高考數學中數列與不等式分析

陳青山

摘 要： 高考數學中的數列和不等式兩部分的知識點，在高考數學試題中都會考查，在廣東高考數學中也是如此.想要在高考中取得優異的數學成績，需要對不等式和數列這塊的知識點掌握牢固，在后面的大題中往往會結合數列與不等式的知識點綜合性出考題，這對考生來說是有難度的.所以學會如何突破解決這類難題很重要.本文主要討論常見題型和解題方法.

關鍵詞： 數列與不等式 例題 解析

一、高考中關于數列與不等式的題型分析

1.以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.

2.以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯，還有可能涉及導數、解析幾何、三角函數的知識等，深度考查不等式的證明（主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法）和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想，試題新穎別致，難度相對較大.

3.將數列與不等式的交匯滲透于遞推數列及抽象數列中進行考查，主要考查轉化及方程的思想.

二、典型例題分析

題型一：有數列參與的不等式證明

例題1.設數列{a }的前n項和為S ，已知a =1， =a - n -n- ，n∈N*，

（1）求a 的值；

（2）求數列{a }的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有 + +…+ < .

解析：這道題屬于數列基本運算，要求考生掌握基本知識，并且將數列和不等式的基本知識點結合起來，巧妙地綜合性解題.

（1）首先令n=1，代入題目所給的式子 =a - n -n- ，即可以解得a =4.

（2）本題有兩個解題方案.

解法一：令n=2，代入題目所給的式子 =a - n -n- ，a =4，解得a =9.

猜想a =n ，下面用數學歸納法證明.

1.當n=1時，猜想顯然成立；

2.假設當n≤k時，a =k ，S = ，

則當n=k+1時，a = + k +k+ = + k +k+ =（k+1）

那么當n=k+1時，猜想也成立.

聯合1和2得，對任意正整數n，a =n .

解法二：當n≥2時，2S =na - n -n - n，

2S =（n-1）a - （n-1） -（n-1） - （n-1）.

兩式相減得2a =na -（n-1）a - （3n -3n+1）-（2n-1）-

整理即可得（n+1）a =na -n（n+1）

又因為 - =1，

所以{ }是首項為 =1，公差為1的等差數列，

所以 =1=（n-1）×1=n，即a =n .

（3） = < = - ，n≥2

當n=1時， =1< ；

當n=2時， + =1+ < ；

當n≥3時， + +…+ <1+ + - + - +…+ - = - < ，

綜上所述，對一切正整數n，有 + +…+ < .

小結：第（1）小問取n=1就可以得到答案；第（2）小問給了兩種解法，比較這兩種解法，用數學歸納法解答思維量、運算量都小得多，所以推薦數學歸納法；第（3）小問通過適當放縮和裂項相消求和是關鍵.

題型二：求數列的最大值

例題2.設等差數列{a }的前項和為S ，若S ≥10，S ≤15，則a 的最大值為？搖 ？搖.

【分析】根據條件將前4項與前5項和的不等關系轉化為關于首項a 與公差d的不等式，然后利用此不等關系確定公差d的范圍，由此可確定a 的最大值.

【解】∵等差數列{a }的前項和為S ，且S ≥10，S ≤15，

∴S =4a +6d≥10，S =5a +10d≤15即，2a -3d≥5，a -d≤3，

∴ ≤a ≤3+d，則5+3d≤6+2d，即d≤1.

∴a ≤3+d≤3+1=4，故a 的最大值為4.

小結：本題主要是根據條件的不等式關系求最值的，其中確定數列的公差d是解答的關鍵，同時解答中要注意不等式傳遞性的應用.

題型三：有數列參與的比較大小

例題3.已知數列{a }是等差數列，其前n項和為S ，a =7，S =24.

（Ⅰ）求數列{a }的通項公式；

（Ⅱ）設p、q都是正整數，且p≠q，證明：S <（S +S ）.

【分析】根據條件首先利用等差數列的通項公式及前n項和公式建立方程組即可解決第（Ⅰ）小題；第（Ⅱ）小題利用差值比較法就可順利解決.

【解】（Ⅰ）設等差數列{a }的公差是d，依題意得，a +2d=7，4a +10d=24解得a =3，d=2，

∴數列{a }的通項公式為a =a +（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1.

（Ⅱ）證明：∵a =2n+1，∴S =n +2n.

2S -（S +S ）=2[（p+q） +2（p+q）]-（4p +4p）-（4q +4q）=-2（p-q） ，

∵p≠q，∴2S -（S +S ）<0，∴S <（S +S ）.

小結：利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.

題型四：求有數列參與的不等式條件下參數的取值范圍

例題4.已知a>0，且a≠1，數列{a }的前n項和為S ，，它滿足條件 =1- ，數列b =a ·lga .endprint

（1）求數列{b }的前n項T .

（2）若對一切，n∈N*都有b

分析：這道題將數列、不等式和對數結合在一起，綜合性很強，考查考生對數列、不等式和對數的知識點的掌握.

解：（1）因為 =1- ，所以S =

當n=1時，a =S = =a

當n≥2時，a =S -S = - =a ，所以a =a ，（n∈N*）

此時b =a ·lga =a ·lga =n·a lga

所以T =b +b +…b =lga（a+2a +3a +…+na ）

假設u =a+2a +3a +…+na

所以（1-a）u =a+a +a +…a -na = -na

所以u = -

所以T =lga[ - ]

（2）因為b

可得1.當a>1時，由lga>0可得a>

又因為 <1（，n∈N*），而a>1，所以a> 對一切正整數都成立.

所以a的取值范圍為a>1.

2：當0（n+1）a，a< ，

因為 ≥ （n∈N*），而0

所以a的取值范圍為0

由1，2可知對一切，n∈N*都有b 1.

小結：本題綜合性強，涉及對數知識的運算，要學會靈活轉換，分類討論.

三、反思

關于高考中數列與不等式的研究，由數列衍生出的不等式題，往往是各地高考數學的壓軸題，是考試的重點難點；主要考查知識的熱點和重點——數列的通項公式，前n項和公式及二者之間的關系，等差數列和等比數列，歸納與猜想，數學歸納法，比較大小，不等式證明.在高考復習中要及時歸納，加強以下方面題型的指導和分析：數列與不等式恒成立條件下的參數問題，數列與不等式交匯的探索性問題，數列求和與不等式的交匯，數學歸納法與不等式的交匯，等等.預計在今后幾年高考題中，比較新穎的數列與不等式選擇題或填空題一定會出現，數列解答題的命題熱點是與不等式交匯，呈現遞推關系的綜合性試題.其中以函數與數列、不等式為命題載體，有著高等數學背景的數列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點.

參考文獻：

[1]廣東省高考數學卷理科.2013，6，8.

[2]四川省高考數學卷理科.2011.6，8.