運用數學思維方法，培養數學解題能力

劉風

摘 要： 數學思維能力是衡量學生數學能力的一個重要指標，而數學思維方法是數學思維能力的具體表現形式.當前高考以能力立意命題說明高中數學教學要更多地關注學生的思維能力.

關鍵詞： 數學思維方法 數學解題能力 高中數學教學

思維方法是人們通過思維活動為了實現特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個側面，是思維方式具體而集中的體現.

思維方法是由諸層次、諸要素構成的復雜系統.按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學共同的思維方法和各門科學所特有的思維方法.下面我就從高中數學學科方面談談數學解題思維方法.

1.觀察法

數學問題千變萬化，要想既快又準地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設的特征，提出靈活的設想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當且僅當b=c時取等號.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關鍵是觀察發現已知條件和待證結論的變形的具體方向，發現兩者之間的關系.

感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺.觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提.

任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系.要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入、細致、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點P（0，1）.考查函數y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數y =x -ax-1：顯然過點M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯想法

例3：設{a }是公比為q的等比數列，S 是它的前n項和，若{S }是等差數列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯想到非零的常數列{c}是公比為1的等比數列，且前n項和數列{n }是公差為c的等差數列，可知q=1.

聯想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設 =x，y= ，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設過切點P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時，點P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當（x，y）對應點C時，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數學解題本質上是命題的連續變換.可見，解題過程只有通過問題的轉化才能完成.轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系.

綜上所述，善于運用觀察法、聯想法、轉化法，是培養數學思維能力的具體方法.要想提高數學解題能力，必須進行相應的思維方法的訓練.endprint

摘 要： 數學思維能力是衡量學生數學能力的一個重要指標，而數學思維方法是數學思維能力的具體表現形式.當前高考以能力立意命題說明高中數學教學要更多地關注學生的思維能力.

關鍵詞： 數學思維方法 數學解題能力 高中數學教學

思維方法是人們通過思維活動為了實現特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個側面，是思維方式具體而集中的體現.

思維方法是由諸層次、諸要素構成的復雜系統.按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學共同的思維方法和各門科學所特有的思維方法.下面我就從高中數學學科方面談談數學解題思維方法.

1.觀察法

數學問題千變萬化，要想既快又準地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設的特征，提出靈活的設想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當且僅當b=c時取等號.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關鍵是觀察發現已知條件和待證結論的變形的具體方向，發現兩者之間的關系.

感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺.觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提.

任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系.要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入、細致、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點P（0，1）.考查函數y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數y =x -ax-1：顯然過點M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯想法

例3：設{a }是公比為q的等比數列，S 是它的前n項和，若{S }是等差數列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯想到非零的常數列{c}是公比為1的等比數列，且前n項和數列{n }是公差為c的等差數列，可知q=1.

聯想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設 =x，y= ，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設過切點P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時，點P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當（x，y）對應點C時，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數學解題本質上是命題的連續變換.可見，解題過程只有通過問題的轉化才能完成.轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系.

綜上所述，善于運用觀察法、聯想法、轉化法，是培養數學思維能力的具體方法.要想提高數學解題能力，必須進行相應的思維方法的訓練.endprint

摘 要： 數學思維能力是衡量學生數學能力的一個重要指標，而數學思維方法是數學思維能力的具體表現形式.當前高考以能力立意命題說明高中數學教學要更多地關注學生的思維能力.

關鍵詞： 數學思維方法 數學解題能力 高中數學教學

思維方法是人們通過思維活動為了實現特定思維目的所憑借的途徑、手段或辦法，也就是思維過程中所運用的工具和手段.思維方法屬于思維方式范疇，是思維方式的一個側面，是思維方式具體而集中的體現.

思維方法是由諸層次、諸要素構成的復雜系統.按其作用范圍的不同，可以把思維方法劃分為三大層次：一般的思維方法、各門具體科學共同的思維方法和各門科學所特有的思維方法.下面我就從高中數學學科方面談談數學解題思維方法.

1.觀察法

數學問題千變萬化，要想既快又準地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須善于觀察題設的特征，提出靈活的設想和解題方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，則2a+b+c的最小值為？搖 ？搖.

【答案】2（ -1）

【分析】觀察給定的條件，感覺應該使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，當且僅當b=c時取等號.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解題的關鍵是觀察發現已知條件和待證結論的變形的具體方向，發現兩者之間的關系.

感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺.觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提.

任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系.要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入、細致、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例2：（2012浙江.理17）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

【答案】a=

【分析】我們觀察知：函數y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都過定點P（0，1）.考查函數y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），還可分析得：a>1；考查函數y =x -ax-1：顯然過點M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.聯想法

例3：設{a }是公比為q的等比數列，S 是它的前n項和，若{S }是等差數列，則q=？搖 ？搖.

【答案】q=1

【分析】聯想到非零的常數列{c}是公比為1的等比數列，且前n項和數列{n }是公差為c的等差數列，可知q=1.

聯想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的.因此，解題方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入.

3.轉化法

例4：（2012江蘇.14）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是？搖 ？搖.

【答案】[e，7]

【分析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可轉化為：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

設 =x，y= ，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范圍.作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=e 的切線的斜率e，設過切點P（x ，y ）的切線為y=ex+m（m≥0），則 = =e+ ，要使它最小，須m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）處，為e.此時，點P（x ，y ）在y=e 上A，B之間.

當（x，y）對應點C時，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C處，為7，∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7].

數學解題本質上是命題的連續變換.可見，解題過程只有通過問題的轉化才能完成.轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系.

綜上所述，善于運用觀察法、聯想法、轉化法，是培養數學思維能力的具體方法.要想提高數學解題能力，必須進行相應的思維方法的訓練.endprint