體會定積分在物理上的應用

彭魯

通過定積分這一章的學習，我們越來越對積分思想的淵源感興趣，怎么會想到用無限小的過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長呢？

其實求面積和體積問題自古以來都是數學家們感興趣的課題.首先，積分學的起源最早可以追溯到古希臘偉大的數學家、力學家阿基米德，他使用了平衡法推導球體積，但沒有使用極限的方法，而是創造了微元法分析問題.我國魏晉時候杰出的數學家劉徽提出“割圓術”，用思想無限分割方法推導出許多平面圖形的面積與一些立體圖形的體積.文藝復興時期，天文學的發展激發了積分學的研究興趣，法國數學家費馬首次以和式極限討論了曲線下面積的方法.只有牛頓和萊布尼茨把這個問題上升到一般概念，認為這是一種不依賴于任何幾何或物理背景的結構性運算，給予命名——微積分.

定積分的分析思想和解決實際問題是非常重要的，北師大高中選修2-2要求解決一些簡單的幾何問題，主要在這個過程中熟悉定積分的求法，感受微積分的魅力，但對于定積分解決物理問題涉及簡單的做功問題和物理運動問題，由此有必要多了解定積分在物理上的其他重要應用，拓寬視野.

為了更好地分析問題，這里簡單理解定積分的分析方法——微元法.

①根據問題的具體情況，選取一個變量例如為積分變量，并確定它的變化區間[a，b]；

②設想把區間[a，b]分成個小區間，取其中任一小區間并記為[x，x+dx]，求出相應于這小區間的部分量VU的近似值.如果VU能近似地表示為[a，b]上的一個連續函數在x處的值f（x）與dx的乘積，則把f（x）dx稱為量的元素且記作dU，即dU=f（x）dx；

③以所求量U的元素f（x）dx為被積表達式，在區間[a，b]上作定積分，得U=？蘩■■f（x）dx，即為所求量U的積分表達式.這個方法通常叫做元素法.

一、變力沿直線所做的功

例1：半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為1，現將這球從水中取出，需做多少功？

解：建立如圖所示的坐標系：