]吳贛昌.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2012.