超幾何概率教學(xué)探討

趙永祥 李 麗

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶萬州 404100）

超幾何概率教學(xué)探討

趙永祥 李 麗

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶萬州 404100）

超幾何分布是產(chǎn)品計(jì)數(shù)抽樣檢驗(yàn)、可靠性計(jì)算中經(jīng)常遇到的一類重要的數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型．在求解實(shí)際問題時(shí)，首先要根據(jù)超幾何分布問題的特點(diǎn)判斷所求問題是否為超幾何概率問題，然后才能確定是否用超幾何概率公式．同時(shí)，探討了學(xué)生在求超幾何概率問題時(shí)的一個(gè)誤解．

隨機(jī)變量；超幾何分布；排列

1 超幾何分布

超幾何分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布，它描述了由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)（不放回）．上述問題是產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽樣檢查中經(jīng)常遇到一類實(shí)際問題，假設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件為不合格品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件，其中恰好有k件是不合格品，則事件{X=k}發(fā)生的概率為：

其中，m=min{n，M}，n≤N，M≤N．稱對(duì)應(yīng)的分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布（Hypergeometric distribution），記作X～H（N，M，n）．

上述這種類型的概率稱為超幾何概率．對(duì)應(yīng)的超幾何分布列如下：

x 0 1 … m P 0n MNM C C C -----11n MNM …C C C nN nN C C C mn m MNM nN

超幾何分布概型通常具有以下特點(diǎn)：

a：超幾何分布的模型所進(jìn)行的是不放回抽樣；

b：超幾何分布中的基本事件都是等可能事件；

c：超幾何分布中必定有“正品”和“次品”之分；

在實(shí)際解題求概率的時(shí)候，首先要做的事情就是判斷所求的問題是否為超幾何分布的問題，因此，我們可以根據(jù)上面的特點(diǎn)進(jìn)行判斷．

比如，我們判斷如下的問題是否為超幾何分布問題：

（1）一籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中率為70%，求他在投籃時(shí)命中次數(shù)x的分布列．

（2）一個(gè)盒子中裝有20只紅球，5只白球，現(xiàn)在從中無放回抽取3只球，問：抽到白球的概率．

問題（1）顯然不是超幾何分布問題，因?yàn)閱栴}根本不存在“正品”和“次品”之分，更加不存在選多選少的問題．

問題（2）是超幾何分布的問題，原因是該問題進(jìn)行的是不放回抽樣，基本事件是等可能事件，并且我們可以將紅球看成“正品”，將白球看成“次品”．

2 超幾何分布的概率的求解

浙大版的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)書中第一章習(xí)題第8題：

在1 500件產(chǎn)品中有400件次品、1 100件正品，任取200件．

（1）求恰好有90件次品的概率．

（2）求至少有2件次品的概率．

解：該問題很顯然為超幾何分布的問題，因此，可以利用超幾何概率的計(jì)算公式．

當(dāng)然，如果利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，則我們可以得到簡(jiǎn)單很多的結(jié)論

有部分學(xué)生經(jīng)過思考后得出了P{ X≥2}的如下結(jié)論：

他們的解釋是，要使得取到的產(chǎn)品中至少有兩件為次品只需要在400件次品中先選出兩件，這樣就可以保證至少取到兩件次品，其余198件只需在剩余的1 498件中任意選取即可．

事實(shí)上，上面的分析存在如下的問題：

（1）該問題為典型的超幾何分布問題，但是，（4）式完全不符合超幾何概率的計(jì)算公式，完全不能體現(xiàn)“正品”和“次品”之分．

（2）按照上面的思路，我們首先從400件次品中取2件，然后從1 498件中任選198件，可以這樣認(rèn)為，這198件產(chǎn)品中同樣可能包含0件，1件，……，198件次品．

現(xiàn)假設(shè)這198件產(chǎn)品中有一件次品，因此，我們總共取得了3件次品．但是，這三件次品是首先從400件次品中任取兩件，然后再從剩下的398件次品中任取1件，這樣的選取方法總共有種，而事實(shí)上，從400件次品中任意選取3件的選取方法為種．很顯然這兩個(gè)值不相等，問題就在于為一排列組合問題，而僅僅是組合問題．

