“構造法”在高中數學解題中的應用分析

張起洋

摘 要： 新課改對高中生能力提出了新的要求，高中數學教師在保證數學題鍛煉的基礎上，要轉換學生思維，通過采用一類問題的性質解決另一類問題.出于此種目的，構造法恰好能夠較好地解決這一問題，可將“未知”量轉為“已知”量，幫助學生解題，同時培養學生的觀察能力、分析能力及創造能力，符合當前素質教育的要求.

關鍵詞： 構造法 高中數學解題 應用

構造法，簡而言之，是指根據題設條件或結論所具有的特征、性質，進而構造出滿足條件及結論的數學模型，在解題過程中，主要是將“未知”量轉變為“已知”量，進而幫助學生快速解決問題.采用構造法最主要的是“轉化”思想，構造與原問題相關的輔助問題，幫助學生解決問題.

1.構造方程

方程法的構造是高中數學解題中最常使用的一種構造方法.方程式對于學生來說并不十分陌生，其作為數學的重要內容，通常與函數等相關知識緊密聯系.在一定程度上，可利用題型所給的數量關系和結構特征，通過設想建立一種等量性的式子，分析幾個未知量之間的相互聯系及方程式等量關系，利用恒等式的多方位的變形，將數學題中的抽象內容實質化、特殊化，提高學生解題速度及質量.利用方程構造的方法進行解題，可培養學生的觀察能力和思維能力.

如：（m-n） -4（n-x）（x-m）=0，求證：m，n，x為等差數列.

解析：針對這個問題，利用構造的方法，將題中的條件和結論聯系在一起，可以將這個問題簡單化，針對這個問題構建方程：（n-x）t +（m-n）+（x-m）=0 ①，令△=（m-n） -4（n-x）（x-m），根據題意得出△=0，則構建的方程①中的實數根相等，再由（n-x）+（m-n）+（x-m）=0得出t=1，進而得出該方程中的兩個實數根均為1.由韋達定理得出m+n=2x，進而證明題中的m，n，x是等差數列.利用方程構造的方法，對高中數學中的難題進行求解，將數學題簡單化，培養學生的觀察能力及思維能力，遇到數學題，可以快速地進入主題求解.

2.構造函數

高中數學中，函數與方程一樣是高中數學的重要組成部分，采用函數構造的方法進行數學解題，可以對學生的解題思想進行培養，提高學生的實際解題能力.解題思想是數學題解題中的主線，在數學題中，代數類型的題和幾何類型的題，均含有一定的函數思想.所以在解題過程中，采用函數構造，可以將數學問題轉化為簡單的函數問題，然后求解.在這個函數構造的轉化過程中，學生的思維和創造性會逐漸形成.

如：已知m、n、a∈R ，其中n

解析：從這個數學題中的信息可知，使用x將題中的a代替，這樣就會得出可以一個關于x的式子， < ，將該式子看成一個函數，x∈R ，就可以構造一個函數：f（x）= ，其中的 可以將其看成是 +1，因此可以得出 是在[0，∞]這個區間上的一個函數，而且是一個增函數，進而就可以對這題進行求解.

3.構造圖形

在高中數學中，利用圖形解題是一種常采用的方法，數形結合是高中數學解題中的重要工具.遇到可以使用圖形解題的數學題時，采用圖形構造的方法進行解題，可將抽象、復雜問題形象化、簡單化，使問題更直觀，同時也能夠培養學生的數形結合思想.

如： + ，其中（0≤x≤4），求解其最小值.

解析：根據題意可以對該題進行圖形構造，利用直角三角形的構造，將這個問題簡單化.

圖1

從圖1，可以得出AB⊥BD，AB⊥AC，當AB，AC，BD的取值設定為4，1，2時，在AB上會出新一個動點O，為此設AO=x，此時就可以得出OC =OD= ，如果想要 + 的值最小，只需要將OC+OD的最小值求出，就可以得出 + 的最小值.

