幾類不等式恒成立問題探究

時文

摘 要： 不等式恒成立問題在高考中處于非常重要的地位.本文把此類問題分為五類：數(shù)學語言易混型、主元變換型、分離變量型、轉化函數(shù)最值型、數(shù)形結合型等進行探究，從形式上加以區(qū)分，解決常見的不等式恒成立問題.

關鍵詞： 數(shù)學語言易混型 主元變換型 分離變量型 轉化函數(shù)最值型 數(shù)形結合型

不等式恒成立問題常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，重點考查學生等價轉換、分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法.其中函數(shù)思想的綜合性較強，為了讓學生更全面、更系統(tǒng)地掌握此類問題的解答方法，我將常見的恒成立問題上分為以下幾類.

一、數(shù)學語言易混型

四、轉化函數(shù)最值型

當我們碰到不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或者確界困難的問題時，要想到從函數(shù)性質下手，通過確定函數(shù)單調性求最值，一般可以把此類問題化為：

（1）如果f（x，a）有最小值g（a），則f（x，a）>0恒成立？圳g（a）>0，f（x，a）≥0恒成立？圳g（a）≥0；

（2）如果f（x，a）有最大值g（a），則f（x，a）<0恒成立？圳g（a）<0，f（x，a）≤0恒成立？圳g（a）≤0.

解得：a<-1或a>1.

對含參數(shù)恒成立的不等式問題，如果參數(shù)取值不同，是不同的不等式會解法不同時，就可對參數(shù)進行分類討論進行求解，在分類時做到補充不漏.

五、數(shù)形結合型

對含參不等式通過恒定變形后，可化為兩邊是熟悉的函數(shù)形式的時候，我們常常用數(shù)形結合法，構造函數(shù)，作出對應的函數(shù)圖形，通過函數(shù)圖形找參數(shù)滿足的條件，再通過解不等式求出參數(shù)的范圍.

分析：此題兩邊都是熟悉的函數(shù)形式，考慮用數(shù)形結合法.

數(shù)形結合型的不等式恒成立問題，特別是可以化為一邊為多項式，另一邊是超越函數(shù)的不等式問題和含參數(shù)的一元二次不等式問題的時候，結合圖像找條件，往往事半功倍，應該在教學中加以強調.