微分中值定理的證明及應用中的輔助函數(shù)構造

余 麗

（肇慶醫(yī)學高等專科學校，廣東肇慶 526020）

微分中值定理的證明及應用中的輔助函數(shù)構造

余 麗

（肇慶醫(yī)學高等專科學校，廣東肇慶 526020）

微分中值定理是微分學的基礎內(nèi)容，也是用來研究函數(shù)性態(tài)的重要手段．因此，對微分中值定理的研究和再證明長期以來都是經(jīng)久不衰的話題．通過對微分中值定理的再證明，不僅有利于初學者對定理的理解和掌握，也有利于其對定理的靈活運用，同時通過對微分中值定理的推廣，還可以得到更加一般的情形．

微分中值定理；輔助函數(shù)法；初學者

函數(shù)與其導數(shù)是兩個不同的函數(shù)，而導數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理的作用就在于此．可以說，微分中值定理是高等數(shù)學中的重要內(nèi)容，更是微分學中的基礎知識，微分學中的許多命題和不等式都以其為依據(jù)，也是研究函數(shù)性態(tài)的重要手段．因此，掌握和了解微分中值定理對于進一步學習微分知識和其他高等數(shù)學內(nèi)容，以及從事高等數(shù)學的研究都有重要的作用．

函數(shù)在一定條件下、在給定的區(qū)間中存在著一點ξ(即中值)，使得在此點的函數(shù)與導數(shù)在區(qū)間上存在著某種特定的等式聯(lián)系．通常，中值ξ的值不易求出，即中值的準確值常不易知道，但我們能把握的是它的存在性．由于導數(shù)中值的存在性，中值定理是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，中值定理通過導數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具．

微分中值定理主要包括四個定理，即羅爾（Roll）定理、拉格朗日（Lagrange）定理、柯西（Cauchy）定理、泰勒（Taylor）定理．其中，拉格朗日中值定理是微分中值定理核心，建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系；羅爾定理是微分中值定理的特殊情況；柯西定理是對拉格朗日中值定理的推廣．本文從微分中值定理的重要性出發(fā)，運用構造輔助函數(shù)的方法對中值定理進行再一次證明，旨在讓初學者認識并理解微分中值定理，為其以后的學習打下堅實的基礎，同時，便于與同行之間的學習和交流，促進微分中值定理的研究．

1 “和差型”輔助函數(shù)的構造

構造輔助函數(shù)是高等數(shù)學中的重要方法，而對微分中值定理的證明主要運用的也是構造輔助函數(shù)的方法，這不僅可以開闊思路，還可以提高解決問題的效率．這里所說的輔助函數(shù)，是指“和差型”的輔助函數(shù)，雖然較為簡單，但是就初學者而言，往往不能明白引入此方法的緣由，需要從函數(shù)與導數(shù)的聯(lián)系上入手，也就是說，面對如下問題時，即怎樣才能使得F x（）在區(qū)間ab（，）上滿足，我們?nèi)魪暮瘮?shù)與其導數(shù)的關系出發(fā)，問題就變得簡單多了．因為，我們很自然地就能想到導數(shù)F x′（）的一個原函數(shù)F x（）應該是，于是就引入了輔助函數(shù)．那么，當xab∈（，）時，．這樣一來，在證明微分中值定理的時候，引入輔助函數(shù)就不再是個難題了．

這里要注意，我們之所以說是“一個”原函數(shù)，是因為，將實數(shù)C，仍然是F x′（）的原函數(shù)．而且，我們也可以證明，函數(shù)加上一個任意仍然滿足上述條件，即存在使得

2 “常數(shù)k值型”輔助函數(shù)的構造

通過讓初學者聯(lián)系函數(shù)與其導數(shù)的關系，我們已經(jīng)能夠讓其根據(jù)求證結果來構造簡單的輔助函數(shù)．但是，在實際運用中，還會遇到更為復雜的情形，必須結合所學知識靈活構造輔助函數(shù)．常數(shù)k值法就是我們經(jīng)常使用的一種變形的構造輔助函數(shù)的方法．

所謂常數(shù)k值法就是，首先將欲證之結論變形，將含有區(qū)間端點值及端點函數(shù)值的式子移動到等式的一邊，并令其等于常數(shù)k，然后觀察關于端點的這一等式是否是對等式或者輪換對等式，如果是的話，則令其中一個端點為x，相應的就可以得到想要構造的輔助函數(shù)F x（）．下面舉例說明之．