4.構造數列

高考題的特征“源于課本，而不同于課本”，學生在解課本習題時，當遇到陌生問題時，應靜下心想想教師之前所教的解題方法，選擇適當的解題方法，深化思維.在解題過程中，認識到與某個知識點類似，可將其轉化為該知識點進行解答.構造法能夠有效解決這一問題.已知a ，且a =pa +q（p、q是常數）的形式的數列，均可用構造等比數列法即a +x=p（a +x）（x是常數），數列{a +x}為等比數列，這是大家都非常熟悉的.

如：若數列{a }滿足a =1，a = a +1，求a .

解析1：令a +x= （a +x）（x是常數），則a = a + x-x= a - x

該式與已知式a = a +1對比，可求得x的值.

- x=1

即x=-2

∴ = ∴數列{a -2}是以a -2=-1為首項，以 為公比的等比數列.

∴a -2=-1×（ ）

∴a =2-

對既非等差又非等比數列通項求解，應用化歸思想，可以通過構造將其轉化成等差或等比數列之后，再對應用各自的通項公式進行求解.

解析2：∵a = a +1

∴a = a +1

兩式相減得a -a = （a -a ）

令b =a -a （n=1，2，3，…）

則b =a -a = ，b = b

所以，數列{b }是以 為首項，以 為公比的等比數列.

所以b = ×（ ） = ，即a -a = ，

a -a = ，a -a = ，a -a = ，當n>1時，a -a = .

這n-1個式子相加得

a -a = + + +…+

于是a =1+ + + +…+ = =2- （n≥2）

a =1也滿足上式，

因此，a =2- .

這兩種方法相比，后一種方法比較麻煩，從中可得知：相鄰三項之間也可構造出等比數列.在教學中，可以讓學生思考、討論并相互交流，讓學生自主分析如何將其構造成等差及等比數列，教師可以根據學生的實際情況，適時對學生的疑問給予引導，如果學生還找不到方法，教師就可以引導學生參照例一的方法，對課本習題進行研究探討，從而找到解題方法.

5.構造向量

向量是高中數學解題中應用較廣泛的知識點，通過構造向量，能夠提高解題效率.尤其對于不等式的結構，如x x +y y ，可采用向量的數量積的坐標表示，將原不等式進行適當變形，為不等式的證明提供新方法.

如：已知 ≤x≤5，證明：不等式2 + + <2 .

解析：在上述不等式左側，2 + + 可變形為2 +1· +1· 的形式，而該形式正好是x x +y y +z z 的結構，對此，可采用向量的數量積表示，并利用數量積的性質a·b≤|a||b|證明該不等式.

構造向量a=（ ， ， ），b=（ ， ， ），則有：|a|= =

|b|= =

又因為a·b≤|a||b|，所以 · + · + · ≤ · <2 ，

最后可得：2 + + <2 .

6.構造模型

所謂現實模型，是指構造與現實生活相關的模型，這種模型構造有利于學生理解，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化.仍以“已知α、β、λ均為正實數，且α<β，證明 > ”為例，可構建以下現實模型.

解析：因為α、β、λ均為正實數，且α<β，所以可假設α代表溶質，β代表溶液，那 代表溶液的濃度，而 即可理解為加入λ量的溶質后溶液濃度.而溶液溶劑不變，由濃度= 可知，當濃度升高時，表示：該不等式成立.通過構建該模型使問題簡單化，有利于學生更好地理解問題.

高中生課程繁多，面對浩瀚如海的數學題，在實際學習中難免有無形壓力，不僅失去數學學習興趣，而且挫傷解題積極性.為此，教師應在數學解題教學中加強“構造法”在高中生數學解題中的運用，根據題目類型，尋找適合的構造方法，幫助高中生節省解題時間，同時在一定程度上培養高中生的思維能力和創新能力，提高學生的數學解題能力.

參考文獻：

[1]史海霞.構造法在高中數學中的運用[J].讀與寫（上，下旬），2014，（3）：171-171.

[2]耿燕.高中數學解題教學中如何巧用構造法[J].語數外學習（數學教育），2013，（2）：12.