MATLAB仿真在信號與系統課程中的應用

丁俊　梁英波

摘 要： 文章針對信號與系統課程中的周期信號進行頻域分解與合成分析時公式推導多、求解復雜、吉布斯現象不直觀等問題，提出借助MATLAB仿真處理，得到直觀的合成圖形，加深學生對傅立葉級數和吉布斯現象的理解，激發學生的學習興趣，取得良好的教學效果。

關鍵詞： MATLAB仿真 吉布斯現象 傅里葉級數

以傅里葉級數表達方波會出現吉布斯現象，非理想方波中的振鈴現象被證明與此現象有關。振鈴效應是影響復原圖像質量的眾多因素之一[1]，其典型表現是在圖像灰度劇烈變化的鄰域出現類吉布斯分布，下面筆者以周期方波信號展開成三角形式的傅里葉級數為例具體說明傅里葉級數如何展開和什么是吉布斯現象。

1.周期方波信號展開為傅里葉級數

我們對周期信號進行頻域分析，把周期方波信號展開成傅里葉級數的三角函數表達式，用計算機仿真實驗，改變諧波分量的項數，可以演示信號分析中的吉布斯現象。一個信號f（t）的三角函數型的傅里葉級數明確地表示出f（t）的正弦分量?？梢酝ㄟ^將f（t）頻譜中的正弦相加合成f（t）下面合成周期方波信號，通過逐步將其頻譜中的連續諧波相加，觀察其結果與信號f（t）的相似性（見圖1）。

由上面的分析知道，周期方波信號的分解僅含有一、三、五、七等奇次諧波分量。

2.周期方波信號的合成

傅里葉級數的分解中含有大量數學公式推導，學生不易理解和掌握。故筆者嘗試將仿真軟件MATLAB引入到傅立葉分解傳統的教學中，利用MATLAB軟件的強大的仿真功能，把計算結果以圖的形式形象直觀地顯示出來[3]，借助MATLAB仿真軟件，用有限項傅里葉級數逼近方波信號的情況如圖2所示。

其中圖中的N表示三角形式的傅里葉分解的級數。由仿真波形可以清楚地看到第一項是粗略方波的近似，級數所取項數愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號，其均方誤差越小，可以進一步說明：低頻成分表示的是合成波形的主體輪廓。高頻成分表示的是合成波形的細節部分。同時，由仿真波形好可以看出：級數所取項數愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。

由仿真波形和上表可以進一步看出，從圖中可以看出，在不連續點附近，部分有起伏，其峰值幾乎與N無關。隨著N的增加，部分和的起伏就向不連續點壓縮，但是對有限的N值，起伏的峰值大小保持不變而趨于一個常數，它大約等于總跳變值的9%，即使n→∞，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，存在9%左右的偏差。并從不連續點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區別，這種現象叫吉伯斯（J.Gibbs）現象。為了消除Gibbs現象，在取有限項傅里葉級數的時候可加平滑譜窗進行處理。

當我們學習圖像的傅里葉變換，由于其變換本身有多種成熟的快速傅里葉變換算法，而且性能接近于最佳，從而獲得較早的也比較廣泛的研究。它的不足之處在于：相鄰子圖像數據在各個邊界不連續造成的所謂Gibbs現象。這是由于圖像數據的二維傅里葉變換實質上是一個二維圖像的傅里葉展開式。當然這個二維圖像應被認為是周期性的。由于子圖像的變換系數在邊界不連續，而將造成復原的子圖像在其邊界也不連續，于是由復原子圖像構成的整幅復原圖像將呈現隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結構，影響整個圖像質量，當子圖像尺寸較小時情況更嚴重。

3.結語

筆者借助MATLAB仿真軟件實現了周期方波信號的合成，在合成中直觀地驗證和演示吉布斯現象，該方法計算量大大降低、效果直觀，不僅可以很好地加深學生對這一部分知識的理解，更好地將理論和實踐相結合，而且對信號分析和處理的基本方法有更深一層的理解，更重要的是為學生提供用所學知識解決實際問題的一種新方法，這將對以后進一步學習和實驗提供寶貴經驗，該方法可以推廣到信號與系統的其他章節的教學中，同時能為后續的數字圖像處理課提供借鑒。

參考文獻：

[1]吳定允，張利紅.一種改進的圖像盲復原算法[J].周口師范學院學報，2011，28（2）：52-54.

[2]吳大正，楊林耀，張永瑞，王松林，郭寶龍.信號與線性系統分析[M].高等教育出版社，2009.

[3]程鈴，徐冬冬.Matlab仿真在通信原理教學中的應用[J].實驗室研究與探索，2010，29（2）：117-120.