因此，可得結(jié)論：198件產(chǎn)品中只要包含了次品，則（4）式就說明所選取的次品是包含排列的，是有順序之分的．

于是有

當(dāng)然，超幾何概率的最終結(jié)果的計(jì)算不是一件很簡(jiǎn)單的事情，因?yàn)槌瑤缀胃怕使街邪穗A乘的計(jì)算，而整數(shù)較大時(shí)的階乘計(jì)算超出了一般計(jì)算工具的計(jì)算范圍．所以，通常計(jì)算時(shí)會(huì)按二項(xiàng)分布計(jì)算，但是，這會(huì)帶來較大誤差．

另外，我們也可以引入Γ-函數(shù)，并利用Matlab，可以較輕松地計(jì)算超幾何分布的有關(guān)參數(shù)并能畫出設(shè)定的曲線，使超幾何分布的計(jì)算不再麻煩和困難．

3 超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系和區(qū)別

在教學(xué)過程中，我們還發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確地辨別所要解決的問題是屬于超幾何分布還是二項(xiàng)分布，學(xué)生對(duì)這兩模型的定義不能很好的理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析，隨便濫用公式．

事實(shí)上，超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別．

超幾何分布中必須滿足兩個(gè)條件：

（1）無放回抽樣；

（2）產(chǎn)品總數(shù)有限．當(dāng)其中一個(gè)條件發(fā)生改變，則不再是超幾何分布．

當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕兀瑤缀畏植甲優(yōu)槎?xiàng)分布；當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時(shí)，超幾何分布變?yōu)槎?xiàng)分布．

例，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球、20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)紅球1個(gè)白球就是一等獎(jiǎng)，求獲一等獎(jiǎng)的概率．

本題采用的解法是摸出球中的紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，但是如果將“一次從中摸出5個(gè)球”改為“摸出一球記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù)5次”，則摸出球中的紅球個(gè)數(shù)X將不再服從超幾何分布，而是服從二項(xiàng)分布，我們分別來計(jì)算兩種分布所對(duì)應(yīng)的概率：

X 0 1 2超幾何分布P 0.108759 0.339986 0.339985二項(xiàng)分布P 0.131687 0.329218 0.329218 X 3 4 5超幾何分布P 0.159993 0.029472 0.001768二項(xiàng)分布P 0.164609 0.041152 0.004115

從概率分布表中發(fā)現(xiàn)，兩種分布對(duì)應(yīng)的概率相差不大，現(xiàn)將問題數(shù)據(jù)改為100個(gè)紅球、200個(gè)白球，其他條件不變，我們獲得下面的概率：

X 0 1 2超幾何分布P0.129483 0.330314 0.331991二項(xiàng)分布P 0.131687 0.329218 0.329218 X 3 4 5超幾何分布P0.164319 0.040048 0.003845二項(xiàng)分布P 0.164609 0.041152 0.004115

這時(shí)發(fā)現(xiàn)兩種不同的分布其對(duì)應(yīng)的概率之間的差距進(jìn)一步縮小了，我們猜想：樣本個(gè)數(shù)越大超幾何分布和二項(xiàng)分布的對(duì)應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無窮大時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布的對(duì)應(yīng)概率就相等，換而言之，超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布．

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2008.

[2]韓麗娜.超幾何分布解讀[J].中學(xué)生數(shù)理化，2010（5）∶6.

[3]鄒鳳玲.例談超幾何概率和伯努利概型的區(qū)別[J].中學(xué)教學(xué)參考，2010（12）∶52-53.

（責(zé)任編輯：于開紅）

A Discussion on Teaching of Hypergeometric Probability

ZHAO Yongxiang LI Li
(School of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, 404100)

Hypergeometric distribution is an important class of mathematical statistical model which often arises in sampling inspection and the reliability calculation. In solving practical problems, we should first judge whether it is a hypergeometric probability problem based on the characteristics of hypergeometric distribution problems, and then determine whether to use the hypergeometric probability formula. Meanwhile we discuss a misunderstanding on solving hypergeometric probability problem.

random variables; hypergeometric distribution; permutations

O211.1

A

1009-8135（2014）03-0032-03

2014-02-13

趙永祥（1980-），男，湖南衡陽人，重慶三峽學(xué)院副教授，主要研究常微分方程數(shù)值方法．

重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：11ZD-12）階段性成果