等式（1）的左邊即是我們所希望得到的一個含有區(qū)間端點的表達式．于是，便令其等于常數(shù)k．

將等式（2）左邊分子分母同時除以12x x，得

個端點為x，就得到

可得

證畢．

3 “首次積分型”輔助函數(shù)的構造

雖然上述構造輔助函數(shù)的方法適用性很強，但是在具體應用過程中，通過首次積分法并構造相應的輔助函數(shù)來證明和運用拉格朗日中值定理和柯西中值定理是一個不錯的方法．下面就用拉格朗日中值定理的證明和應用為例．

3.1 用首次積分法證明拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理 設f x（）在[]ab，上連續(xù)，在ab（，）內(nèi)可導，則在ab（，）內(nèi)存在一點，使得

思路：運用首次積分之前要知道首次積分的條件，即對于方程（f x， y） dx+ （g x， y） dy =0（其中，（f x， y）和g（ x，y）是在D?R2內(nèi)的連續(xù)可微函數(shù)），若存在一個連續(xù)可微的函數(shù)U（ x, y），并且使dU（ x，y）=（f x，y）dx+g（ x，y）dy，那么，U（ x, y）=C就是原方程的首次積分．

因此，需要用x來替換欲證結果中的ξ，使欲證等式成為一個x的方程，接著才能對方程進行積分，然后結合構造輔助函數(shù)法得證．

于是，對方程兩邊進行積分，可得首次計分容易驗證，函數(shù)F（ x）滿足在[a，b]上連續(xù)，在

（a，b）內(nèi)可導，且F（ a）=F（ b）．

于是，由羅爾定理可知，在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

證畢．

3.2 首次積分法構造輔助函數(shù)的實際應用

例題2 設f x（）在[]ab，上連續(xù)，在ab（，）內(nèi)可導，且（f a）=（f b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得

對等式（4）兩邊同時積分，得首次積分

容易驗證，函數(shù)F x（）滿足在[]ab，上連續(xù)，在ab（，）內(nèi)可導，且F aF b=（）（）．

于是，于是，由羅爾定理可知，在ab（，）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

證畢．

4 “行列式型”輔助函數(shù)的構造

行列式輔助函數(shù)的構造法在實際應用中并不多見，但也不失為一種微分中值定理證明的重要方法．這對于初學者進一步熟悉和掌握相應定理，并靈活運用，具有重要的啟迪作用，同時，對于研究中值定理也具有一定的積極作用．下面就通過證明拉格朗日中值定理來對行列式型的輔助函數(shù)的構造做一說明．

拉格朗日中值定理這里不再重述，直接證明．

因為f （x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，所以，x（φ）也必然在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且

得證．

5 小 結

微分中值定理在微分學中的基礎性作用，決定了人們尤其是初學者們必須牢固掌握并熟練運用之．本文就證明微分中值定理的構造輔助函數(shù)方法做了一個歸納和小結，希望能給初學者減輕學習的痛楚，厘清解決問題的思路，為今后的學習打下堅實的基礎，同時，也希望能對研究和應用微分中值定理做一些必要的基礎性工作和起到推進作用．

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：第二版[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]孟憲吉，王瑾.拉格朗日中值定理的新證明[J].沈陽師范大學學報，2003（4）∶252-254.

[3]張弘.微分中值定理的又一證明方法[J].重慶交通學院學報，2004（S）∶129-130.

[5]童莉.關于“數(shù)學與應用數(shù)學”專業(yè)實踐性教學的調(diào)查分析[J].重慶師范大學學報：自然科學版，2013（3）：∶10-133.

[6]趙臨龍.一階常系數(shù)線性微分方程組“對稱型”的初等解法再討論[J].重慶三峽學院學報，2013（3）∶8-11.

（責任編輯：于開紅）

The Structure of Auxiliary Functions in Certification and Applications of Differential Mean Value Theorem

YU Li
(Zhaoqing Medical College, Zhaoqing, Guangdong 526020)

The differential mean value theorem is the basic content of differential calculus, and an important way to study the state of function. Therefore, for a long time, the research and improving on the differential mean value theorem is an enduring topic. It is not only helpful to the beginners to understand and master the theorem, but also to apply the theorem flexibly by reproving the differential mean value theorem. Meanwhile, we can obtain more general cases by extending the differential mean value theorem.

auxiliary function; differential mean value theorem; beginner

O172.1

A

1009-8135（2014）03-0021-04

2014-01-19

余 麗（1987-），女，廣東潮州人，肇慶醫(yī)學高等專科學校老師，主要研究數(shù)學教育．