注重課本習題導向，挖掘潛在問題

楊耀昇

不論是原《教學大綱》還是《新課程標準》，教材只是一種基本的教學素材，不是教學內容的全部體現.針對目前某些教師輕視課本教學的態度，不得不重作提醒：教師是教材的延拓者和開發者，創造性地使用教材，極盡所能地挖掘教材的潛在價值，對于練習題的探究，更有助于數學潛在內涵的挖掘，且高考并非陌生的化身.

1.揭示實際背景，增強數學實踐性

在數學教學中，有意識地解釋問題的實際背景，可提高學生的學習興趣，培養學生的應用意識.

例1.已知a，b，m都是正數，且a （普通高中課程標準實驗教科書（B必修5）P81例1）.在這個不等式中，蘊涵很多實際背景，如給一棟房屋的窗戶和低平增加同樣的面積，屋內的亮度是否增強；在一定量的糖水里加糖，糖水會更甜等.

例2.某批大米質量服從正態分布N（10，0.01）（單位kg）.任選一袋大米，它的重量在9.8kg～10.2kg內的概率是多少？（全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）第三冊（選修Ⅱ）P35第3題）.本題是我們常面對的實際問題，如一班同學體重在某范圍內的人數所占的比例；考試成績在某分數段上所占的比例等，都屬于我們生活中的常識問題，2004年、2007年分別出現在高考題里的正態分布問題與此題同出一轍.

2.一題多解，培養發散思維

課本上很多題目可施行一題多解，可以培養學生面對問題進行多角度思維，多渠道尋找解決辦法，有助于思維的發散性和創造性培養.

例3.已知a，b，c，d都是實數，且a +b =1，c +d =1，求證：|ac+bd|≤1（全日制普通高中教科書（必修）第二冊（上）p27例1）.此題可用綜合法、分析法、反證法等不同的常規方法解決.

法1：將原式化為（ac+bd）≤（a +b ）（c +d ）（將1化為（a +b ）（c +d ）的形式.

法2：用反證法，若原命題不成立，則有|ac+bd|>1，即：

|ac+bd|>（a +b ）（c +d ）推出矛盾，問題得證.

法3：（換元法）設a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ.問題化為：|ac+bd|=|cos（α-β）|≤1.

法4：（向量法） =（a，b）， =（c，d），則 · =ac+bd，且| |=1，| |=1，

|ac+bd|=| · |=|| || |cos﹤ ， ﹥|≤| || |=1.

3.連接類似問題，可深化知識結構

在教科書上，不論例題還是習題，里面都有很多類似的問題，歸納總結，類比異同，有助于將零散的知識整體化，將個別問題深刻化.

例4.已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα（全日制普通高中教科書（必修）第一冊（下）P9十2習題9）.

例5.已知sinβ=msin（2α+β），且m≠1，α≠ ，α+β≠ +kπ（k∈Z）求證tan（α+β）= tanα（全日制普通高中教科書（必修）第一冊（下）P93習題14）.比較上述兩題，從特殊性到一般性，從簡單到深刻，由此可讓學生將其他類同的問題自己編寫從簡單到深刻的數學命題，收到舉一反三的功效.同理，在下面的習題中，更顯現圓錐曲線的類同規律和表示上的微妙之差異.

例6.設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程（普通高中課程標準實驗教科書（A選修2-1）P41例3）.

全日制普通高中教科書（必修）第二冊（上）p108習題1：△ABC一邊的兩個端點是B（0，6），C（0，-6），另兩邊所在直線的斜率之積為 ，求頂點A的軌跡.與此相近的命題還有同冊教材P56練習4：△ABC一邊的兩個端點是A（-6，0），B（6，0），另兩邊AC，BC所在直線斜率之積為- ，求頂點C的軌跡方程.

4.領悟課本編寫的意圖和習題規律

課程結構經數次改革后，對知識點的側重點有了明確的劃分，但很少因改革課程結構而將知識點遺忘.同時，更需要我們在課堂內外“憶古惜今”，在必要的時候大膽地將知識結構的外延擴大化.

例7.已知x=ρcosθ，y=ρsinθ，x≠0，求證：

（1）x +y =ρ ；（2）tanθ= （全日制普通高中教科書（必修）第一冊（下）p28習題9）.本題將快要遺忘的極坐標運算重新納入三角和幾何范疇，讓人們在不知不覺中感悟兩種坐標形式的換算和某些解題方法的快捷與方便.

5.注重課本閱讀材料與研究性學習材料

在現行教材與新課標教材中安排了很多課外閱讀材料，它們滲透數學發展的歷史、某些公式定理的起源、數學悖論及個別輔助性資料，認真閱讀它們對于教師和學生無疑是一種很好的幫助，了解數學發展的規律性和個別問題與結論起源.如人類在很早以前，如何測量地球的半徑（全日制普通高中教科書（必修）第一冊（下）P140閱讀材料）和我們今天如何借助斜三角形的性質，使用正弦定理和余弦定理解題是一脈相承的.楊輝三角的課本表述，《詳解九章算法》、《釋鎖》算術記憶，讓我們記住那段歷史和某數學知識板塊的發源.

6.注重課本概念會跨過解決難題的第一道門檻

例8.（2013遼寧高考）已知函數f（x）=（1+x）e 當x∈[0，1]時，求證：1-x≤f（x）≤ .

本考題在題目構造上是課本內容中常見的函數不等式證明，但在解答上有創意，關鍵在于恰當構造函數，要證1-x≤f（x）成立，即證（1+x）e ≥（1-x）e 成立，可構造函數h（x）=（1+x）e -（1-x）e ，將問題遷移為證明h（x） ≥0的問題.引發導數概念在不等式問題中的應用.

7.課本習題在不斷回顧中展示數學問題

例9.如圖，點D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，求證：AE，BF，CD相交于同一點G，且 = = = （點G叫做△ABC的重心）（全日制普通高中教科書（必修）第一冊（下）P151習題8）.初中平面幾何中三角形重心定理，在高中數學中的回顧，密切向量與三角的關聯.

（塞瓦定理）：已知G為△ABC所在平面上任一點，聯結AG，BG，CG.分別交線段BC，CA，BA（或所在直線）于D，E，F.則 · · =1.

證明（略）.可以看出例9與塞瓦定理有相似之處，或者說一個為另一個的特殊化.